高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案及答案

这是一份高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）导学案及答案，共6页。学案主要包含了函数y＝Asin的图象，函数y＝Asin的性质等内容，欢迎下载使用。

（一）“图像变换法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
1.先平移后伸缩
2.先伸缩后平移
（二）“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
第一步：列表.
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸．
【典例1】画出函数的图象．
【分析】第一种方法，先求周期再用“五点法”作出在一个周期内的图象,从图象求值域;第二种方法，先从的图象变换得到图象再求周期和值域.
【详解】（方法一）先作出函数的图象，将正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的，得到函数的图象；再将函数的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标扩大为原来的2倍，就得到函数的图象，如下图：
（方法二）函数的周期，先用“五点法”作出它在一个周期内的图象，列表如下：
作出函数在上的简图，并左右连续地平移，就可以得到这个函数的图象，如下图：
二、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
【典例2】若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
【答案】A
【详解】将横坐标缩短到原来的得：
当时，在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，关于点对称，错误；
当时， 此时没有最大值，错误.
【典例3】已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
而，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
【方法总结】由y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确立三角函数的解析式：
（1）A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
（2）ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω，相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
（3）φ：从“五点法”中的第一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置，同时注意题目中给出的φ的范围，除使用初始点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.
【变式】已知函数的部分图象如图所示．则（ ）
A．的图象关于中心对称
B．在区间上单调递增
C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D．将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可.
【详解】由图象可知，，解得，
又，所以，即，结合，可知，
所以函数的表达式为，
对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；
对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω)
y
0
A
0
－A
0
0
0
2
0
0
定义域
R
奇偶性
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；
当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时是偶函数.
值域
[－A，A]
周期性
T＝eq \f(2π,ω)
单调性
由2kπ－eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得单调递增区间
由2kπ＋eq \f(π,2)≤ωx＋φ≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，解得单调递减区间
对称中心
令ωx＋φ＝kπ，y＝0得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)
对称轴
令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，得x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π－2φ,2ω)(k∈Z)