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21.3实际问题与一元二次方程—图形相关问题 解答题专题训练 2023-2024学年人教版九年级数学上册
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这是一份21.3实际问题与一元二次方程—图形相关问题 解答题专题训练 2023-2024学年人教版九年级数学上册，共18页。
2．如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m，15m，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽．
3．某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？
4．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
(1)用含x的代数式表示y，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?
更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 5．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为14m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1m宽的门．
(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2？
(2)鸡舍面积能否达到86m2？
6．用总长400cm的木板制作矩形置物架ABCD（如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG．已知DG=40cm，设正方形的边长为AB=xcm．
(1)当x=45时，EG的长为________cm；
(2)置物架ABCD的高AD的长为________cm（用含x的代数式表示）；
(3)为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面积为3850cm2，求x的值．
7．某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
(1)若花园的面积为75m2，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
8．有一块长x米，宽120米x>120的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200平方米，求x的值．
9．如图，某市规划在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=２AN=２CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．请问，四边形人工湖OPMN的面积能否为51000m2，若能，求出此时AN的长；若不能，请说明理由．
10．如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的19，求a的值．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE=BF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AD⊥BD，AB=5，BC=3，且EF−AF=2，求DE的长．
12．在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE=∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
(1)求证：四边形AFGH为菱形；
(2)若DH=1，求四边形AFGH的面积．
13．在某会议场馆的建设过程中，为了美化地面，选用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察如图所示的图形，并解答下列问题：
(1)按上述铺设方案，若铺一块长方形地面共用了506块的瓷砖，求此时n的值．
(2)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．
14．有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮．
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180cm2的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
15．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以x2−2x−3=0为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为x2−2x=3．即xx−2=3．
第二步：构造一个长为x，宽为x−2的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含x的代数式表示为______．
小正方形边长为常数______，
长方形面积之和为常数______．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得x1=3，x2=−1．
(1)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程x2−x−3=0．
16．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．
(1)求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答．
(2)求方案二中扇形的半径；（其中π≈3，结果保留根号）
(3)你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，此时点B到墙底端点C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点B将向外移动多少米？
(1)请你将下面的解答过程补充完整．
解：设点B将向外移动xm，即BB1=xm，
则B1C=x+0.7m，A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.4=2m，
而A1B1=AB=2.5m，则在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12，
得方程为__________；
解得x1=_________；x2=_______；
∴点B将向外移动________m．
(2)①如果将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？
②梯子的顶端从点A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
18．如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积．
老师在黑板上的板书：x(x+20)
(1)请根据老师的板书说出x的实际意义：__________________；
(2)请用含x的多项式表示菜地的面积为：__________________；
(3)如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）；
(4)当a=2米时，求菜地开垦后的面积；
19．下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作Rt△ABC，Rt△ADE．其中∠BAC=∠DAE=90°，∠AED=30°，∠ADE=60°，∠ABC=∠ACB=45°．现固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，旋转角记为α(0°<α<135°)，射线AD与射线BC交于点P，在射线AE上取一点Q，使AQ=AP，连接CQ．
(1)【特例探究】如图2，当α=45°时，直接写出BP和CQ的数量关系和位置关系．
(2)【归纳证明】如图3，当点P在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)【类比迁移】当点P在线段BC延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．
(4)【拓展应用】连接PQ．若BC=5，△CPQ的面积等于3，请直接写出PQ的长．
20．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2=a2+b2+2ab−2ab=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．
(1)若a+b=7,ab=6，则a2+b2=______；
(2)若m满足(8−m)(m−3)=3，求(8−m)2+(m−3)2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8−m=a，m−3=b，
则a+b=(8−m)+(m−3)=5，ab=(8−m)(m−3)=3，
所以(8−m)2+(m−3)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．
请参照上述方法解决下列问题：若(3x−2)(10−3x)=6，求(3x−2)2+(10−3x)2的值；
(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙AM，AD，DN）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙AM⊥墙AD，墙DN⊥墙AD，AM=DN=1米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．
参考答案
1．解：设横向小道宽为2x米，则坚向小道的宽为3x米，
根据题意得：30×20−30×2x+20×3x+2x×3x=486，
整理得：x2−20x+19=0，
解得：x1=1,x2=19（舍去），
2x=2×1=2（米），
答：横向小道的宽为2米．
2．解：设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为35+xm，宽为15+xm，
根据题意得：35+x15+x=800，
整理得：x2+50x−275=0，
解得：x1=5，x2=−55（不符合题意，舍去），
∴35+x=35+5=40，15+x=15+5=20.
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m.
3．解：设长廊的宽度应为x米．
32−x20−x=540解得x1=2，x2=50（舍去）
答：长廊的宽应为2米．
4．（1）解：∵AB的长为x米，且篱笆的总长度为30米，
∴BC的长为(30−3x)米．
∴花圃的面积y=x(30−3x)．
∵ 30−3x>030−3x≤12，
∴ 6≤x<10．
∴y=x(30−3x)，(6≤x<10)．
（2）解：依题意得：x(30−3x)=63，
整理得：x2−10x+21=0，
解得：x1=3（不符合题意，舍去），x2=7．
答：AB的长是7米．
5．（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB长为am，则矩形鸡舍的另一边BC长为26−2am．
依题意，得a26−2a=80，
解得a1=5，a2=8．
当a=5时，26−2a=16>14（舍去），
当a=8时，26−2a=10<14．
答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；
（2）解：当S=86m2，
则a26−2a=86，
整理得：a2−13a+43=0，
则Δ=169−172=−3＜0，
故所围成鸡舍面积不能为86平方米．
6．（1）解：当x=45时，则AB=AE=BF=EF=GH=DC=45cm，DG=MN=HC=40cm，
EG=400−45×6−40×32=5cm故答案为：5；
（2）置物架ABCD的高AD的长为400−4x−402=180−2x（cm），
故答案为：180−2x；
（3）根据题意，由（2）得，(180−2x)x=3850，
解得，x1=55，x2=35，
当x1=55时，AD的长为180−2×55=70cm，EG的高度为70−55−40=−25cm，小于26cm，舍去；
当x2=35时，AD的长为180−2×35=110cm，EG的高度为110−35−40=35cm，不小于26cm，符合题意．
∴x=35
7．（1）解：设AB=x米，则BC=20−x 米，
由题意得：x20−x=75，
解得：x1=5，x2=15，
答：AB的长为5米或15米；
（2）解：花园的面积不能为100米 2，理由如下：
设AB=x米，则BC=20−x 米，
由题意得：x20−x=100，
解得：x1=x2=10，
当x=10时，20−x=20−10=10，
即当AB=10米，CD=10米<12米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积不能为100米 2．
8．解：依题意得，丙地的长为x−120米，宽为120−x−120=240−x米，
∴x−120240−x=3200，
整理得x2−360x+32000=0，
解得：x1=160，x2=200，
∴ x的值为160或200．
9．解：能，理由如下：
如图，延长AE，CD于H，
∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCH是矩形，
∴ AB=CH=800，AH=BC=1200，
∵CD=600，AD=900，
∴ EH=300，DH=200，
设AN=xm，则BN=800−x，
∵BO=2AN=2CP，AM=OC，
∴CP=x，BO=2x，AM=NC=1200−2x，
∴MH=2x，PH=800−x，
若四边形人工湖OPMN的面积为51000m2，
S四边形OPMN=1200×800−2×12×2x800−x−2×12x1200−2x=510000，
整理得：4x2−2800x+450000=0，
解得：x1=450，x2=250，
故：能，AN的长为250m或450m．
10．（1）解：种植花草的面积=a2+b2−2m；
（2）依题意得，m=14b2，a−b=20，m=19a2．
列方程得，14a−202=19a2，
解得a1=60，a2=12
∵a>20，
∴a=60．
11．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵DE=BF，
∴OB+BF=OD+DE，即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，
∴AD=BC=3，
∵AD⊥BD，AB=5，
∴BD=AB2−AD2=4，
设DE=BF=x，则EF=DE+BD+BF=2x+4，DF=BD+BF=x+4，
∵EF−AF=2，
∴AF=EF−2=2x+2，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x+42=2x+22，
解得x=7或x=−7<0（不符合题意，舍去），
则DE的长为7．
12．解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，即AH∥FG，
∴∠DAE=∠CGE．
∵点E为CD中点，
∴DE=CE．
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE(AAS)，
∴AD=GC．
同理可证，△DHE≌△CFE(AAS)，
∴DH=CF，
∴AD+DH=GC+CF，
∴AH=GF，
∴四边形AFGH为平行四边形．
∵AH∥FG，
∴∠DAE=∠AGF．
又∵∠FAE=∠DAE，
∴∠AGF=∠FAE，
∴AF=FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）设BF的长为x．
∵△DHE≌△CFE，
∴CF=DH=1，
∴AD=AB=BC=BF+CF=x+1．
∵四边形AFGH为菱形，
∴AF=AH=AD+DH=x+1+1=x+2．
∵在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，
∴(x+2)2=(x+1)2+x2
解得：x1=3，x2=−1（舍），
∴AB=3+1=4，AH=3+1+1=5，
∴S四边形AFGH=AH×AB=5×4=20．
13．（1）解：由题意，得n+3n+2=506，
∴n2+5n−500=0，
解得n1=20，n2=−25（舍去）．
答：此时n的值为20．
（2）∵图形黑砖的数量为：n+2n+3−nn+1，
白色转的数量为：nn+1，
当黑白砖块数相等时，n+2n+3−nn+1=nn+1．
整理得n2−3n−6=0．
解得n1=3+332，n2=3−332．
由题意可知n为整数，故不存在黑砖白块数相等的情形．
14．解：（1）设小正方形的边长为x cm．得：
(32−2x)(14−2x)=280，
解得：x1=21（舍去），x2=2．
答：裁去的正方形的边长为2cm．
（2）能；
设小正方形的边长为y cm．得：
32−2y2×(14−2y)=180，
解得：y1=22（舍去），y2=1．
体积为180×1=180(cm3)
15．（1）解：根据题意可得：
大正方形的边长为：x+x−2，
小正方形的边长为：x+x−2−2x−2=2，
长方形面积之和为：4×3=12，
∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴2x−22=4×3+22=16，
故答案为：x+x−2，2，12，2x−22=16；
（2）解：第一步：将原方程变形为x2−x=3，即xx−1=3，
第二步：构造成一个长为x，宽为x−1的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，
第四步：
将大正方形边长用含x的代数式表示为x+x−1，
小正方形边长为常数x+x−1−2x−1=1，
长方形面积之和为常数4×3=12，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程2x−12=1+12=13，
两边开方可求得x1=13+12，x2=−13+12．
16．（1）解：设小路的宽度为x米，
由题意得：16−2x12−2x=12×16×12；
（2）设扇形的半径为r米，
∵四个角上的四个扇形可合并成一个圆，
∴πr2=12×16×12，
解得r=42，
答：扇形的半径为42米；
（3）设计方案如图所示：将矩形荒地分成四个全等的矩形，连接对角线，根据矩形的性质可得阴影部分的面积等于荒地面积的一半．
17．（1）解：补全解答过程：
在Rt△A1B1C中，
∵B1C=x+0.7m，A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.4=2m，
A1B1=AB=2.5m，B1C2+A1C2=A1B12，
∴x+0.72+22=2.52，
解得：x1=0.8，x2=−2.2（不合题意，舍去），
∴点B将向外移动0.8m．
故答案为：x+0.72+22=2.52；0.8；−2.2（不合题意，舍去）；0.8．
（2）①不会．
理由：
若AA1=BB1=0.9m，
则B1C=0.9+0.7=1.6m，
A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.9=1.5m，
∵A1C2+B1C2=1.52+1.62=4.81m2，A1B12=2.52=6.25m2，
∴B1C2+A1C2≠A1B12，
∴该题的答案不会是0.9m；
②有可能相等．
理由：设梯子的顶端从点A处下滑ym，点B将向外移动ym，则有：
y+0.72+2.52−0.72−y2=2.52，
整理，得：2y2−3.4y=0，
解得：y1=1.7，y2=0（不合题意，舍去），
∴当梯子的顶端从点A处下滑1.7m时，点B也向外移动1.7m，即梯子的顶端从点A沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等．
18．（1）解：由题意得：x的实际意义是菜地的宽度；
（2）解：设菜地的宽度为x，则长度为x+20，
∴菜地的面积为：xx+20=x2+20x；
（3）解：∵菜地的长为120米，
∴菜地的宽为100米，
∵四周开垦的菜地宽度均为a米，
∴开垦后菜地的长为120+2a米，菜地的宽为100+2a米，
∴开垦后菜地的面积为：120+2a100+2a
=12000+240a+200a+4a2
=12000+440a+4a2（4）解：由（3）得：开垦后菜地的面积为：12000+440a+4a2，
当a=2时，原式=12000+440×2+4×22
=12000+880+16=1289619．解：（1）特例探究BP=CQ，BP⊥CQ
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（2）归纳证明：结论成立．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（3）类比迁移：结论成立．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（4）连接PQ．若BC=5，△CPQ的面积等于3，请直接写出PQ
拓展应用
解：∵BP=CQ，BC=5，
设BP=x，则CQ=x，
当点P在线段BC上时，
∴PC=BC−BP=5−x，
∴S△CPQ=12PC×CQ =3，
即12x5−x=3，
解得：x=2或x=3，
∴PQ=CQ2+PC2=22+33=13,
当点P在BC的延长线上时，
∴PC=BC+BP=5+x，
∴S△CPQ=12PC×CQ =3，
即12x5+x=3，
解得：x=1或x=−6（舍去），
∴PQ=CQ2+PC2=12+63=37，
综上所述，PQ的长为13或37．
20．（1）解：a2+b2=a2+b2+2ab−2ab=(a+b)2−2ab=72−2×6=37．
（2）解：设3x−2=a，10−3x=b，
则a+b=(3x−2)+(10−3x)=8，ab=(3x−2)(10−3x)=6，
所以(3x−2)2+(10−3x)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=82−2×6=52．
（3）解：∵四边形ABCD长方形，
∴AB=CD，
∵AM=DN，
∴BM=CN，
设BM=CN=x米，则BC=12−2x米
由题意知x+112−2x=20，解得x=1或x=4，经检验，均符合题意
①当x=1时，AB=2,BC=10
∴新扩建花圃的总面积为:22×4+102=116(平方米)；
②当x=4时，AB=5,BC=4，
新扩建花圃的总面积为:52×4+42=116(平方米) ．
综上，新扩建花圃的总面积为116平方米．
故答案为116．
2．如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m，15m，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽．
3．某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？
4．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．
(1)用含x的代数式表示y，并求出x的取值范围；
(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?
更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 5．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为14m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1m宽的门．
(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2？
(2)鸡舍面积能否达到86m2？
6．用总长400cm的木板制作矩形置物架ABCD（如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG．已知DG=40cm，设正方形的边长为AB=xcm．
(1)当x=45时，EG的长为________cm；
(2)置物架ABCD的高AD的长为________cm（用含x的代数式表示）；
(3)为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面积为3850cm2，求x的值．
7．某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
(1)若花园的面积为75m2，求AB的长；
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
8．有一块长x米，宽120米x>120的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200平方米，求x的值．
9．如图，某市规划在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=２AN=２CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．请问，四边形人工湖OPMN的面积能否为51000m2，若能，求出此时AN的长；若不能，请说明理由．
10．如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的19，求a的值．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE=BF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AD⊥BD，AB=5，BC=3，且EF−AF=2，求DE的长．
12．在正方形ABCD中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC延长线于点G，点F在BC上，∠FAE=∠DAE，连接FE并延长交AD延长线于H，连接HG．
(1)求证：四边形AFGH为菱形；
(2)若DH=1，求四边形AFGH的面积．
13．在某会议场馆的建设过程中，为了美化地面，选用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察如图所示的图形，并解答下列问题：
(1)按上述铺设方案，若铺一块长方形地面共用了506块的瓷砖，求此时n的值．
(2)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．
14．有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮．
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180cm2的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
15．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以x2−2x−3=0为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为x2−2x=3．即xx−2=3．
第二步：构造一个长为x，宽为x−2的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含x的代数式表示为______．
小正方形边长为常数______，
长方形面积之和为常数______．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边开方可求得x1=3，x2=−1．
(1)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(2)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程x2−x−3=0．
16．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同．
(1)求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答．
(2)求方案二中扇形的半径；（其中π≈3，结果保留根号）
(3)你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，此时点B到墙底端点C的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么点B将向外移动多少米？
(1)请你将下面的解答过程补充完整．
解：设点B将向外移动xm，即BB1=xm，
则B1C=x+0.7m，A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.4=2m，
而A1B1=AB=2.5m，则在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12，
得方程为__________；
解得x1=_________；x2=_______；
∴点B将向外移动________m．
(2)①如果将“下滑0.4m”改为“下滑0.9m”，那么该题的答案会是0.9m吗？为什么？
②梯子的顶端从点A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
18．如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积．
老师在黑板上的板书：x(x+20)
(1)请根据老师的板书说出x的实际意义：__________________；
(2)请用含x的多项式表示菜地的面积为：__________________；
(3)如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）；
(4)当a=2米时，求菜地开垦后的面积；
19．下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作Rt△ABC，Rt△ADE．其中∠BAC=∠DAE=90°，∠AED=30°，∠ADE=60°，∠ABC=∠ACB=45°．现固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，旋转角记为α(0°<α<135°)，射线AD与射线BC交于点P，在射线AE上取一点Q，使AQ=AP，连接CQ．
(1)【特例探究】如图2，当α=45°时，直接写出BP和CQ的数量关系和位置关系．
(2)【归纳证明】如图3，当点P在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)【类比迁移】当点P在线段BC延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．
(4)【拓展应用】连接PQ．若BC=5，△CPQ的面积等于3，请直接写出PQ的长．
20．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2=a2+b2+2ab−2ab=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．
(1)若a+b=7,ab=6，则a2+b2=______；
(2)若m满足(8−m)(m−3)=3，求(8−m)2+(m−3)2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8−m=a，m−3=b，
则a+b=(8−m)+(m−3)=5，ab=(8−m)(m−3)=3，
所以(8−m)2+(m−3)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．
请参照上述方法解决下列问题：若(3x−2)(10−3x)=6，求(3x−2)2+(10−3x)2的值；
(3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙AM，AD，DN）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙AM⊥墙AD，墙DN⊥墙AD，AM=DN=1米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．
参考答案
1．解：设横向小道宽为2x米，则坚向小道的宽为3x米，
根据题意得：30×20−30×2x+20×3x+2x×3x=486，
整理得：x2−20x+19=0，
解得：x1=1,x2=19（舍去），
2x=2×1=2（米），
答：横向小道的宽为2米．
2．解：设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为35+xm，宽为15+xm，
根据题意得：35+x15+x=800，
整理得：x2+50x−275=0，
解得：x1=5，x2=−55（不符合题意，舍去），
∴35+x=35+5=40，15+x=15+5=20.
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m.
3．解：设长廊的宽度应为x米．
32−x20−x=540解得x1=2，x2=50（舍去）
答：长廊的宽应为2米．
4．（1）解：∵AB的长为x米，且篱笆的总长度为30米，
∴BC的长为(30−3x)米．
∴花圃的面积y=x(30−3x)．
∵ 30−3x>030−3x≤12，
∴ 6≤x<10．
∴y=x(30−3x)，(6≤x<10)．
（2）解：依题意得：x(30−3x)=63，
整理得：x2−10x+21=0，
解得：x1=3（不符合题意，舍去），x2=7．
答：AB的长是7米．
5．（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB长为am，则矩形鸡舍的另一边BC长为26−2am．
依题意，得a26−2a=80，
解得a1=5，a2=8．
当a=5时，26−2a=16>14（舍去），
当a=8时，26−2a=10<14．
答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；
（2）解：当S=86m2，
则a26−2a=86，
整理得：a2−13a+43=0，
则Δ=169−172=−3＜0，
故所围成鸡舍面积不能为86平方米．
6．（1）解：当x=45时，则AB=AE=BF=EF=GH=DC=45cm，DG=MN=HC=40cm，
EG=400−45×6−40×32=5cm故答案为：5；
（2）置物架ABCD的高AD的长为400−4x−402=180−2x（cm），
故答案为：180−2x；
（3）根据题意，由（2）得，(180−2x)x=3850，
解得，x1=55，x2=35，
当x1=55时，AD的长为180−2×55=70cm，EG的高度为70−55−40=−25cm，小于26cm，舍去；
当x2=35时，AD的长为180−2×35=110cm，EG的高度为110−35−40=35cm，不小于26cm，符合题意．
∴x=35
7．（1）解：设AB=x米，则BC=20−x 米，
由题意得：x20−x=75，
解得：x1=5，x2=15，
答：AB的长为5米或15米；
（2）解：花园的面积不能为100米 2，理由如下：
设AB=x米，则BC=20−x 米，
由题意得：x20−x=100，
解得：x1=x2=10，
当x=10时，20−x=20−10=10，
即当AB=10米，CD=10米<12米，这棵树没有被围在花园内，
∴将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积不能为100米 2．
8．解：依题意得，丙地的长为x−120米，宽为120−x−120=240−x米，
∴x−120240−x=3200，
整理得x2−360x+32000=0，
解得：x1=160，x2=200，
∴ x的值为160或200．
9．解：能，理由如下：
如图，延长AE，CD于H，
∵∠A=∠B=∠C=90°∴四边形ABCH是矩形，
∴ AB=CH=800，AH=BC=1200，
∵CD=600，AD=900，
∴ EH=300，DH=200，
设AN=xm，则BN=800−x，
∵BO=2AN=2CP，AM=OC，
∴CP=x，BO=2x，AM=NC=1200−2x，
∴MH=2x，PH=800−x，
若四边形人工湖OPMN的面积为51000m2，
S四边形OPMN=1200×800−2×12×2x800−x−2×12x1200−2x=510000，
整理得：4x2−2800x+450000=0，
解得：x1=450，x2=250，
故：能，AN的长为250m或450m．
10．（1）解：种植花草的面积=a2+b2−2m；
（2）依题意得，m=14b2，a−b=20，m=19a2．
列方程得，14a−202=19a2，
解得a1=60，a2=12
∵a>20，
∴a=60．
11．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD，
∵DE=BF，
∴OB+BF=OD+DE，即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，
∴AD=BC=3，
∵AD⊥BD，AB=5，
∴BD=AB2−AD2=4，
设DE=BF=x，则EF=DE+BD+BF=2x+4，DF=BD+BF=x+4，
∵EF−AF=2，
∴AF=EF−2=2x+2，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x+42=2x+22，
解得x=7或x=−7<0（不符合题意，舍去），
则DE的长为7．
12．解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，即AH∥FG，
∴∠DAE=∠CGE．
∵点E为CD中点，
∴DE=CE．
又∵∠AED=∠GEC，
∴△ADE≌△GCE(AAS)，
∴AD=GC．
同理可证，△DHE≌△CFE(AAS)，
∴DH=CF，
∴AD+DH=GC+CF，
∴AH=GF，
∴四边形AFGH为平行四边形．
∵AH∥FG，
∴∠DAE=∠AGF．
又∵∠FAE=∠DAE，
∴∠AGF=∠FAE，
∴AF=FG，
∴四边形AFGH为菱形；
（2）设BF的长为x．
∵△DHE≌△CFE，
∴CF=DH=1，
∴AD=AB=BC=BF+CF=x+1．
∵四边形AFGH为菱形，
∴AF=AH=AD+DH=x+1+1=x+2．
∵在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，
∴(x+2)2=(x+1)2+x2
解得：x1=3，x2=−1（舍），
∴AB=3+1=4，AH=3+1+1=5，
∴S四边形AFGH=AH×AB=5×4=20．
13．（1）解：由题意，得n+3n+2=506，
∴n2+5n−500=0，
解得n1=20，n2=−25（舍去）．
答：此时n的值为20．
（2）∵图形黑砖的数量为：n+2n+3−nn+1，
白色转的数量为：nn+1，
当黑白砖块数相等时，n+2n+3−nn+1=nn+1．
整理得n2−3n−6=0．
解得n1=3+332，n2=3−332．
由题意可知n为整数，故不存在黑砖白块数相等的情形．
14．解：（1）设小正方形的边长为x cm．得：
(32−2x)(14−2x)=280，
解得：x1=21（舍去），x2=2．
答：裁去的正方形的边长为2cm．
（2）能；
设小正方形的边长为y cm．得：
32−2y2×(14−2y)=180，
解得：y1=22（舍去），y2=1．
体积为180×1=180(cm3)
15．（1）解：根据题意可得：
大正方形的边长为：x+x−2，
小正方形的边长为：x+x−2−2x−2=2，
长方形面积之和为：4×3=12，
∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴2x−22=4×3+22=16，
故答案为：x+x−2，2，12，2x−22=16；
（2）解：第一步：将原方程变形为x2−x=3，即xx−1=3，
第二步：构造成一个长为x，宽为x−1的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，
第四步：
将大正方形边长用含x的代数式表示为x+x−1，
小正方形边长为常数x+x−1−2x−1=1，
长方形面积之和为常数4×3=12，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程2x−12=1+12=13，
两边开方可求得x1=13+12，x2=−13+12．
16．（1）解：设小路的宽度为x米，
由题意得：16−2x12−2x=12×16×12；
（2）设扇形的半径为r米，
∵四个角上的四个扇形可合并成一个圆，
∴πr2=12×16×12，
解得r=42，
答：扇形的半径为42米；
（3）设计方案如图所示：将矩形荒地分成四个全等的矩形，连接对角线，根据矩形的性质可得阴影部分的面积等于荒地面积的一半．
17．（1）解：补全解答过程：
在Rt△A1B1C中，
∵B1C=x+0.7m，A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.4=2m，
A1B1=AB=2.5m，B1C2+A1C2=A1B12，
∴x+0.72+22=2.52，
解得：x1=0.8，x2=−2.2（不合题意，舍去），
∴点B将向外移动0.8m．
故答案为：x+0.72+22=2.52；0.8；−2.2（不合题意，舍去）；0.8．
（2）①不会．
理由：
若AA1=BB1=0.9m，
则B1C=0.9+0.7=1.6m，
A1C=AC−AA1=2.52−0.72−0.9=1.5m，
∵A1C2+B1C2=1.52+1.62=4.81m2，A1B12=2.52=6.25m2，
∴B1C2+A1C2≠A1B12，
∴该题的答案不会是0.9m；
②有可能相等．
理由：设梯子的顶端从点A处下滑ym，点B将向外移动ym，则有：
y+0.72+2.52−0.72−y2=2.52，
整理，得：2y2−3.4y=0，
解得：y1=1.7，y2=0（不合题意，舍去），
∴当梯子的顶端从点A处下滑1.7m时，点B也向外移动1.7m，即梯子的顶端从点A沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等．
18．（1）解：由题意得：x的实际意义是菜地的宽度；
（2）解：设菜地的宽度为x，则长度为x+20，
∴菜地的面积为：xx+20=x2+20x；
（3）解：∵菜地的长为120米，
∴菜地的宽为100米，
∵四周开垦的菜地宽度均为a米，
∴开垦后菜地的长为120+2a米，菜地的宽为100+2a米，
∴开垦后菜地的面积为：120+2a100+2a
=12000+240a+200a+4a2
=12000+440a+4a2（4）解：由（3）得：开垦后菜地的面积为：12000+440a+4a2，
当a=2时，原式=12000+440×2+4×22
=12000+880+16=1289619．解：（1）特例探究BP=CQ，BP⊥CQ
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（2）归纳证明：结论成立．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（3）类比迁移：结论成立．
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAP=∠CAQ．
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ∴△ABP≌△ACQSAS．
∴BP=CQ，∠ACQ=∠ABC=45°．
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°．
∴BP⊥CQ．
（4）连接PQ．若BC=5，△CPQ的面积等于3，请直接写出PQ
拓展应用
解：∵BP=CQ，BC=5，
设BP=x，则CQ=x，
当点P在线段BC上时，
∴PC=BC−BP=5−x，
∴S△CPQ=12PC×CQ =3，
即12x5−x=3，
解得：x=2或x=3，
∴PQ=CQ2+PC2=22+33=13,
当点P在BC的延长线上时，
∴PC=BC+BP=5+x，
∴S△CPQ=12PC×CQ =3，
即12x5+x=3，
解得：x=1或x=−6（舍去），
∴PQ=CQ2+PC2=12+63=37，
综上所述，PQ的长为13或37．
20．（1）解：a2+b2=a2+b2+2ab−2ab=(a+b)2−2ab=72−2×6=37．
（2）解：设3x−2=a，10−3x=b，
则a+b=(3x−2)+(10−3x)=8，ab=(3x−2)(10−3x)=6，
所以(3x−2)2+(10−3x)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=82−2×6=52．
（3）解：∵四边形ABCD长方形，
∴AB=CD，
∵AM=DN，
∴BM=CN，
设BM=CN=x米，则BC=12−2x米
由题意知x+112−2x=20，解得x=1或x=4，经检验，均符合题意
①当x=1时，AB=2,BC=10
∴新扩建花圃的总面积为:22×4+102=116(平方米)；
②当x=4时，AB=5,BC=4，
新扩建花圃的总面积为:52×4+42=116(平方米) ．
综上，新扩建花圃的总面积为116平方米．
故答案为116．
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