高中数学讲义——直线的方程与性质

这是一份高中数学讲义——直线的方程与性质，共10页。学案主要包含了基础知识，典型例题等内容，欢迎下载使用。

（一）直线的要素与方程：
1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。
3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关
（1）一点一方向：
① 点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：
证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程
② 斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为：
证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得：
化简可得：
（2）两点确定一条直线：
③ 两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为：
④ 截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：
证明：从已知截距可得：直线上两点，所以
⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式
一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果
可用于判定直线的平行垂直关系
点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式
5、五种直线形式所不能表示的直线：
（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）
（2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线
② 截距为0的直线：过原点的直线
6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
（二）直线位置关系：
1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合
如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况。
2、直线平行的条件
（1）斜截式方程：设直线
①
② 若直线的斜率存在，则
（2）一般式方程：设，则
① 当时，∥
② ，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线）
3、直线垂直的条件：
（1）斜截式方程：设直线，则
（2）一般式方程：设，则：
4、一般式方程平行与垂直判定的规律：
可选择与一般式方程对应的向量：，即有：
，从而的关系即可代表的关系，例如：
（注意验证是否会出现重合的情况）
（三）距离问题：
1、两点间距离公式：设，则
2、点到直线距离公式：设
则点到直线的距离
3、平行线间的距离：
则的距离为
（四）对称问题
1、中心对称：
（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点
（2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称的点满足：
2、轴对称
（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上
（2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足：
，解出即可
（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为
① 若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等
② 若与相交于 ，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线
（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）
1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值
（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）
（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）
2、过定点的直线：
（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可
（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）
3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程
二、典型例题：
例1：直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
思路：要求倾斜角（设为），可将直线转化为斜截式得：，所以
，即，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得：
答案：B
小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角，然后直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：，所以当时，倾斜角为（而不是）
例2：经过作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ．
思路：直线可视为绕进行旋转，在坐标系中作出线段，即可由图判断出若直线与线段有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线，则，由图像可得：
答案：
小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成，通过观察可得旋转的过程当中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！！
例3：若的图象是两条平行直线，则 的值是（ ）
A．或 B． C． D．的值不存在
思路：由平行线可得：可解得：或，检验是否存在重合情况，将代入直线可得：，符合题意，将代入直线可得：，则重合，不符题意，所以舍去。综上可得：
答案：B
小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用系数关系，但解出参数后要进行验证，看是否会导致直线重合。
例4：已知直线互相垂直，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
思路：由两直线相互垂直可得：，即，解得或
答案：A
例5：已知直线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 ．
思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点），所以考虑求出的对称点，再利用确定反射光线即可。
解：设的对称点，则有，且的中点在上

即
答案：
例6：直线 （ 且不同时为0）经过定点____
思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含的项与含的项分别归为一组，可得：，若要让“失去作用”，则，解得，即定点为
答案：
小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数），要么考虑过定点，而定点的求解可参照例6的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转），有助于解题。
例7：已知直线上存在点满足与两点连线的斜率与之积为，则实数的取值范围是_________
思路：设直线上的点，则需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为3.对于条件一，即，对于条件二，按照斜率计算公式可得，所以即。所以存在满足条件的，等价于方程组有解，所以判别式，可解得
答案：
例8：若不全为零的实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点在直线上，则线段长度的最小值是__________
思路：从成等差数列可得：，所以，方程含参进而考虑寻找定点。，所以有，解得定点为，即为绕旋转的动直线，对于任意点，的最小值为点到的距离，而的所有位置中，只有过点时，最短，即
答案：
小炼有话说：（1）本题的突破口在于对含参直线的分析，首先对于含参直线要分析出属于平行线系（斜率为定值），还是过定点系（斜率因参数变化而变化），其次对于多参数方程也能够找到定点。
（2）本题的均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最值时另一个点位置的特征（例如本题中固定，分析出到的距离为最小），然后再让该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。
例9：已知的两条高所在直线方程为，若，求直线的方程
思路：本题并没有说明高线是否过，但可以将带入方程进行验证，可得两条高线均不过，从而寻找确定直线的要素，可连接，由三角形“三条高线交于一点”的性质可得，且点可由两条高线解得，从而得到，只需再求得一点即可，观察到为三条直线的公共点，已知，而可求。进而解得的坐标，然后通过和求出的方程
解：设
，所以
由“三条高线交于一点”可得：

设，代入解得：


整理后可得：
答案：
例10：已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
思路：观察发现所给直线为两条平行线，所以点的轨迹为夹在两条直线之间的平行线，即，所以，代入所求，下面确定的范围，将代入可得：解得：
所以：
答案：A
小炼有话说：（1）本题的轨迹可通过图像观察到，也可进行代数分析：设，则有 ，①②可得：
即，所以点的轨迹为
（2）本题对于求的范围可以有两个角度考虑：一个角度是利用进行消元，从而转为一元表达式利用函数求范围。另一个角度可考虑的几何意义，即的斜率，从而通过作出可行域，数形结合处理。