苏教版 (2019)选择性必修第一册1.2 直线的方程精品复习练习题

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第一章 直线与方程
第02讲 直线的方程

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课程标准
重难点
1.了解由斜率公式推导直线方程的五种方程形式；
2.掌握直线的五种方程；
3.会利用直线的五种方程形式解决实际问题
1.不同方程的适用条件
2.根据方程解决实际问题

知识精讲

知识点01 直线的斜截式方程
1.直线的方程
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解, 那么这个方程叫做这条直线的方程, 这条直线叫做这个方程的直线.
2.截距
直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距;直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距.直线在轴上的截距也常叫做纵截距,直线在轴上的截距也常叫做横截距.
3.斜截式方程
如图所示, 直线在轴上的截距为,斜率为,把方程
叫做直线的斜截式方程.
4.适用范围
不能表示垂直于轴的直线,当斜率不存在时,直线垂直于轴.

【即学即练1】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；故选：C

【即学即练2】已知直线不经过第三象限，设它的斜率为，在轴上的截距为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，直线不经过第三象限，，．当时，直线也不经过第三象限，综上，．故选：B.


知识点02 直线的点斜式方程
1.点斜式方程的定义：
如图所示，直线过定点，斜率为，则把方程
叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．

2.点斜式方程的适用范围及注意点：
(1)适用范围:不垂直于轴的直线.过定点，倾斜角是90°的直线斜率不存在,所以无法通过点斜式表示,其方程则为,或.
(2)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一定点和斜率；②斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程．
(3)方程与方程不等价，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线．
(4)当取不同实数时，方程表示恒过定点的不同直线．

【即学即练3】直线恒过点（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为直线所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点故选：C

【即学即练4】 已知直线经过点，其倾斜角与直线的倾斜角互补，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，直线的斜率为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．故选：A

【即学即练5】 直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.故选：D.

知识点03 直线的两点式方程
1.两点式方程的定义
已知两点,其中,则.
为直线的两点式方程,简称为两点式.

2.两点式方程的适用范围及注意点：
(1)适用范围:表示不垂直于轴和轴的直线.当时,直线方程为;当时,直线方程为.
(2)方程和方程形式不同,适用范围也不同.前者为分式形式方程,分母不能为0,所以不能表示,,即垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程.

【即学即练6】有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程也可写成；
③过点，的直线可以表示成.
其中正确说法的个数为(       )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.
故选：D.

【即学即练7】已知直线过点，，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由直线的两点式方程可得，直线l的方程为，即．故选：C．


知识点04 直线的截距式方程
1.截距式方程的定义
我们把直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时
直线在轴上的截距是,方程叫做直线的截距式方程.其中
.

2.截距式方程的适用范围及注意点
(1)适用范围:因为,所以表示不垂直于轴和轴以及不过原点的直线.
(2)当时,直线过原点,直线方程为.

【即学即练8】两条直线和，，在同一直角坐标系中的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，直线的横、纵截距分别为
选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故A正确；
选项B，只有当时，才有直线平行，故B错误；
选项C，只有当时，才有直线的纵截距相等，故C错误；
选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，
由图像不对应，故D错误；故选：A

【即学即练9】满足过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的条数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
由题意知直线在两坐标轴上截距相等.
当直线过原点时直线方程为:；
当直线不过原点时设直线方程为，又因为截距相等，则，将点代入有，解得，此时直线方程为:.综上满足过点且在两坐标轴上截距相等的直线有条.
故选：B.


知识点05 直线的一般式方程
1.直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都可以用一个关于,的二元一次方程来表示.
(2)每个关于,的二元一次方程都表示一条直线.
2.直线的一般式方程
我们把关于关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程.
3.一般式方程适用范围及注意点
(1) 适用范围: 平面直角坐标系内的直线都适用.
(2),分别为,的系数,为常数, ,不同时为零.
(3)当时,直线过原点;当时,直线斜率为零;当时,直线斜率不存在.
4.对一般式方程的进一步理解
(1) 对移项得;
①当时,得斜截式:.表示斜率为,轴截距为的直线
②当时,得:.表示一条垂直于轴的直线
(2)一般式方程能表示任何直线,所以斜截式,点斜式,两点式,截距式都可转化为一般式方程.

【即学即练10】下列说法中不正确的是（       ）．
A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示
B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】D
【解析】
对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率k存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，可得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，可得，，，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的；
对于选项B，当时，方程（A，B不同时为0），即，显然有，即直线过原点，故此说法正确；
对于选项C，因为当，，时，方程可化为，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确；
对于选项D，若直线方程为，显然它不能表示为点斜式，故错误．
故选：D.

【即学即练11】 直线经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件（       ）
A． B． C．A，B，C同号 D．
【答案】C
【解析】
由题可知，由，
得.
直线经过第二、三、四象限，
同号.
故选：C


知识点06 求直线方程的一般方法
1. 直接法
直线方程形式的选择方法:
(1)已知一点常选择点斜式;
(2)已知斜率选择斜截式或点斜式;
(3)已知在两坐标轴上的截距用截距式;
(4)已知两点用两点式,应注意两点横、纵坐标相等的情况.

2.待定系数法
先设出直线的方程,再根据已知条件求出末知系数, 最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：
（1）设方程; (2)求系数; (3)代人方程得直线方程. 若已知直线过定点, 则可以利用直线的点斜式 求方程, 也可以利用斜截式、截距式等求解 (利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).

【即学即练12】 直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
若直线过原点，可设直线的方程为，则有，此时直线的方程为；
当直线不过原点时，可设直线的方程为，即，则有，可得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故选：C.

【即学即练13】经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（       ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即.由，得或.故所求直线方程为或.故选：D


知识点07 求直线过定点问题
解决直线过定点问题常用的方法如下:
(1) 特殊值法:给方程的参数取两个特殊值,可得关于,的两个方程,从中解出的,的值即为所求定点的坐标.
(2) 点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式方程,则直线必过定点.
(3) 分离参数法:
含参数的直线方程,将含参数的单项式合并同类项,整理为的形式, 然后令和, 此点就是定点.(对于直线过定点,理解为无论参数为何值,该直线方程恒成立,所以在此方程中“失去作用”,所以令即可.)
【即学即练14】求证:无论为何值,直线都过一定点.
【解析】
证法一:当时, 直线方程为;当时,直线方程为.这两条直线的交点为.又当时,,则点在直线 上.所以无论为何值,直线都过定点 .
证法二:因为直线方程可化为,
则无论取何值,直线都过直线与的交点.
由解得即交点为.所以无论取何值,直线 都恒过定点.



能力拓展

◆考点01 直线方程的适用条件及使用范围
【典例1】 一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（       ）
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
【答案】B
【解析】
由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．
由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
故选：B
【典例2】 若方程表示一条直线，则实数满足
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
方程表示一条直线，，，不能同时成立，两式同时成立时解得 所以，故选C.
【典例3】 下列说法中正确的是（       ）
A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B．与是直线的截距式方程
C．直线方程的斜截式都可以化为截距式
D．在轴、轴上的截距分别是2，－3的直线方程为
【答案】D
【解析】
因为截距式适用于在轴、轴上的截距都存在且都不为0的直线，所以A错误；
因为方程与不符合截距式方程的结构特点，所以B错误；
因为斜截式的直线方程包含在轴上的截距为0的情况，而此类直线的方程不可以化为截距式，如直线，所以C错误；
在轴、轴上的截距分别是2，－3的直线方程为，易知D正确.
故选：D
【典例4】 下面说法正确的是（       ）.
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．不经过原点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
【答案】D
【解析】
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；
当时，经过点的直线可以用方程即表示，
当时，经过点的直线可以用方程，即表示，
因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；故选：D

◆考点02 不同直线形式解设直线方程
【典例5】 直线l过A(－1，－1)，B(2，5)两点，点C(1 009，b)在直线l上，则b的值为（       ）
A．2 015 B．2 016
C．2 019 D．2 020
【答案】C
【解析】
因为直线l过A(－1，－1)，B(2，5)两点，则直线方程为，
整理得，将代入可得，解得.
故选：C.
【典例6】 过点的直线l与x、y轴的正方向分别交于A、B两点，若，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】依题意设直线的方程为，则，所以直线的方程为，即.故答案为：

【典例7】若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为___________.
【答案】
【解析】
因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为，所以直线方程为：.故答案为：.
【典例8】过点且与直线平行的直线方程为_______.
【答案】
【解析】
设与直线平行的直线为，因为点在直线上,所以，可得：，所以该直线方程为：，故答案为：.
【典例9】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】或
【解析】
设直线l的点斜式方程为．当时；当时．由题意，或．综上，直线方程为或．

◆考点03 直线过定点问题
【典例10】 无论m为何值，直线所过定点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，.当时，，与m为何值无关.故直线所过定点的坐标为.故选：D
【典例11】 直线过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
直线方程可化为，由，解得，因此，直线过定点.故选：C.
【典例12】 无论m取何值，直线都恒过一个定点，则定点的坐标为______．
【答案】
【解析】
直线，即．令，解得所以该直线过定点．故答案为：．




分层提分

题组A 基础过关练
一、单选题
1．如下图，直线的方程是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D
2．已知，，则直线通过（       ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【解析】
解：直线化为．∵，，∴，，∴直线通过第一、二、四象限．
故选：B．
3．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（       ）
A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)
【答案】B
【解析】
将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.
4．直线l的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（       ）
A． B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】
由题设，直线，整理得，所以，直线l与坐标轴交点为，故直线被坐标轴所截得的线段长是.故选：C
5．已知直线的两点式方程为，则的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为直线的两点式方程为，所以直线过点，，所以的斜率为．
故选：A
6．下列说法中不正确的是（       ）.
A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线.
B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线.
C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线.
D．截距式适用于不过原点的任何直线.
【答案】D
【解析】
解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确；
斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确；
两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确；
截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误．
故选：D．
7．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（       ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
解：由题可知，直线过点，所以直线在轴上的截距为，又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在轴上的截距为1或，则所求直线方程为或．故选：D.
8．直线过点，则直线的斜率等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由点在直线上可得，解得，故直线方程为，即，其斜率，故选：D.

二、填空题
9．经过点且在x轴上的截距为3的直线方程是______．
【答案】
【解析】
当斜率不存在时，直线为：，横截距为-1，不符合题意；
当斜率存在时，设其为k，直线可设为：.由在x轴上的截距为3，可得：，解得：，所以直线方程为：.故答案为：.
10．设直线过定点，则点的坐标为________.
【答案】
【解析】
由直线方程，可化简为，又由，解得，即直线恒经过定点.故答案为：.
11．若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
由直线不过第二象限需满足，解得，所以实数的取值范围.
故答案为：
12．若方程表示与两坐标轴都相交的直线，则__________．
【答案】
【解析】
当A=0时，，直线化为，只与y轴相交，不符．
当B=0时，，直线化为，只与x轴相交，不符．
所以，直线化为，斜率为，截距为只要斜率存在且不为0与两坐标轴均有交点．所以填．
三、解答题
13．求下列直线的方程：
(1)通过的直线；
(2)通过的直线；
(3)在x轴上的截距是，在y轴上的截距是的直线；
(4)在x轴与y轴上的截距都是的直线．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】
(1),,直线方程为，
即.
(2),,直线方程为，即.
(3)在x轴上的截距是，在y轴上的截距是的直线,
直线的方程为，即.
(4)在x轴与y轴上的截距都是直线的方程为，即.
14．（1）求直线的倾斜角；
（2） 求直线绕点逆时针方向旋转所得直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设直线的倾斜角为，则，，故；
（2）所求直线的倾斜角为，则所求直线的斜率为，
因为所求直线过点，故所求直线的方程为.
15．已知直线：.
（1）求证：无论为何值，直线必经过第一象限.
（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由，故直线过定点，且该点在第一象限，
∴无论为何值，直线必经过第一象限.
（2）由（1）知：要使直线不经过第二象限，则，而，
∴，即的取值范围.
16．已知直线l:＋＝1.
(1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程．
【答案】(1)m＝4； (2)x＋y－1＝0.
【解析】
(1)解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4.
(2)解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)．
据题意知解得0 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－ (m－1)2＋.
因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值，
故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.
17．已知直线l的方程为，．
(1)求证：直线l恒过点P，并求出点P的坐标．
(2)若直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析， (2)或
【解析】
(1)将转化为．
由，解得故直线l恒过点．
(2)由题意得直线l在x轴、y轴上的截距相等
所以，．
令得，，故l在y轴上的截距为．
令得，，故l在x轴上的截距为．
由得，解得或
当时，化简得，
当时，化简得，
故直线l的方程为或．




题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线的条数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当直线过原点时，设直线：，将点代入可得，可得，此时直线：，
当直线不过原点时：设直线为：，且，当时，，可得，此时直线为：，当时，可得：，，此时直线为：即，
所以满足条件的直线有或或所以满足条件的直线的条数为，故选：C.
2．过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
由题意知，所求直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，
则直线方程为，即，
令，可得；令，可得，
因为过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4，
可得，整理得，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得或，
所以满足条件的直线方程共有3条.
故选：C.
3．已知、，若点在线段上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
直线的斜率为，所以直线的方程为，即．所以，线段的方程为，所以，，因此，的最小值为．
故选：A．
4．经过点P（3，2），且倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是（       ）
A．8x-15y+6=0 B．x-8y+3=0
C．2x -4y+3=0 D．8x+15y+6=0
【答案】A
【解析】
解：设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则，且，
，从而方程为，整理得．故选：A
5．直线经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件（       ）．
A．， B．，
C．A，B，C同号 D．，
【答案】C
【解析】
由题意可知，由，得．
∵直线经过第二、三、四象限，∴，∴A，B，C同号．
故选：C.
6．无论m取何实数，直线一定过（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
，则.
取，解得，故直线过定点,必过第三象限.
故选：C
7．若点是直线：外一点，则方程表示（       ）
A．过点且与平行的直线
B．过点且与垂直的直线
C．不过点且与平行的直线
D．不过点且与垂直的直线
【答案】C
【解析】
∵点不在直线：上，∴，∴直线不过点，又直线与直线：平行，故选：C.
8．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为直线和直线都过点，可得且，
即点和点适合直线，所以过点和点的直线方程是.故选：A.
9．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
已知直线整理得：，直线恒过定点，即.点也在直线上，所以，整理得：，由于，均为正数，则,取等号时，即，
故选：B.

二、填空题
10．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
【答案】或
【解析】
设直线的方程为，则，且，解得或者，
∴直线l的方程为或，即或.
故答案为：或.
11．已知直线过点，且和直线的夹角为30°，则直线的方程为____________.
【答案】或
【解析】
由题,直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为或,
当倾斜角为时,直线为,即为；
当倾斜角为时,直线为,
故答案为：或
12．对于直线上任意一点，点仍在直线上，则直线的方程为___________．
【答案】或.
【解析】
依题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，将两点坐标代入得①和②. ②可化为③，由于①③是相同的，故，解得，或.所以直线的方程为或.
故答案为或.
13．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中均为正数，则的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
因为直线，即，故，由于点也在直线上，所以，因为，
当且仅当，即时，等号成立，故则的最小值为8，故答案为：8.

三、解答题
14．已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：由题得直线的斜率为.设点是直线上除点的任意一点，所以，化简得.显然点也满足此方程，所以直线的方程可以写成.故得证.
15．已知方程．
（1）若方程表示一条直线，求实数的取值范围；
（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程；
（3）若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值；
（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．
【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）.
【解析】
解：（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线．令，解得或；
令，解得或．所以，的系数同时为零时，故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为；
（2）由（1）知当时，，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为；
（3）易知且时，直线在轴上的截距存在.依题意，令，得直线在轴上的截距，解得．所以实数的值为；
（4）易知且时，直线的斜率存在，方程即，故斜率为.因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以，解得．
所以实数的值为．
16．已知，，三点在直线l上．
(1)求实数的值；
(2)求直线l的方程；
(3)已知，在直线上求一点，使过、的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
(1)因为，，三点在直线l，所以，即，解得或（舍去）.
(2)由（1）知，又直线l过点，所以直线l的方程为，即.
(3)设，又，则直线，令，则，即直线与轴交点的坐标为，，所以直线与以及轴在第一象限内所围成的三角形的面积：
，当且仅当，即时取等号，此时，三角形面积最小.



题组C 培优拔尖练
1．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（       ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
【答案】A
【解析】
因为与是直线（为常数）上两个不同的点，所以即，故既在直线上，也在直线上.因为与是两个不同的点，故、不重合，故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.
2．一束光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(-1，6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程.
【答案】入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.
【解析】
易知点A(3，2)关于x轴的对称点为A'(3，-2).由已知可得反射光线所在直线为直线A'B，其方程为=，即2x+y-4=0.点B(-1，6)关于x轴的对称点为B'(-1，-6).由已知可得入射光线所在直线为直线AB'，其方程为=，即2x-y-4=0.故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.

3．已知直线的方程为．
（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
（1）当时，直线的方程为，
令，得；
令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
（2）证明：将直线的方程整理得，
由，得，所以直线恒过点，所以不论取何值，直线恒过第四象限．
（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，
所以动点到定点，距离之和为，所以当，，三点共线时，最小，此时．
4．已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.
【解析】
（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；
（2）由（1）知：直线恒过定点，则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；
则最大值；
（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，
令得：，即；
令得：，即；
又位于轴的负半轴，，解得：；
，
令，则，，
，
，，
则当，即时，，，
此时直线的方程为：.