2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，双空题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）．
A．1或B．1C．D．或0
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由于，若，则，不合题意；
所以，解得，
故选：C
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】或，
，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是.
故选：B.
4．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
5．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别计算出、、的范围，比较大小即可得.
【详解】，，，即，
则有.
故选：A.
6．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：)满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．40分钟B．41分钟
C．42分钟D．43分钟
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，解得.
即至少大约需要的时间为42分钟.
故选：C
7．函数的定义域为，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数和减函数的性质判断即可
【详解】因为函数为偶函数，所以,
设，则，所以，
所以，
又对任意的，都有成立，
所以，故在上单调递减，
所以，
故选：B
8．已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（ ）
A．a的取值范围是(0,)B．的取值范围是(0,1)
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.
【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．
的图象如下图示，

由图知：，
所以，即的取值范围是(0,＋∞)．
由二次函数的对称性得：，
因为，即，故．
故选：D
【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.
二、多选题
9．设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式性质判断A，作差法判断B；C、D选项举出反例即可.
【详解】对于A，由得，正确；
对于B，，
因为，所以，得，正确；
对于C，若，，，错误；
对于D，当时，，错误.
故选：AB
10．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若集合中只有一个元素，则
C．命题“，”的否定是“，”
D．若命题“，”为假命题，则
【答案】ACD
【分析】对A选项：分数是有理数；对B选项： 当时，集合也仅有一个元素；对C选项：运用命题的否定即可得；对D选项：写出该命题的否定，计算即可得.
【详解】对A选项：是有理数，故A正确；
对B选项：当时，有，故B错误；
对C选项：“，”的否定是“，”，故C正确；
对D选项：命题“，”为假命题，
即“，使”为真命题，
即小于在上的最大值，即，故D正确.
故选：ACD.
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．为同一函数
B．已知，则的值为5
C．函数的单调递减区间为
D．已知，，则
【答案】BCD
【分析】首先明确真假命题相关定义，并对ABCD选项进项分析判断即可.
【详解】A中, 的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
B中, ,且令，得到，
故，则，故,故B正确;
C中,已知函数，先令，
解得，故函数的定义域为，令，易知对称轴为，
故在单调递增，在单调递减，由复合函数单调性质得的单调递减区间为,故C正确;
D中,已知，则，
则,故D正确.
故选:BCD
12．任意实数均能写成它的整数部分与小数部分的和，即（其中表示不超过x的最大整数）. 比如：，其中 . 则下列的结论正确的是（ ）
A．
B．的取值范围为
C．不等式的解集为
D．已知函数，的值域是.
【答案】ACD
【分析】根据及符号的含义逐个选项验证可得答案.
【详解】因为，所以，所以，A正确；
由可得，B不正确；
由可得，所以，C正确；
，因为，所以，
当时，；当时，，所以的值域是，D正确.
故选：ACD
三、单空题
13．若幂函数在上是减函数，则m= ．
【答案】
【分析】由幂函数定义算出，由函数单调性舍去错误答案即可得.
【详解】又为幂函数，则有，解得或，
当时，，在上单调递增，不符，故舍去，
当时，，在上是减函数，符合.
故答案为：.
14． ．
【答案】6
【分析】根据对数函数运算法则求解.
【详解】.
故答案为：6.
15．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数（且），
令，可得，且，所以，，即，，
对任意的正数都有，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是
故答案为：
四、双空题（新）
16．已知函数，其中，则的值域是 ；若且对任意，，总存在，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】，结合二次函数性质即可得值域；，时，的范围可计算出，则其范围对应集合包含于在的值域，计算即可得的取值范围.
【详解】，
由，则，故；
且对任意，，
总存在，使得，
即在，上的所有取值都在在的值域的内，
由时，，
故对任意，，，
在的值域为，
故有，解得.
故答案为：；.
五、问答题
17．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，然后利用集合的并集运算求解；
（2）先求出，然后利用并集运算，求出的取值范围.
【详解】（1）当时，， 所以.
（2）因为，，
所以， 解得：.
故的取值范围为：.
18．（1）已知，，求， 的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可；（2）作差，再结合不等式的性质比较即可.
【详解】（1）∵，，
∴，.
∴.
又，
∴
（2），
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
19．设不等式的解集为，关于x的不等式的解集为．
(1)求集合；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，转化为，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合，进而求得取值范围.
【详解】（1）解：由不等式，可得，
即，且，所以，所以．
（2）解：因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
由不等式，可得，
当时，不等式的解集为，即，因为，则；
当时，不等式为，解得，即；成立；
当时，不等式的解集为，即，因为，则，
综上所述，即的取值范围是．
六、应用题
20．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.
【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.
【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；
方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.
比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.
【详解】（1）由题意得：

由得即，
解得
由，设备企业从第3年开始盈利
（2） 方案一总盈利额
，当时，
故方案一共总利润，此时
方案二：每年平均利润
，当且仅当时等号成立
故方案二总利润，此时
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.
七、证明题
21．已知函数的定义域为，当时，．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上为单调减函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)-1
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解；
（2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性；
（3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）由题意知，令，
则，得；
（2）当时，有，且当时，
，且，则，.
由，得，
有，
即，所以函数在上为单调减函数；
（3）由，得，
由，得，
即，由（1）知，
所以，
由（2）知函数在上为单调减函数，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
八、问答题
22．已知定义在上的函数．
(1)已知当时，函数在上的最大值为8，求实数的值；
(2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可；
（2）运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）令，则：，
设，
由题意，在上的最大值为8，
因为，二次函数开口向上，
因此有，或，
由不成立，
由；
（2）根据局部对称函数的定义可知，，
即，
，
，
令，
则，
因为，当且仅当，时等号成立，
函数在区间上单调递增，所以，
所以，所以的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题的关键是运用常变量分离法、运用指数幂的运算性质、利用基本不等式进行求解.