2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市三峡名校联盟高一上学期数学联考试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x,x2，若1∈A，则x=．( )
A. 1或−1B. 1C. −1D. −1或0
2.“xy>0”是“x>0，y>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=x+2x的零点所在区间是
( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
4.一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为2,3，则不等式cx2+bx+a<0的解集为
( )
A. 13,12B. −12,−13
C. −3,−2D. −∞,13∪12,+∞
5.已知a=31.2，b=lg30.7，c=13−0.9，则a、b、c的大小关系是
( )
A. b6.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1∘C，空气温度为θ0∘C，则t分钟后物体的温度θ(单位： ∘C)满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt.若常数k=0.05，空气温度为30∘C，某物体的温度从110∘C下降到40∘C以下，至少大约需要的时间为(参考数据：ln2≈0.69)( )
A. 40分钟B. 41分钟C. 42分钟D. 43分钟
7.函数fx的定义域为R，对任意的x∈1,+∞)、t∈0,+∞，都有fx+t( )
A. f1C. f−28.已知函数f(x)={2x−1,x≤1(x−2)2,x>1，函数y=fx−a有四个不同的的零点x1，x2，x3，x4，且x1( )
A. a的取值范围是(0,12)B. x2−x1的取值范围是(0,1)
C. x3+x4=2D. 2x1+2x2x3+x4=12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a>b，则下列不等式一定成立的是
( )
A. a−c>b−cB. a3>b3C. a>bD. ac>bc
10.下列说法正确的是( )
A. 13∈Q
B. 若集合A=xax2+x+1=0中只有一个元素，则a=14
C. 命题“∃x<3，2x−x<3”的否定是“∀x<3，2x−x≥3”
D. 若命题“∀x∈1,2，x2−a≤0”为假命题，则a<4
11.下列命题为真命题的是( )
A. y= x+1⋅ x−1,y= x2−1为同一函数
B. 已知f x+1=x+1，则f3的值为5
C. 函数y=lg12−x2+4x−3的单调递减区间为1,2
D. 已知lg65=a，6b=2，则lg206=1a+2b
12.任意实数x均能写成它的整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x=[x]+{x}(其中[x]表示不超过x的最大整数).比如：1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7，其中[1.7]=1,{1.7}=0.7.则下列的结论正确的是
( )
A. {−13}=23
B. {x}的取值范围为−1,1
C. 不等式x2−x≤2的解集为x−1≤x<3
D. 已知函数fx=2x1+2x−14，gx=fx的值域是−1,0．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数fx=m2+m−1xm+1在0,+∞上是减函数，则m=________．
14.16 34+lg12 12− lg12 3=________．
15.函数fx=lga2x−3+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点Am,n，若对任意正数x、y都有mx+ny=4，则1x+1+2y的最小值是________．
16.已知函数f(x)=x+1x2，其中x∈[1,2]，则fx的 值域是 ；若g(x)=x+m−1且对任意x1，x2∈1,2，总存在x3∈1,3，使得fx1−fx2=gx3，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−1≤x≤5}，B=x|m−3(1)当m=3时，求A∪B；
(2)若B∪∁RA=R，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知1(2)已知a,b,x,y∈0,+∞，且1a>1b，x>y，试比较xx+a与yy+b的大小．
19.(本小题12分)
设不等式2x−5x−4≤1的解集为A，关于x的不等式x2−(a+2)x+2a≤0的解集为B．
(1)求集合A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(n∈N+)年的材料费、维修费、人工工资等共为(52n2+5n)万元，每年的销售收入55万元．设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元．
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；
问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数fx的定义域为0,+∞,fxy−fx=fy+1，当x>1时，fx<−1．
(1)求f1的值；
(2)证明：函数fx在0,+∞上为单调减函数；
(3)解不等式fx−2+fx>−2．
22.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=m⋅4x−2x+1+1−m(m∈R)．
(1)已知当m>0时，函数f(x)在0,2上的最大值为8，求实数m的值；
(2)若函数y=g(x)的定义域内存在x0，使得g(a+x0)+g(a−x0)=2b成立，则称g(x)为局部对称函数，其中(a,b)为函数g(x)的局部对称点．若(1,0)是f(x)的局部对称点，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解．
解：由于1∈A，若x=1，则x2=1，不合题意；
所以x≠x2x2=1，解得x=−1，
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：xy>0⇒x>0，y>0或x<0，y<0，
x>0，y>0⇒xy>0．
故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
直接利用零点判定定理判定求解即可．
【解答】
解：f(x)=x+2x在R上是增函数．
而f(−2)=−2+2−2<0，f(−1)=−1+2−1<0，f(0)=0+20=1>0，f(1)=1+21>0，
∴f(−1)⋅f(0)<0，
故函数f(x)在区间(−1,0)上有零点．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
解：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为2,3，
∴a<0，且2，3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，
∴2+3=−ba2×3=ca，解得b=−5a,c=6a，其中a<0；
∴不等式cx2+bx+a<0化为6ax2−5ax+a<0，即6x2−5x+1>0，
解得x<13或x>12，因此所求不等式的解集为−∞,13∪12,+∞．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】分别计算出a、b、c的范围，比较大小即可得．
解：a=31.2>3，b=lg30.7<0，c=13−0.9=30.9，即1则有b故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果．
解：由题意可知，40=30+110−30e−0.05t，解得t=3ln20.05≈3×．
即至少大约需要的时间为42分钟．
故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】由偶函数和减函数的性质判断即可
解：因为函数fx+1为偶函数，所以fx+1=f−x+1，
设−x+1=m，则x=1−m，所以fm=f2−m，
所以f−2=f2+2=f4，
又对任意的x∈1,+∞)、t∈0,+∞，都有fx+t所以fx+t−fxx+t−x<0，故fx在1,+∞)上单调递减，
所以f−2=f4故选：B
8.【答案】D
【解析】【分析】将问题转化为f(x)与y=a有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误．
将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系．
解：y=fx−a有四个不同的零点x1、x2、x3、x4，即fx=a有四个不同的解．
f(x)的图象如下图示，

由图知：0所以x2−x1>0，即x2−x1的取值范围是(0,+∞)．
由二次函数的对称性得：x3+x4=4，
因为1−2x1=2x2−1，即2x1+2x2=2，故2x1+2x2x3+x4=12．
故选：D
9.【答案】AB
【解析】【分析】根据不等式性质判断A，作差法判断B；C、D选项举出反例即可．
解：对于A，由a>b得a−c>b−c，正确；
对于B，a3−b3=a−ba2+ab+b2=a−ba+b22+34b2，
因为a>b，所以a−b>0，得a3−b3>0，正确；
对于C，若a=1，b=−2，a对于D，当c=0时，ac=bc，错误．
故选：AB
10.【答案】ACD
【解析】【分析】对A选项：分数是有理数；对B选项：当a=0时，集合A也仅有一个元素；对C选项：运用命题的否定即可得；对D选项：写出该命题的否定，计算即可得．
解：对A选项：13是有理数，故 A正确；
对B选项：当a=0时，有A=−1，故 B错误；
对C选项：“∃x<3，2x−x<3”的否定是“∀x<3，2x−x≥3”，故 C正确；
对D选项：命题“∀x∈1,2，x2−a≤0”为假命题，
即“∃x0∈1,2，使x02−a>0”为真命题，
即a小于x02在x0∈1,2上的最大值，即a<4，故 D正确．
故选：ACD．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】首先明确真假命题相关定义，并对ABCD选项进项分析判断即可．
解：A中，y= (x+1)⋅ (x−1)的定义域为x∈1,+∞y= (x2−1)的定义域为x∈−∞,−1∪1,+∞，定义域不同，不是同一函数，故 A错误；
B中，f( x+1)=x+1，且令 x+1=t∈1,+∞，得到x=(t−1)2，
故f(t)=(t−1)2+1，则f(x)=(x−1)2+1，故f3=5，故 B正确;
C中，已知函数y=lg12(−x2+4x−3)，先令−x2+4x−3>0，
解得x∈(1,3)，故函数的定义域为(1,3)，令g(x)=−x2+4x−3，易知对称轴为x=2，
故g(x)在(1,2)单调递增，在(2,3)单调递减，由复合函数单调性质得y=lg12(−x2+4x−3)的单调递减区间为1,2，故 C正确;
D中，已知lg65=a,6b=2，则lg62=b，
则lg206=1lg620=1lg65+lg64=1(a+2b)，故 D正确．
故选：BCD
12.【答案】ACD
【解析】【分析】根据x=[x]+{x}及符号的含义逐个选项验证可得答案．
解：因为x=[x]+{x}，所以{x}=x−[x]，所以{−13}=−13−−1=23， A正确；
由{x}=x−[x]可得0≤{x}<1，B不正确；
由x2−x≤2可得−1≤[x]≤2，所以−1≤x<3， C正确；
fx=2x1+2x−14=34−11+2x，因为1+2x>1，所以fx∈−14,34，
当fx∈−14,0时，gx=fx=−1；当fx∈0,34时，gx=fx=0，所以gx=fx的值域是−1,0， D正确．
故选：ACD
13.【答案】−2
【解析】【分析】由幂函数定义算出m，由函数单调性舍去错误答案即可得．
解：又fx=m2+m−1xm+1为 幂函数，则有m2+m−1=1，解得m=1或m=−2，
当m=1时，fx=x2，在0,+∞上单调递增，不符，故舍去，
当m=−2时，fx=x−1，在0,+∞上是减函数，符合．
故答案为：−2．
14.【答案】6
【解析】【分析】根据对数函数运算法则求解．
解：16 34+lg12 12− lg12 3=2434+lg12123=23+lg2−122=8−2=6．
故答案为：6．
15.【答案】43
【解析】【分析】求出定点A的坐标，可得出2(x+1)+y=6，然后将代数式162x+1+y与1x+1+2y相乘，展开后利用基本不等式可求得1x+1+2y的最小值．
解：对于函数fx=lga2x−3+1(a>0且a≠1)，
令2x−3=1，可得x=2，且f2=lga1+1=1，所以，A(2,1)，即m=2，n=1，
对任意的正数x,y都有mx+ny=4，即2x+y=4，则2(x+1)+y=6，
所以，1x+1+2y=162x+1+y1x+1+2y=164+4x+1y+yx+1
≥164+2 4x+1y⋅yx+1=43，
当且仅当4x+1y=yx+12x+y=4x>0x>0,y>0时，即当x=12y=3时，等号成立，
所以，1x+1+2y的最小值是43
故答案为：43
16.【答案】34,2；−34,0
【解析】【分析】fx=x+1x2=1x+1x2=1x+122−14，结合二次函数性质即可得fx值域；x1，x2∈1,2时，fx1−fx2的 范围可计算出，则其范围在gx在x∈1,3的值域内，计算即可得m的取值范围．
解：fx=x+1x2=1x+1x2=1x+122−14，
由x∈[1,2]，则1x∈12,1，故fx∈34,2；
gx=x+m−1且对任意x1，x2∈1,2，
总存在x3∈1,3，使得fx1−fx2=gx3，
即fx1−fx2在x1，x2∈1,2上的所有取值都在gx在x∈1,3的值域的内，
由x∈1,2时，fx∈34,2，
故对任意x1，x2∈1,2，fx1−fx2∈0,54，
g(x)在x∈1,3的值域为m,m+2，
故有m≤0m+2≥54，解得m∈−34,0．
故答案为：34,2；−34,0．
17.【答案】解：(1)当m=3时，B=x|0(2)因为∁RA=−∞,−1∪5,+∞，B∪∁RA=R，
所以m−3<−13m>5， 解得：53故m的 取值范围为：53,2．

【解析】【分析】(1)当m=3时，B=x|0(2)先求出∁RA=−∞,−1∪5,+∞，然后利用并集运算，求出m的取值范围．
18.【答案】解：(1)∵1∴2<2a<12，−4<−b<−3．
∴−2<2a−b<9．
又14<1b<13，
∴14(2)xx+a−yy+b=bx−ay(x+a)(y+b)，
因为1a>1b且a，b∈(0,+∞)，
所以b>a>0；
又因为x>y>0，所以bx>ay>0，(x+a)(y+b)>0，
所以xx+a>yy+b．

【解析】【分析】(1)由不等式的性质直接求范围即可；(2)作差，再结合不等式的性质比较即可．
19.【答案】解：(1)由不等式 2x−5x−4≤1 ，可得 2x−5x−4−1=x−1x−4≤0 ，
即 x−1x−4≤0 ，且 x≠4 ，所以 1≤x<4 ，所以 A=1,4 ．
(2)因为“ x∈A ”是“ x∈B ”的必要不充分条件，所以集合 B 是 A 的真子集，
由不等式 x2−a+2x+2a≤0 ，可得 x−2x−a≤0 ，
当 a<2 时，不等式的解集为 a≤x≤2 ，即 B=a,2 ，因为 B Ü A ，则 1≤a<2 ；
当 a=2 时，不等式为 (x−2)2≤0 ，解得 x=2 ，即 B=2 ； B Ü A 成立；
当 a>2 时，不等式的解集为 2≤x≤a ，即 B=2,a ，因为 B Ü A ，则 2综上所述 1≤a<4 ，即 a 的取值范围是 1,4 ．

【解析】【分析】(1)根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；
(2)根据题意，转化为 B Ü A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合 B ，进而求得 a 取值范围．
20.【答案】解：(1)由题意得：
f(n)=55n−90−(52n2+5n)=−52n2+50n−90．
由f(n)>0，得−52n2+50n−90>0，
即n2−20n+36<0，
解得2由于n∈N+，故设备企业从第3年开始盈利；
(2)方案一：总盈利额f(n)=−52(n−10)2+160，当n=10时 f(n)max=160．
故方案一共总利润160+10=170，此时n=10；
方案二：每年平均利润f(n)n=50−52(n+36n)⩽50−52×2 36=20，当且仅当n=6时等号成立．
故方案二总利润6×20+50=170，此时n=6．
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
【解析】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用配方法及基本不等式求最值，是中档题．
(1)由题意写出f(n)关于n的函数式，由f(n)>0求得n的范围，再由n∈N+，可得该设备企业从第3年开始盈利；
(2)利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出f(n)n的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．
21.【答案】解：(1)由题意知，令x=y=1，
则f(1)−f(1)=f(1)+1，得f(1)=−1；
(2)当x∈(0,+∞)时，有f(xy)−f(x)=f(y)+1，且当x>1时f(x)<−1，
∀x1,x2∈(0,+∞)，且x11，f(x2x1)<−1．
由f(xy)−f(x)=f(y)+1，得f(xy)=f(x)+f(y)+1，
有f(x2)=f(x1⋅x2x1)=f(x1)+f(x2x1)+1即f(x2)(3)由f(xy)−f(x)=f(y)+1，得f(x)+f(y)=f(xy)−1，
由f(x−2)+f(x)>−2，得f(x−2)+f(x)=f[x(x−2)]−1>−2，
即f[x(x−2)]>−1，由(1)知f(1)=−1，
所以f[x(x−2)]>f(1)，
由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上为单调减函数，
所以{x(x−2)<1−2>0x>0，解得2即原不等式的解集为(2,1+ 2)．

【解析】【分析】(1)令x=y=1，代入题意中的等式即可求解；
(2)由题意可得f(xy)=f(x)+f(y)+1，令x=x1,y=x2x1，利用定义法即可证明函数的单调性；
(3)将原不等式转化为f(x−2)+f(x)=f[x(x−2)]−1>−2，由(1)得f[x(x−2)]>f(1)，结合(2)建立不等式组，解之即可求解．
22.【答案】解：(1)令t=2xt∈1,4，则：t∈1,4，
设gt=mt2−2t+1−mm>0，
由题意，gt在1,4上的最大值为8，
因为m>0，二次函数gt开口向上，
因此有g1=8，或g4=8，
由g1=8⇒8=m−2+1−m不成立，
由g4=8⇒16m−8+1−m=8⇒m=1；
(2)根据局部对称函数的定义可知，f(1+x)+f(1−x)=0，
即m⋅41+x−21+x+1+1−m+m⋅41−x−21−x+1+1−m=0，
2m⋅4x+2m⋅4−x−m−2⋅2x−2⋅2−x+1=0，
m=22x+2−x−124x+4−x−1=22x+12x−124x+14x−1，
令s=22x+12x−1，
则m=ss2+2s−92=2ss2+2s−9=2s−9s+2，
因为s=22x+12x−1≥4 2x⋅12x−1=3，当且仅当2x=12x，x=0时等号成立，
函数y=s−9s+2在区间[3,+∞)上单调递增，所以y=s−9s+2≥3−93+2=2，
所以m=2s−9s+2∈(0,1]，所以m的取值范围是(0,1]．

【解析】【分析】(1)运用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数最值性质进行求解即可；
(2)运用题中定义，结合常变最分离法、指数幂的运算性质、基本不等式进行求解即可．
本题的关键是运用常变量分离法、运用指数幂的运算性质、利用基本不等式进行求解．