2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期第三次考试（12月）数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈Zx2−3x−4<0,B=1,+∞，则集合A∩B的子集有
( )
A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个
2.已知a=2513，b=sin23π3，c=lne3，则a，b，c的大小关系是
( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b
3.已知α∈π2,π，且csα=−513，则tanα=( )
A. −1213B. −512C. −125D. −1312
4.已知a>1，则函数y=ax与函数y=lga−x的图像在同一坐标系中可以是
( )
A. B.
C. D.
5.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是是书画家唐寅的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( )
A. 320cm2B. 352cm2C. 704cm2D. 1408cm2
6.函数fx满足2fx−f1−x=x，则函数fx=( )
A. x−2B. x+13C. x−13D. −x+2
7.已知函数fx=x2−ax,x>1ax−2,x≤1在R上单调递增，则实数a的取值范围是
( )
A. 1,2B. 0,32C. 1,+∞D. 1,32
8.若实数x1，x2，x3满足x1⋅2x2=x1⋅3x3=5，则下列不等关系不可能成立的是
( )
A. x1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 命题“∃x>1,x2+2x+3=0”的否定是“∀x≤1,x2+2x+3≠0”
B. 若ac2>bc2，则a>b
C. fx=1x的单调减区间为−∞,0∪0+∞
D. 1x<1是x>1的必要不充分条件
10.已知2lg13a+lg3b=0，则下列等式正确的是
( )
A. b=a2B. a⋅elna=bC. 2a2=2bD. lg2a=lg8ab
11.已知函数f(x)不过原点，且对∀a,b∈R，满足f(a)f=f(a+b)+f(a−b)则下列结论正确的是( )( )
A. f0=2B. fx为奇函数
C. 若fe=0，则f2e=0D. f2a=f2a−2
12.已知g(x)=x|x|+1，则下列说法正确的是
( )
A. g(x)的值域是−1,1
B. 任意x1,x2∈R且x1≠x2，都有gx1−gx2x1−x2>0
C. 任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，都有gx1+gx22D. 规定g1(x)=g(x),gn+1(x)=ggn(x)，其中n∈N∗，则g1012=112
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sinπ3−x=12，且014.函数f(x)=x− 12，则不等式f(2x−1)>f(x+1)的解集为__________．
15.已知正实数x,y满足x+y=53，则4x+2y+92x+y的最小值为__________．
16.有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数”可推广为：“函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称的充要条件是函数y=fx+a−b为奇函数”.据此，对于函数gx=x−123+3x，可以判定：(1)函数gx=x−123+3x的对称中心是 ；(2)g12023+g22023+g32023+⋯+g20202023+g20212023+g20222023= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a∈R，集合A=xx−ax−a+1≤0，函数y= x−35−2x的定义域为B．
(1)若A∩B=⌀，求a 的取值范围；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知tan α=2.求：
(1)cs α−π2−sin 3π2+α2sin α+π+cs 2π−α；
(2)5sin2α+5sin αcs α+1．
19.(本小题12分)
已知函数fx=lg12ax2−6ax+7．
(1)若a=−1，求fx的单调区间及值域；
(2)若fx的定义域为R，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
去年8月份，盐城环保科技城发布了《江苏盐城环保科技城零碳示范园区发展总体规划》，从土地利用、产业功能、能源、交通、建筑、社区、生态环境等多个方面谋篇布局，助力产业集群加速向低碳、绿色方向高质量发展转型.为了助力绿色发展，某企业引进一个把垃圾加工处理为某化工产品的项目.已知该企业日加工处理垃圾量x(单位：吨)最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本y(单位：元)与日加工处理垃圾量x之间的函数关系可近似的表示为y=14x2+20x+1600且每加工处理1吨垃圾得到的化工产品售价为55元．
(1)该企业日加工处理垃圾量为多少吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低？此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态还是盈利状态？
(2)为了使该企业可持续发展，盐城市政府决定对该企业进行财政补贴，要求企业从以下两种方案中选择其中的一种．
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为1150元；
方案二：根据日加工处理垃圾量x进行财政补贴，金额为15x元．
如果你是企业的决策者，从企业获得最大利润的角度考虑，你会选择哪种补贴方案？
21.(本小题12分)
已知函数fx=kx2−2k−1x+4，函数gx=ax的图象经过点13,4．
(1)若f−1≤54，求函数y=2klg8g1−4k的最大值；
(2)若对∀x1,x2∈2,5，且x1≠x2，都有fx1−fx2x12−x22>2成立，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
函数fx=ax2−x+2a−1(a为实常数)
(1)若a=1,求fx的单调区间；
(2)若a>0，设f(x)在区间[1,2]的最小值为g(a)，求g(a的表达式；
(3)设ℎx=fxx，若函数ℎ(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】先求出集合 A ，再由交集和子集的定义求解即可．
解：因为 A=x∈Zx2−3x−4<0=x∈Z−1所以 A∩B=0,1,2 ，
所以集合 A∩B 的子集为 23=8 个．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】运用对数运算公式化简 c ，将 a 、 c 化为根式，由三角函数诱导公式可计算b的值，进而可判断三者大小．
解：因为 a=2513=325 ， b=sin23π3=sin(−π3)=− 32<0 ， c=lne3=3=327 ，
又 y=3x 在 R 上单调递增，所以 0<325<327 ，
所以 c>a>b ．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】由 α∈(π2,π) 可得 sinα>0 ，结合 sinα= 1−cs2α 及 tanα=sinαcsα 计算即可．
解：因为 csα=−513 ， α∈(π2,π) ，
所以 sinα= 1−cs2α= 1−(−513)2=1213 ，
所以 tanα=sinαcsα=−125 ．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】分别分析 y=ax 与 y=lga(−x) 的单调性及恒过的定点即可判断．
解：因为 a>1 ，所以 y=ax 在 R 上单调递增，
又 y=lga(−x) 定义域为 (−∞,0) ，
所以由复合函数单调性可知， y=lga(−x) 在 (−∞,0) 上单调递减，且恒过 (−1,0) ，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可．
解：设扇环的圆心角为 α ，小扇形的半径为 r ，如图所示，
则 24=αr64=α(r+16)⇒α=52r=485 ，
所以 S=12α(r+16)2−12αr2=16α(8+r)=16×52×(8+485)=704(cm2) ．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】由 2f(x)−f(1−x)=x 可得 2f(1−x)−f(x)=1−x ，运用解方程组法求解析式即可．
解：因为 2f(x)−f(1−x)=x ①，所以 2f(1−x)−f(x)=1−x ②，
①×2+② 得 3f(x)=x+1 ，即 f(x)=x+13 ．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】运用分段函数在 R 上单调递增可知， y=x2−ax 在 (1,+∞) 上单调递增，且 y=ax−2 在 (−∞,1] 上单调递增，且 a−2≤1−a ．
解：由题意知， a2≤1a>1a−2≤1−a⇒1故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据已知可得 2x2=3x3=5x1 ，作出函数图象，结合图象即可判断．
解：由题意知， x1>0 ，所以 2x2=3x3=5x1 ，
设 2x2=3x3=5x1=t ( t>0 )，
在同一坐标系中作出函数 y=2x ， y=3x ， y=5x ( x>0 )， y=t ( t>0 )，如图所示，
当平移 y=t ( t>0 )时，由图可得 x1 ， x2 ， x3 的大小关系可能为 x2故B项、C项、D项正确，A项不可能成立．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】对A，运用否定的定义即可得；对B，可得 c2>0 ，结合不等式性质即可得；对C，单调区间不能用并起来，对D，结合充分不必要条件的定义验证即可．
解：对A：命题“ ∃x>1,x2+2x+3=0 ”的否定是“ ∀x>1,x2+2x+3≠0 ”，故错误；
对B：由 ac2>bc2 ， c2>0 ，故 ac2c2>bc2c2 ，即 a>b ，故正确；
对C：单调区间不能用并集符号，故错误；
对D：若 1x<1 ，可能 x<0 ，若 x>1 ，则 1x<1 成立，
故 1x<1 是 x>1 的必要不充分条件，故正确．
故选：BD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】运用指数幂运算公式及对数运算公式计算即可．
解：对于A项，因为 2lg13a+lg3b=lg3a−2+lg3b=lg3a−2b=0 ( a>0 ， b>0 )，所以 a−2b=1 ，即 b=a2 ，故A项正确；
对于B项，由A项知 b=a2 ，所以 a⋅elna=a⋅a=a2=b ，故B项正确；
对于C项，由A项知 b=a2 ，所以 2b=2a2 ，又 (2a)2=22a ，所以 (2a)2=2b 不一定成立，故C项不成立；
对于D项，由A项知 b=a2 ，所以 lg8ab=lg23a3=lg2a ，故D项正确．
故选：ABD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】令 a=b=0 、 a=b=e 、 b=a 代入关系式判断A、C、D；令 a=0 ，结合奇偶性定义判断B．
解：A：令 a=b=0 ，则 [f(0)]2=2f(0) ，又 f(x) 不过原点，即 f(0)≠0 ，可得 f(0)=2 ，对；
B：令 a=0 ，则 f(0)f=f+f(−b) ，结合A结论知： f=f(−b) ， fx 为偶函数，错；( )
C：令 a=b=e ，则 [f(e)]2=f(2e)+f(0) ，故 f(2e)=[f(e)]2−f(0)=−2 ，错；
D：令 b=a ，则 [f(a)]2=f(2a)+f(0) ，故 f2a=f2a−2 ，对．
故选：AD
12.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性判断AB；作出函数 g(x) 的图象，结合图形即可判断C；根据递推公式可得 g10(x) 的表达式即可判断D．
解：A： g(−x)=−x1+−x=−x1+x=−g(x) ，则 g(x) 为奇函数，
当 x≥0 时， g(x)=x1+x=1−1x+1<1 ，当 x<0 时， g(x)=x1−x=−1−1x−1>−1 ，
故函数 g(x) 的值域为 (−1,1) ，故A错误；
B： g(−x)=−x1+−x=−x1+x=−g(x) ，则 g(x) 为奇函数，
又函数 y=−1x 在 (0,+∞) 上单调递增，所以函数 g(x)=1−1x+1 在 [0,+∞) 上单调递增，
所以函数 g(x) 在 (−∞,0) 上单调递增，故函数 g(x) 在R上单调递增，故B正确；
C：作出函数 g(x) 的图象，如图，
由图可知，函数 (0,+∞) 上为上凹函数，
则对于 ∀x1,x2∈(0,+∞) ，设 x1则 g(x1+x22) 为图中A点对应函数值， g(x1)+g(x2)2 为图中B点对应函数值，
所以 g(x1)+g(x2)2D：由 g1(x)=g(x)=x1+x,gn+1(x)=g(gn(x)) ，
得 g2(x)=g(g1(x))=g(x1+x)=x1+x1+x1+x=x1+2x ， g3(x)=g(g2(x))=g(x1+2x)=x1+3x ，
⋯ g10(x)=g(g9(x))=g(x1+9x)=x1+10x ，
所以 g10(12)=121+10×12=112 ，故D正确．
故选：BCD
13.【答案】 32
【解析】【分析】运用整体思想，可得 sinπ6+x=sinπ2−π3−x=csπ3−x ，结合 0解： sinπ6+x=sinπ2−π3−x=csπ3−x ，
由 00 ，
即 csπ3−x= 1−122= 32 ．
故答案为： 32 ．
14.【答案】12,2
【解析】【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解．
解：由题意知，幂函数 f(x)=x−12 在 (0,+∞) 上单调递减，
由 f(2x−1)>f(x+1) ，得 ，
解得 12故答案为： (12,2)
15.【答案】5
【解析】【分析】将 x+y=53 变为 x+2y+2x+y=5 ，由不等式“1”的代换求解即可．
解：因为正实数 x,y 满足 x+y=53 ，所以 3x+3y=5 ，
而 3x+3y=x+2y+2x+y=5 ，
所以 4x+2y+92x+y⋅1=15×4x+2y+92x+yx+2y+2x+y
=15×4+42x+yx+2y+9x+2y2x+y+9
=1513+42x+yx+2y+9x+2y2x+y≥1513+2 42x+yx+2y⋅9x+2y2x+y=1513+12=5 ，
当且仅当 42x+yx+2y=9x+2y2x+y 且 x+y=53 ，即 x=43,y=13 时取等，
故答案为：5．
16.【答案】12,32；3033
【解析】【分析】根据函数解析式，得到 gx+12=x3+3x+32 ，令 ℎx=x3+3x ，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到 gx+g1−x=3 ，推出所求式子等价于 1011g12023+g20222023 ，即可得出结果．
解：由 gx=x−123+3x 得 gx+12=x3+3x+12=x3+3x+32 ，
令 ℎx=gx+12−32=x3+3x ，则 ℎ−x=−x3−3x=−ℎx ，
即 ℎx=x3+3x 为奇函数；由题中命题可得，函数 gx=x−123+3x 的对称中心是 12,32 ；
由 gx=x−123+3x 得 g1−x=1−x−123+31−x=12−x3+3−3x ，
则 gx+g1−x=x−123+3x+12−x3+3−3x=3 ；
所以 g12023+g22023+g32023+⋯+g20202023+g20212023+g20222023 =1011g12023+g20222023=1011×3=3033 ．
故答案为： 12,32 ；3033．
17.【答案】解：(1)A=xx−ax−a+1≤0=a−1,a ，
令 x−35−2x≥0⇒x−35−2x≥05−2x≠0⇒52因为 A∩B=⌀ ，
所以 a≤52 或 a−1>3 ，解得 a≤52 或 a>4 ，即 a∈−∞,52∪4,+∞ ．
(2)由A项知， A=a−1,a ， B=52,3 ，
由题知 B 是 A 的真子集，故 a≥3a−1≤52⇒3≤a≤72 ，即 a∈3,72 ．

【解析】【分析】(1)解一元二次不等式及分式不等式可得集合A与集合B，由 A∩B=⌀ 列式即可．
(2)由题意知 B 是 A 的真子集，结合集合的包含关系列式即可．
18.【答案】解：(1)csα−π2−sin3π2+α2sinα+π+cs2π−α=sinα+csα−2sinα+csα=tanα+1−2tanα+1
因为 tanα=2 ，所以原式 =−1 ；
(2)5sin2α+5sinαcsα+1=5sin2α+5sinαcsα+sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=6sin2α+5sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=6tan2α+5tanα+1tan2α+1
因为 tanα=2 ，所以原式 =7

【解析】【分析】(1)根据诱导公式和切弦互化，即可求解；
(2)由公式 sin2α+cs2α=1 ，将原式补上分母“1”，再利用切弦互化，即可求解．
19.【答案】解：(1)当 a=−1 时， fx=lg12−x2+6x+7 ，
令 −x2+6x+7>0 ，解得 −1则令 u=−x2+6x+7=−(x−3)2+16 ( −1故 u=−(x−3)2+16 在 −1,3 上单调递增，在 3,7 上单调递减，
又 y=lg12μ 在 0,+∞ 上单调递减，
由复合函数单调性可知 fx=lg12−x2+6x+7 的单调递增区间为 3,7 ，单调递减区间为 −1,3 ，
fx 在 x=3 处取到最小值 f3=lg1216=−4 ，所以值域为 −4,+∞ ．
(2)因为 fx 的定义域为 R ，所以 ax2−6ax+7>0 对任意 x∈R 恒成立，
①当 a=0 时，不等式变为 7>0 ，解集为 R ，符合题意，
②当 a≠0 时， a>0Δ=36a2−28a<0⇒0综述， a 的取值范围是 0,79 ．

【解析】【分析】(1)求出函数定义域，结合复合函数单调性可求得其单调区间，根据单调性可求得其值域．
(2)将问题转化为 ax2−6ax+7>0 对任意 x∈R 恒成立，分别研究 a=0 、 a≠0 时不等式的解集为 R 即可．
20.【答案】解：(1)由题意可知，日加工处理每吨垃圾的平均成本为
yx=x4+1600x+20,x∈70,100 ，
又 x4+1600x+20≥2 x4⋅1600x+20=60 ，当且仅当 x4=1600x ，即 x=80 时等号成立，
所以该企业日加工处理垃圾量为80吨时，日加工处理每吨垃圾的平均成本最低．
因为 55<60 ，所以此时该企业日加工处理垃圾处于亏损状态．
(2)若该企业采用方案一，设该企业每日获利为 y1 元，
由题可得 y1=55x+1150−14x2+20x+1600=−14(x−70)2+775 ， x∈70,100 ，
所以当 x=70 时，企业获利最大，最大利润为775元．
若该企业采用方案二，设该企业每日获利为 y2 元，
由题可得 y2=55x+15x−14x2+20x+1600=−14(x−100)2+900 ， x∈70,100 ，
所以当 x=100 时，企业获利最大，最大利润为900元．
因为 900>775 ，所以应选择方案二．

【解析】【分析】(1)求出 yx=x4+1600x+20,x∈70,100 ，结合基本不等式求解即可．
(2)分别计算 y1=−14(x−70)2+775 ， x∈70,100 ，与 y2=−14(x−100)2+900 ， x∈70,100 时两个函数的最大值比较即可．
21.【答案】解：(1)因为 f−1≤54 ，所以 3k+2≤54 ，解得 k≤−14 ，
又因为 g(x)=ax ( a>0 且 a≠1 )经过点 (13,4) ，所以 a13=4 ，解得 a=64 ，
所以 g(x)=64x ，
所以 y=2klg8g1−4k=2klg8641−4k=2k⋅21−4k=−16k−182+14 ( k≤−14 )，
又因为 y=−16k−182+14 在 −∞,−14 上单调递增，
所以当 k=−14 时， y 取得最大值为 −2 ．
(2)因为 x1,x2∈2,5 且 x1≠x2 ，不妨设 x1>x2 ，则 x12>x22
所以 fx1−fx2x12−x22>2⇒fx1−fx2>2x12−2x22⇒fx1−2x12>fx2−2x22 ，
设 ℎx=fx−2x2 ，则 ℎx 在 2,5 上单调递增，
ℎx=kx2−2k−1x+4−2x2=k−2x2−2k−1x+4 ，
①当 k=2 时， ℎx=−2x+4 在 2,5 单调递减，不成立，
②当 k>2 时，函数 ℎx 的对称轴为 x=k−1k−2 ，
因为 ℎx 在 2,5 上单调递增，
所以 k>2k−1k−2≤2 ，解得 k≥3 ，
③当 k<2 时， k<2k−1k−2≥5 ，解得 k∈⌀ ，
综上， k≥3 ．

【解析】【分析】(1)解 f−1≤54 可得 k≤−14 ，求出 g(x)=64x ，化简函数可得 y=−16k−182+14 ( k≤−14 )，结合二次函数单调性即可求得最大值．
(2)将 fx1−fx2x12−x22>2 变形为 fx1−2x12>fx2−2x22 ，构造 ℎx=fx−2x2 ，分别研究 k=2 、 k>2 、 k<2 时 ℎx=k−2x2−2k−1x+4 在 2,5 上单调递增即可．
22.【答案】解：(1)a=1，f(x)=x2−|x|+1 =x2−x+1,x≥0x2+x+1,x<0=(x−12)2+34,x≥0(x+12)2+34,x<0 ，
∴f(x)的单调增区间为( 12,+∞ )，( −12 ，0)；
f(x)的单调减区间为( −∞,−12 )，( 0,12 )．
(2)由于a>0，当x∈[1,2]时， fx=ax2−x+2a−1=a(x−12a)2+2a−14a−1
①若 0<12a<1 ，即 a>12 ，则f(x)在[1,2]为增函数g(a)=f(1)=3a−2
②若 1≤12a≤2 ，即 14≤a≤12 时， ga=f12a=2a−14a−1
③若 12a>2 ，即 0g(a)=f(2)=6a−3．
综上可得 ga=6a−3012 ．
(3) ℎx=ax+2a−1x−1 在区间[1,2]上任取x1、x2，
则 ℎx2−ℎx1=ax2+2a−1x2−1−ax1+2a−1x1−1
=x2−x1a−2a−1x1x2=x2−x1x1x2ax1x2−2a−1 (∗)，
∵ℎ(x)在[1,2]上是增函数，
∴ℎ(x2)−ℎ(x1)>0，
∴(∗)可转化为ax1x2−(2a−1)>0对任意x1、x2∈[1,2]都成立，
且x12a−1，
①当a=0时，上式显然成立;
②a>0， x1x2>2a−1a ，由1③a<0， x1x2<2a−1a ，由1所以实数a的取值范围是 −12,1 ．

【解析】【分析】本题主要考查分段函数的单调区间的求解方法，考查求其最值的方法：每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查了单调性的定义的应用，属于基础题.(1)由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
(2)根据对称轴分类讨论，分别求得f(x)在三种情况下的最小值，最后写成分段函数形式；
(3)由单调性的定义将问题转化为ax1x2−(2a−1)>0对任意x1、x2∈[1,2]都成立，
分类说明即可．