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2023-2024学年河北省保定市六校联盟高一上学期11月期中考试数学试题(含解析 )
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这是一份2023-2024学年河北省保定市六校联盟高一上学期11月期中考试数学试题(含解析 )，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集为R，集合A=-2,-1,0,1,2，B=x-2( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
2.函数f(x)= 2x-1x2-1的定义域为( )
A. [12 , +∞)B. (1,+∞)
C. [12,1)∪(1,+∞)D. (-1,12]∪(1,+∞)
3.已知函数fx=x2-1,x≤11x-1,x>1，则ff-2=( )
A. 8 B. 12 C. -34D. -109
4.当x>0时，函数y=x+3x+1-1的最小值为
( )
A. 2 3-1B. 2 3-2C. 2 3+1D. 3-2
5.已知函数f(x)=m2-m-1xm2-2m-2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m=( )
A. 2B. -1C. 4D. 2或-1
6.设甲：a∈(-∞,-3]，乙：已知函数f(x)=x 2-ax在(1,+∞)上单调递增，则
( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
7.已知f(x)=(a-3)x+a+2,x<1,-ax2+x,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]
8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是
( )
A. (-2,2)B. (-2,0)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2)∪(0,2)D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知a>b>0，c( )
A. -1a<-1bB. c210.若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1( )
A. b<0且c>0
B. a-b+c>0
C. a+b+c>0
D. 不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-211.设函数f(x-1)=2x，则下列说法正确的是
．( )
A. f-13=3B. 函数fx=2x+1x≠-1
C. 函数fx为奇函数D. 函数fx的图象关于点-1,0中心对称
12.设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为Aa,b=a+b2，几何平均数为Ga,b= ab，则有：Ga,b≤Aa,b，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lpa,b=ap+bpap-1+bp-1，其中p为有理数．如：L0.5a,b=a0.5+b0.5a-0.5+b-0.5= a+ b1 a+1 b.下列关系正确的是( )
A. L0.5a,b≤Aa,bB. L0a,b≥Ga,b
C. L2a,b≥L1a,bD. Ln+1a,b≤Lna,b
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“∀x∈0,+∞,x3-3x2+2≥0”的否定是______________．
14.已知3∈1,a,a-2，则实数a的值为
15.函数fx= x-1-x的值域为 ．
16.已知函数fx=x-2，gx=x2-2mx+4m∈R，若对任意x1∈1,2，存在x2∈4,5，使得gx1=fx2，则m的取值范围______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值．
18.(本小题12.0分)
18 . 已知集合A=x2m-1≤x≤m+1，B=x12≤x<2．
(1)若m=12，求A∩∁RB；
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12.0分)
函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2-2x．
(1)求函数f(x)在x∈(-∞,0)的解析式；
(2)当m>0时，若fm=1，求实数m的值．
20.(本小题12.0分)
已知函数fx=2x-ax2+1是定义在-1,1上的奇函数．
(1)判断函数fx的单调性并用定义加以证明；
(2)求使fm-1-f1-2m<0成立的实数m的取值范围．
21.(本小题12.0分)
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前nn∈N*年的支出成本为10n2-5n万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为fn万元．
(1)写出fn关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.(本小题12.0分)
已知函数fx的定义域为R，并且满足下列条件：①f-1=1；②对任意x,y∈R，都有fx+y=fx+fy；③当x>0时，fx<0．
(1)证明：fx为奇函数．
(2)解不等式fx2+2x-f2-x>-2．
(3)若fx≤m2-5mt-5对任意的x∈-1,1，t∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用集合交补运算求得 A∩∁RB={-2,1,2} ，即可判断子集的个数．
解：由题设 ∁RB={x|x≤-2 或 x≥1} ，又 A=-2,-1,0,1,2 ，
所以 A∩∁RB={-2,1,2} 共有3个元素，故其子集个数为 23=8 ．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，属于基础题．
【解答】解：由题意得：2x-1≥0x2≠1，
所以x≥12且x≠1，
故定义域为[12,1)∪(1,+∞),
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
根据分段函数的解析式先求出 f-2 的值，再求出 ff-2 的值即可．
【解答】
解：因为 fx=x2-1,x≤11x-1,x>1 ，
所以 f-2=-22-1=3 ，
所以 ff-2=f3=13-1=12 ，
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】由 x>0 ，利用基本不等式求解即可．
解：∵ x>0 ，∴ x+1>0
∴ y=x+3x+1-1=x+1+3x+1-2≥2 x+1⋅3x+1-2=2 3-2
当且仅当 x+1=3x+1 时，即 x= 3-1 等号成立
∴函数 y=x+3x+1 的最小值为 2 3-2
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，
根据幂函数的定义，令m2-m-1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈(0,+∞)上为增函数即可．
【解答】 解：∵幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2，
∴m2-m-1=1， 解得m=2，或m=-1；
又x∈(0,+∞)时f(x)为增函数，
∴当m=2时，m2-2m-2=-2，幂函数为y=x-2，在(0,+∞)为减函数，不满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，幂函数为y=x，在(0,+∞)为增函数，满足题意；
综上，m=-1，
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题．
求出乙中a的范围，再利用充分、必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：若函数f(x)=x2-ax在1,+∞上单调递增，
由f(x)=x2-ax的对称轴为x=a2，开口向上，
则a2⩽1，即a⩽2，
因为a∈(-∞,-3]是a⩽2的充分不必要条件，
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数的性质，中档题．
根据函数在各个区间都单调减，且在分段点处满足2a-1≥-a+1，求出a的范围即可．
【解答】
解：x<1时，f(x)=(a-3)x+a+2在(-∞,1)递减，
则a-3<0，解得：a<3①，
x≥1时，f(x)=-ax2+x在[1,+∞)递减，
则a>012a≤1，解得：a≥12②，
当x=1时，2a-1≥-a+1，解得：a≥23③，
综合①②③，a的取值范围是[23,3)，
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】依题意可得 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，根据偶函数的性质可得 fx 在 -∞,0 上单调递增，再根据 f(2)=0 ，即可得到 fx 的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
解：因为函数 f(x) 满足对任意的 x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2 ，有 fx2-fx1x2-x1<0 ，
即 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，又 fx 是定义在R上的偶函数，所以 fx 在 -∞,0 上单调递增，
又 f(2)=0 ，所以 f-2=f2=0 ，函数的大致图像可如下所示：
所以当 -20 ，当 x<-2 或 x>2 时 fx<0 ，
则不等式 xf(x)>0 等价于 f(x)>0x>0 或 f(x)<0x<0 ，
解得 0故选：C
9.【答案】ABC
【解析】【分析】利用不等式性质判断各项的正误即可．
解：由题设 -a<-b<0 ，故 -1a>-1b ，A错；
由 ccd>0 ，B错；
由题设 a-b>0>c-d ，则 a+d>b+c ，C错；
由题设 -c>-d>0 ，则 -1d>-1c>0 ，又 a>b>0 ，故 ad故选：ABC
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
由已知可得a<0，且-1，2是方程的两个根，则由根与系数的关系可得出b=a，c=-2a，
从而可以判断b，c的符号，即可判断A是否正确，
又由解集可得1满足不等式，所以代入1即可判断B是否正确，而-1不满足不等式，所以可判断C的正确性，把b=a，c=-2a代入不等式化简即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
【解答】
对于A，a<0，-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以
-1+2=1=ba，-1×2=ca，所以
b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确;
令y=ax2-bx+c，对于B，由题意可知当x=1时，y=a-b+c>0，所以B正确;
对于C，当x=-1时，a+b+c=0，所以C错误;
对于D，把b=a，c=-2a代入不等式ax2+bx+c>0化简可得：x2+x-2<0
，解得-20的解集是
{x|-2故选：ABD．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查求函数解析式，函数奇偶性以及函数对称性，属于基础题；
利用换元法求出函数解析式，再结合函数奇偶性与对称性可逐一进行判断．
【解答】
解：令x-1=-13，则x=1-13=23，则f(-13)=223=3，
令t=x-1，x≠0，则t≠-1，则x=t+1，则f(t)=2t+1，
可以求函数fx=2x+1x≠-1，
函数fx不是奇函数，
函数fx的图象可以由y=2x向左平移一个单位得到，故f(x)的图象关于点-1,0中心对称，
故选ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可．
解：A： L0.5a,b= a+ b1 a+1 b= ab≤a+b2=Aa,b ，故A对；
B： L0(a,b)=a0+b0a-1+b-1=2aba+b≤2ab2 ab= ab=G(a,b) ，故B错；
C： L2a,b=a2+b2a+b ， L1a,b=a+b2 ，
而 L2a,bL1a,b=2a2+b2a+b2=2a2+b2a2+b2+2ab=a2+b2+a2+b2a2+b2+2ab≥1 ，故C对；
D：由柯西不等式， Ln+1(a,b)Ln(a,b)=an+1+bn+1an+bnan+bnan-1+bn-1=an+1+bn+1an-1+bn-1an+bn2≥an+bn2an+bn2=1 ，故D错．
故选：AC．
13.【答案】∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0
【解析】【分析】由特称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案．
解：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为 ∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0 ．
故答案为： ∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0
14.【答案】5
【解析】【分析】
根据集合中元素的确定性讨论a=3和a-2=3，再结合集合中元素的互异性即可求解．
本题考查集合中元素的确定性、互异性、无序性，属于基础题．
【解答】
解：因为3∈1,a,a-2，
当a=3时，那么a-2=1，不满足集合元素的互异性，不符合题意，
当a-2=3时，a=5，此时集合为1,5,3，符合题意，
所以实数a的值为5，
故答案为：5．
15.【答案】-∞,-34
【解析】【分析】
本题考查了函数值域的求法，二次函数的性质，属于基础题．
利用换元法转化为二次函数求值域．
【解答】
解：由题可得：令t= x-1,t≥0，x=t2+1，
则g(t)=-t2+t-1,(t⩾0)，函数g(t)的对称轴为t=12，
所以g(t)max=g(12)=-34，无最小值，即函数g(x)的值域为为-∞,-34,
所以函数fx的值域为为-∞,-34,
故答案为：-∞,-34．
16.【答案】54, 2
【解析】【分析】由题意可判断 yy=gx,1≤x≤2⊆yy=fx,4≤x≤5 ，由此求出 fx∈2,3 ，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可．
解：由题意知 yy=gx,1≤x≤2⊆yy=fx,4≤x≤5 ；
当 x∈4,5 时， fx∈2,3 ，
故 gx=x2-2mx+4m∈R 需同时满足以下两点：
①对 ∀x∈1,2 时， gx=x2-2mx+4≤3
∴ 2m≥x+1x 恒成立，
由于当 ∀x∈1,2 时， y=x+1x 为增函数，
∴ 2m≥2+12,∴m≥54 ；
②对 ∀x∈1,2 时， gx=x2-2mx+4≥2 ，
∴ 2m≤x+2x 恒成立，
由于 x+2x≥2 2 ，当且仅当 x=2x ，即 x= 2∈[1,2] 时取得等号，
∴ 2m≤2 2,∴m≤ 2 ，
∴ m∈54, 2 ，
故答案为： 54, 2
17.【答案】解：(1)∵x>0，y>0，2x+8y-xy=0，
∴xy=2x+8y≥2 16xy，
∴ xy≥8，
∴xy≥64，当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64；
(2)由2x+8y=xy，得2y+8x=1，
又x>0，y>0，
∴x+y=(x+y)⋅(2y+8x)=10+2xy+8yx
≥10+2 2xy⋅8yx=18，
当且仅当x=2y=12时，等号成立．
故x+y的最小值为18．
【解析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
(1)利用基本不等式构建不等式即可得出；
(2)由2x+8y=xy，变形得2y+8x=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
18.【答案】解：(1)由 B=x12≤x<2 ，则 ∁RB= {x|x<12 或 x≥2} ，
若 m=12 ，则 A=x0≤x≤32 ，
所以 A∩∁RB= x0≤x<12 ．
(2)若 x∈B 是 x∈A 的必要条件，则 A⊆B ．
当 2m-1>m+1 时，即 m>2 时， A=⌀ ，符合题意；
当 2m-1≤m+1 时，即 m≤2 时， A≠⌀ ，
要满足 A⊆B ，可得 12≤2m-1≤m+1<2 ，解得 34≤m<1 ；
综上，实数m的取值范围为 34≤m<1 或 m>2 ．
【解析】【分析】(1)利用集合交补运算求 A∩∁RB 即可；
(2)由题意 A⊆B ，讨论 A=⌀ 、 A≠⌀ 求参数范围．
19.【答案】解：(1)设x<0，则-x>0，
f(-x)=(-x)2-2×(-x)=x2+2x，
又f(-x)=f(x)
所以f(x)=x2+2x(x<0)
(2)当m>0时，|f(m)|=1⇒|m2-2m|=1⇒m2-2m=±1
若m2-2m=-1⇒m=1
若m2-2m=1⇒m=1+ 2
所以m=1+ 2或1．
【解析】本题考查函数奇偶性和解析式的求法．
(1)设x<0，则-x>0，由条件可得f(-x)的解析式，再根据偶函数的概念，即可求解;
(2)由条件可知|m2-2m|=1⇒m2-2m=±1，分别求解即可．
20.【答案】解：(1)定义在 -1,1 上的奇函数，所以 f0=2×0-a02+1=-a=0 ，所以 a=0 ，
当 a=0 时， fx=2xx2+1 ，满足 f(-x)=-2x(-x)2+1=-f(x) ，故 a=0 满足题意．
fx=2xx2+1 在 -1,1 上是增函数，证明如下：
设 ∀x1,x2∈-1,1 且 x1则 fx1-fx2=2x1x12+1-2x2x22+1=2x1x22+1-2x2x12+1x12+1x22+1=2x2-x1x1x2-1x12+1x22+1 ；
因为 ∀x1,x2∈-1,1 且 x10,x1x2-1<0,x12+1x22+1>0 ，
所以 fx1-fx2<0 ，所以 fx1(2)由 fm-1-f1-2m<0 ，得 fm-1由(1)知 fx=2xx2+1,fx 在 -1,1 上是增函数，
所以 -1≤m-1≤1-1≤1-2m≤1m-1<1-2m ，即 0≤m≤20≤m≤1m<23 ，解得 0≤m<23 ．
所以实数 m 的取值范围是 0,23 ．
【解析】【分析】(1)根据奇函数利用 f(0)=0 求出 a ，再验证即可，由函数单调性定义证明即可；
(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意可得fn=95n-10n2-5n-90=-10n2+100n-90=-10n-1n-9，
由fn>0得1(2)方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)知，总盈利额fn=-10n2+100n-90=-10n-52+160，
当n=5时，fn取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为160+20=180万元；
方案二：由(1)可得，
平均盈利额为fnn=-10n2+100n-90n
=-10n+9n+100≤100-20 n⋅9n=40，
当且仅当n=9n，即n=3时等号成立；
即n=3时，平均盈利额最大，此时fn=120，
此时处理掉设备，总利润为120+60=180万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查基本不等式，考查二次函数的实际应用，属于基础题．
(1)根据题意，直接求得fn，令fn>0，结合n的取值范围，即可求得结果；
(2)分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断．
22.【答案】解：(1)由题意函数 fx 的定义域为 R ，定义域关于原点对称，
令 x=y=0 ，则 f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，故 f(0)=0 ．
令 y=-x ，则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 ，故 f(-x)=-f(x) ．
故 fx 为奇函数．
(2)任取 x1,x2∈R ，且 x1>x2 ．
由题意 x1-x2>0 ， fx1-x2<0 ， fx1=fx1-x2+x1=fx1-x2+fx2 ，
故 fx1-fx2=fx1-x2<0 ，即 fx1又 x1>x2 ，故 fx 在 R 上为减函数．
因为 f-1=1 ，所以 f1=-1 ， f2=f1+1=-1-1=-2 ，
故 fx2+2x-f2-x>-2 即 fx2+2x+fx-2>f2 ，
即 x2+2x+x-2<2 ，化简可得 x2+3x-4<0 ，解得 x∈-4,1 ．
(3)由(2)知 fx 在 -1,1 上为减函数，故 fx 在 -1,1 上最大值为 f-1=1 ．
要使 fx≤m2-5mt-5 对任意的 x∈-1,1 ， t∈-1,1 恒成立，则 m2-5mt-5≥1 ，即 -5mt+m2-6≥0 对任意 t∈-1,1 恒成立．
又 y=-5mt+m2-6 是关于 t 的一次函数，故只需 -5m×-1+m2-6≥0-5m×1+m2-6≥0 ，
即 m-1m+6≥0m-6m+1≥0 ，解得 m∈-∞,-6∪6,+∞ ．
【解析】【分析】(1)用赋值法先求出 f0 ，再令 y=-x 即可得证；
(2)先证明函数在 R 上是减函数，再求得 f2=-2 ，最后将不等式 fx2+2x-f2-x>-2 转化为 x2+3x-4<0 求解即可；
(3)将题意转化为 m2-5mt-6>0 ， t∈-1,1 恒成立即可．
1.已知全集为R，集合A=-2,-1,0,1,2，B=x-2
A. 2B. 3C. 4D. 8
2.函数f(x)= 2x-1x2-1的定义域为( )
A. [12 , +∞)B. (1,+∞)
C. [12,1)∪(1,+∞)D. (-1,12]∪(1,+∞)
3.已知函数fx=x2-1,x≤11x-1,x>1，则ff-2=( )
A. 8 B. 12 C. -34D. -109
4.当x>0时，函数y=x+3x+1-1的最小值为
( )
A. 2 3-1B. 2 3-2C. 2 3+1D. 3-2
5.已知函数f(x)=m2-m-1xm2-2m-2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m=( )
A. 2B. -1C. 4D. 2或-1
6.设甲：a∈(-∞,-3]，乙：已知函数f(x)=x 2-ax在(1,+∞)上单调递增，则
( )
A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
7.已知f(x)=(a-3)x+a+2,x<1,-ax2+x,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (0,3)B. [12,3)C. [23,3)D. [12,23]
8.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2，有fx2-fx1x2-x1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是
( )
A. (-2,2)B. (-2,0)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2)∪(0,2)D. (-∞,-2)∪(2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知a>b>0，c
A. -1a<-1bB. c2
A. b<0且c>0
B. a-b+c>0
C. a+b+c>0
D. 不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2
．( )
A. f-13=3B. 函数fx=2x+1x≠-1
C. 函数fx为奇函数D. 函数fx的图象关于点-1,0中心对称
12.设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为Aa,b=a+b2，几何平均数为Ga,b= ab，则有：Ga,b≤Aa,b，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lpa,b=ap+bpap-1+bp-1，其中p为有理数．如：L0.5a,b=a0.5+b0.5a-0.5+b-0.5= a+ b1 a+1 b.下列关系正确的是( )
A. L0.5a,b≤Aa,bB. L0a,b≥Ga,b
C. L2a,b≥L1a,bD. Ln+1a,b≤Lna,b
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“∀x∈0,+∞,x3-3x2+2≥0”的否定是______________．
14.已知3∈1,a,a-2，则实数a的值为
15.函数fx= x-1-x的值域为 ．
16.已知函数fx=x-2，gx=x2-2mx+4m∈R，若对任意x1∈1,2，存在x2∈4,5，使得gx1=fx2，则m的取值范围______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值．
18.(本小题12.0分)
18 . 已知集合A=x2m-1≤x≤m+1，B=x12≤x<2．
(1)若m=12，求A∩∁RB；
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
19.(本小题12.0分)
函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2-2x．
(1)求函数f(x)在x∈(-∞,0)的解析式；
(2)当m>0时，若fm=1，求实数m的值．
20.(本小题12.0分)
已知函数fx=2x-ax2+1是定义在-1,1上的奇函数．
(1)判断函数fx的单调性并用定义加以证明；
(2)求使fm-1-f1-2m<0成立的实数m的取值范围．
21.(本小题12.0分)
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前nn∈N*年的支出成本为10n2-5n万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n年的总盈利额为fn万元．
(1)写出fn关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
22.(本小题12.0分)
已知函数fx的定义域为R，并且满足下列条件：①f-1=1；②对任意x,y∈R，都有fx+y=fx+fy；③当x>0时，fx<0．
(1)证明：fx为奇函数．
(2)解不等式fx2+2x-f2-x>-2．
(3)若fx≤m2-5mt-5对任意的x∈-1,1，t∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用集合交补运算求得 A∩∁RB={-2,1,2} ，即可判断子集的个数．
解：由题设 ∁RB={x|x≤-2 或 x≥1} ，又 A=-2,-1,0,1,2 ，
所以 A∩∁RB={-2,1,2} 共有3个元素，故其子集个数为 23=8 ．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】
根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，属于基础题．
【解答】解：由题意得：2x-1≥0x2≠1，
所以x≥12且x≠1，
故定义域为[12,1)∪(1,+∞),
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于基础题．
根据分段函数的解析式先求出 f-2 的值，再求出 ff-2 的值即可．
【解答】
解：因为 fx=x2-1,x≤11x-1,x>1 ，
所以 f-2=-22-1=3 ，
所以 ff-2=f3=13-1=12 ，
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】由 x>0 ，利用基本不等式求解即可．
解：∵ x>0 ，∴ x+1>0
∴ y=x+3x+1-1=x+1+3x+1-2≥2 x+1⋅3x+1-2=2 3-2
当且仅当 x+1=3x+1 时，即 x= 3-1 等号成立
∴函数 y=x+3x+1 的最小值为 2 3-2
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，
根据幂函数的定义，令m2-m-1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在x∈(0,+∞)上为增函数即可．
【解答】 解：∵幂函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2，
∴m2-m-1=1， 解得m=2，或m=-1；
又x∈(0,+∞)时f(x)为增函数，
∴当m=2时，m2-2m-2=-2，幂函数为y=x-2，在(0,+∞)为减函数，不满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，幂函数为y=x，在(0,+∞)为增函数，满足题意；
综上，m=-1，
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题．
求出乙中a的范围，再利用充分、必要条件的定义即可判断．
【解答】
解：若函数f(x)=x2-ax在1,+∞上单调递增，
由f(x)=x2-ax的对称轴为x=a2，开口向上，
则a2⩽1，即a⩽2，
因为a∈(-∞,-3]是a⩽2的充分不必要条件，
故选A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查分段函数的性质，中档题．
根据函数在各个区间都单调减，且在分段点处满足2a-1≥-a+1，求出a的范围即可．
【解答】
解：x<1时，f(x)=(a-3)x+a+2在(-∞,1)递减，
则a-3<0，解得：a<3①，
x≥1时，f(x)=-ax2+x在[1,+∞)递减，
则a>012a≤1，解得：a≥12②，
当x=1时，2a-1≥-a+1，解得：a≥23③，
综合①②③，a的取值范围是[23,3)，
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】依题意可得 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，根据偶函数的性质可得 fx 在 -∞,0 上单调递增，再根据 f(2)=0 ，即可得到 fx 的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
解：因为函数 f(x) 满足对任意的 x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2 ，有 fx2-fx1x2-x1<0 ，
即 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，又 fx 是定义在R上的偶函数，所以 fx 在 -∞,0 上单调递增，
又 f(2)=0 ，所以 f-2=f2=0 ，函数的大致图像可如下所示：
所以当 -2
则不等式 xf(x)>0 等价于 f(x)>0x>0 或 f(x)<0x<0 ，
解得 0
9.【答案】ABC
【解析】【分析】利用不等式性质判断各项的正误即可．
解：由题设 -a<-b<0 ，故 -1a>-1b ，A错；
由 c
由题设 a-b>0>c-d ，则 a+d>b+c ，C错；
由题设 -c>-d>0 ，则 -1d>-1c>0 ，又 a>b>0 ，故 ad
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
由已知可得a<0，且-1，2是方程的两个根，则由根与系数的关系可得出b=a，c=-2a，
从而可以判断b，c的符号，即可判断A是否正确，
又由解集可得1满足不等式，所以代入1即可判断B是否正确，而-1不满足不等式，所以可判断C的正确性，把b=a，c=-2a代入不等式化简即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
【解答】
对于A，a<0，-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以
-1+2=1=ba，-1×2=ca，所以
b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确;
令y=ax2-bx+c，对于B，由题意可知当x=1时，y=a-b+c>0，所以B正确;
对于C，当x=-1时，a+b+c=0，所以C错误;
对于D，把b=a，c=-2a代入不等式ax2+bx+c>0化简可得：x2+x-2<0
，解得-2
{x|-2
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查求函数解析式，函数奇偶性以及函数对称性，属于基础题；
利用换元法求出函数解析式，再结合函数奇偶性与对称性可逐一进行判断．
【解答】
解：令x-1=-13，则x=1-13=23，则f(-13)=223=3，
令t=x-1，x≠0，则t≠-1，则x=t+1，则f(t)=2t+1，
可以求函数fx=2x+1x≠-1，
函数fx不是奇函数，
函数fx的图象可以由y=2x向左平移一个单位得到，故f(x)的图象关于点-1,0中心对称，
故选ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可．
解：A： L0.5a,b= a+ b1 a+1 b= ab≤a+b2=Aa,b ，故A对；
B： L0(a,b)=a0+b0a-1+b-1=2aba+b≤2ab2 ab= ab=G(a,b) ，故B错；
C： L2a,b=a2+b2a+b ， L1a,b=a+b2 ，
而 L2a,bL1a,b=2a2+b2a+b2=2a2+b2a2+b2+2ab=a2+b2+a2+b2a2+b2+2ab≥1 ，故C对；
D：由柯西不等式， Ln+1(a,b)Ln(a,b)=an+1+bn+1an+bnan+bnan-1+bn-1=an+1+bn+1an-1+bn-1an+bn2≥an+bn2an+bn2=1 ，故D错．
故选：AC．
13.【答案】∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0
【解析】【分析】由特称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案．
解：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为 ∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0 ．
故答案为： ∃x0∈0,+∞ ， x03-3x02+2<0
14.【答案】5
【解析】【分析】
根据集合中元素的确定性讨论a=3和a-2=3，再结合集合中元素的互异性即可求解．
本题考查集合中元素的确定性、互异性、无序性，属于基础题．
【解答】
解：因为3∈1,a,a-2，
当a=3时，那么a-2=1，不满足集合元素的互异性，不符合题意，
当a-2=3时，a=5，此时集合为1,5,3，符合题意，
所以实数a的值为5，
故答案为：5．
15.【答案】-∞,-34
【解析】【分析】
本题考查了函数值域的求法，二次函数的性质，属于基础题．
利用换元法转化为二次函数求值域．
【解答】
解：由题可得：令t= x-1,t≥0，x=t2+1，
则g(t)=-t2+t-1,(t⩾0)，函数g(t)的对称轴为t=12，
所以g(t)max=g(12)=-34，无最小值，即函数g(x)的值域为为-∞,-34,
所以函数fx的值域为为-∞,-34,
故答案为：-∞,-34．
16.【答案】54, 2
【解析】【分析】由题意可判断 yy=gx,1≤x≤2⊆yy=fx,4≤x≤5 ，由此求出 fx∈2,3 ，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可．
解：由题意知 yy=gx,1≤x≤2⊆yy=fx,4≤x≤5 ；
当 x∈4,5 时， fx∈2,3 ，
故 gx=x2-2mx+4m∈R 需同时满足以下两点：
①对 ∀x∈1,2 时， gx=x2-2mx+4≤3
∴ 2m≥x+1x 恒成立，
由于当 ∀x∈1,2 时， y=x+1x 为增函数，
∴ 2m≥2+12,∴m≥54 ；
②对 ∀x∈1,2 时， gx=x2-2mx+4≥2 ，
∴ 2m≤x+2x 恒成立，
由于 x+2x≥2 2 ，当且仅当 x=2x ，即 x= 2∈[1,2] 时取得等号，
∴ 2m≤2 2,∴m≤ 2 ，
∴ m∈54, 2 ，
故答案为： 54, 2
17.【答案】解：(1)∵x>0，y>0，2x+8y-xy=0，
∴xy=2x+8y≥2 16xy，
∴ xy≥8，
∴xy≥64，当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64；
(2)由2x+8y=xy，得2y+8x=1，
又x>0，y>0，
∴x+y=(x+y)⋅(2y+8x)=10+2xy+8yx
≥10+2 2xy⋅8yx=18，
当且仅当x=2y=12时，等号成立．
故x+y的最小值为18．
【解析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
(1)利用基本不等式构建不等式即可得出；
(2)由2x+8y=xy，变形得2y+8x=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
18.【答案】解：(1)由 B=x12≤x<2 ，则 ∁RB= {x|x<12 或 x≥2} ，
若 m=12 ，则 A=x0≤x≤32 ，
所以 A∩∁RB= x0≤x<12 ．
(2)若 x∈B 是 x∈A 的必要条件，则 A⊆B ．
当 2m-1>m+1 时，即 m>2 时， A=⌀ ，符合题意；
当 2m-1≤m+1 时，即 m≤2 时， A≠⌀ ，
要满足 A⊆B ，可得 12≤2m-1≤m+1<2 ，解得 34≤m<1 ；
综上，实数m的取值范围为 34≤m<1 或 m>2 ．
【解析】【分析】(1)利用集合交补运算求 A∩∁RB 即可；
(2)由题意 A⊆B ，讨论 A=⌀ 、 A≠⌀ 求参数范围．
19.【答案】解：(1)设x<0，则-x>0，
f(-x)=(-x)2-2×(-x)=x2+2x，
又f(-x)=f(x)
所以f(x)=x2+2x(x<0)
(2)当m>0时，|f(m)|=1⇒|m2-2m|=1⇒m2-2m=±1
若m2-2m=-1⇒m=1
若m2-2m=1⇒m=1+ 2
所以m=1+ 2或1．
【解析】本题考查函数奇偶性和解析式的求法．
(1)设x<0，则-x>0，由条件可得f(-x)的解析式，再根据偶函数的概念，即可求解;
(2)由条件可知|m2-2m|=1⇒m2-2m=±1，分别求解即可．
20.【答案】解：(1)定义在 -1,1 上的奇函数，所以 f0=2×0-a02+1=-a=0 ，所以 a=0 ，
当 a=0 时， fx=2xx2+1 ，满足 f(-x)=-2x(-x)2+1=-f(x) ，故 a=0 满足题意．
fx=2xx2+1 在 -1,1 上是增函数，证明如下：
设 ∀x1,x2∈-1,1 且 x1
因为 ∀x1,x2∈-1,1 且 x1
所以 fx1-fx2<0 ，所以 fx1
所以 -1≤m-1≤1-1≤1-2m≤1m-1<1-2m ，即 0≤m≤20≤m≤1m<23 ，解得 0≤m<23 ．
所以实数 m 的取值范围是 0,23 ．
【解析】【分析】(1)根据奇函数利用 f(0)=0 求出 a ，再验证即可，由函数单调性定义证明即可；
(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意可得fn=95n-10n2-5n-90=-10n2+100n-90=-10n-1n-9，
由fn>0得1
方案一：由(1)知，总盈利额fn=-10n2+100n-90=-10n-52+160，
当n=5时，fn取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为160+20=180万元；
方案二：由(1)可得，
平均盈利额为fnn=-10n2+100n-90n
=-10n+9n+100≤100-20 n⋅9n=40，
当且仅当n=9n，即n=3时等号成立；
即n=3时，平均盈利额最大，此时fn=120，
此时处理掉设备，总利润为120+60=180万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
【解析】本题考查分段函数的实际应用，考查基本不等式，考查二次函数的实际应用，属于基础题．
(1)根据题意，直接求得fn，令fn>0，结合n的取值范围，即可求得结果；
(2)分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断．
22.【答案】解：(1)由题意函数 fx 的定义域为 R ，定义域关于原点对称，
令 x=y=0 ，则 f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，故 f(0)=0 ．
令 y=-x ，则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 ，故 f(-x)=-f(x) ．
故 fx 为奇函数．
(2)任取 x1,x2∈R ，且 x1>x2 ．
由题意 x1-x2>0 ， fx1-x2<0 ， fx1=fx1-x2+x1=fx1-x2+fx2 ，
故 fx1-fx2=fx1-x2<0 ，即 fx1
因为 f-1=1 ，所以 f1=-1 ， f2=f1+1=-1-1=-2 ，
故 fx2+2x-f2-x>-2 即 fx2+2x+fx-2>f2 ，
即 x2+2x+x-2<2 ，化简可得 x2+3x-4<0 ，解得 x∈-4,1 ．
(3)由(2)知 fx 在 -1,1 上为减函数，故 fx 在 -1,1 上最大值为 f-1=1 ．
要使 fx≤m2-5mt-5 对任意的 x∈-1,1 ， t∈-1,1 恒成立，则 m2-5mt-5≥1 ，即 -5mt+m2-6≥0 对任意 t∈-1,1 恒成立．
又 y=-5mt+m2-6 是关于 t 的一次函数，故只需 -5m×-1+m2-6≥0-5m×1+m2-6≥0 ，
即 m-1m+6≥0m-6m+1≥0 ，解得 m∈-∞,-6∪6,+∞ ．
【解析】【分析】(1)用赋值法先求出 f0 ，再令 y=-x 即可得证；
(2)先证明函数在 R 上是减函数，再求得 f2=-2 ，最后将不等式 fx2+2x-f2-x>-2 转化为 x2+3x-4<0 求解即可；
(3)将题意转化为 m2-5mt-6>0 ， t∈-1,1 恒成立即可．
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