2023-2024学年新疆喀什地区英吉沙县高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区英吉沙县高二（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，则直线AB的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.以A(−1,1)、B(2,−1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 以A点为直角顶点的直角三角形D. 以B点为直角顶点的直角三角形
3.以A(1,3)，B(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程( )
A. y=−3x−4B. y=3x−4C. y=3x+4D. y=−3x+4
4.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=( )
A. 12a+32b+12cB. 12a−12b−12c
C. 12a−32b+12cD. 12a+32b−12c
5.如图，在正四面体A−BCD中，〈AB,DA〉等于( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
6.若直线l1： 3x+y+1=0与直线l2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB=14BC，则GB与EF所成的角为( )
A. 30°B. 120°C. 60°D. 90°
8.已知直线l：mx+y−1=0(m∈R)是圆C：x2+y2−4x+2y+1=0的对称轴，过点A(−2,m)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为( )
A. 4B. 2 5C. 4 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若n=(2,−3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A. n1=(−2,3,−1)B. n2=(200,−300,100)
C. n3=(2 5,−3 5, 5)D. n4=(−2,3,0)
10.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD−A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是( )
A. 直线BD1的一个方向向量为(−2,2,2)B. 直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D. 平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
11.下列各结论，正确的是( )
A. 直线x−y−1=0与两坐标轴交于A，B两点，则|AB|= 2
B. 直线2x−y=0与直线2x−y− 5=0之间的距离为 5
C. 直线 3x+y−2=0上的点到原点的距离最小为1
D. 点A(−1,1)与点B(2,0)到直线x−y=0的距离相等
12.已知圆C：(x−1)2+(y−1)2=169，直线l：kx−y−4k+5=0，k∈R.则下列选项正确的是( )
A. 直线l恒过定点
B. 直线l与圆C的位置可能相交、相切和相离
C. 直线l被圆C截得的最短弦长为12
D. 直线l被圆C截得的最短弦长对应的k值为−34
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1, 3,2),b=(x,− 3,1)，若a⊥b，则x= ______ ．
14.直线3x+2y+a=0和直线3x−2y+1=0的位置关系是______ (填相交、平行、垂直)．
15.点P(1,3)关于直线x+2y−2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为______．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知过点(−10,0)的圆M与圆x2+y2−6x−6y=0相切于原点，则圆M的半径是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(1,−2,4)，b=(1,0,3)，c=(0,0,2).求：
(1)a−(b+c)；
(2)cs〈b,c〉．
18.(本小题12分)
在空间直角坐标系中，已知A(−1,2,3)，B(−1,3,−1)，C(−3,1,m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．
19.(本小题12分)
已知直线l1：mx+4y=m+2和直线l2：x+my=m，试确定m的值或范围，使得：
(1)l1与l2垂直；
(2)l1与l2平行；
(3)l1与l2相交．
20.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2=3，直线l过点A(−2,0)．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；
(2)线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
21.(本小题12分)
已知点P(2,0)，圆C的圆心在直线x−y−5=0上且与y轴切于点M(0,−2)，
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4 2，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求证：BN⊥C1M；
(2)求平面MNC1与平面NBC的夹角．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，
∴直线AB的斜率k=4−13−0=1，
∴直线AB的倾斜角α=45°．
故选B．
由直线经过A(0,1)，B(3,4)两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
2.【答案】C
【解析】解：∵A(−1,1)、B(2,−1)、C(1,4)，
∴|AB|= (2+1)2+(−1−1)2= 13，
|AC|= (1+1)2+(4−1)2= 13，
|BC|= (1−2)2+(4+1)2= 26，
∴|AC|2+|AB|2=|BC|2，
∴以A(−1,1)、B(2,−1)、C(1,4)为顶点的三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．
故选：C．
先分别求出|AB|、|AC|、|BC|的长，再由勾股定理进行判断．
本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
3.【答案】A
【解析】解：∵直线AB的斜率kAB=3−11−(−5)=13，则垂直平分线的斜率k=−3，
又∵线段AB的中点为M(−2,2)，
∴所求直线方程为y−2=−3(x+2)，即y=−3x−4．
故选：A．
根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段AB的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解．
本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由于四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，
所以BE=12(BP+BD)=−12PB +12(BA+BC)=−12PB+12BA+12BC=−12PB+12(PA−PB)+12(PC−PB)=−32PB+12PA+ 12PC=12a−32b+12c．
故选：C．
根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到BE=12(BP+BD)，而BD= BA+BC=(PA−PB)+(PC−PB)，即可求得BE的结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
5.【答案】D
【解析】解：两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA的起点平移到A点处，
因为△BAD为正三角形，
所以∠BAD=60°，
所以〈AB,DA〉=180°−60°=120°．
故选：D．
由正四面体的性质可得△BAD为正三角形，所以∠BAD=60°，即可解得向量所夹角度．
本题考查的知识要点：向量的平移运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：直线l1： 3x+y+1=0的斜率为k1=− 3，
∵直线l1： 3x+y+1=0与直线l2的斜率互为相反数，
∴直线l2的斜率k2= 3．
设l2的倾斜角为α(0°≤α<180°)，
则tanα= 3，得α=60°．
故选：B．
由已知求得直线l1 的斜率，进一步得到直线l2的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求得l2的倾斜角．
本题考查直线的倾斜角，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则G(0,0,1)，B(2,2,0)，E(2,2,1)，F(32,2,0)，
∴GB=(2,2,−1)，EF=(−12,0,−1)，
设GB与EF所成的角为θ，
则csθ=|GB⋅EF||GB|⋅|EF|=|−1+1|3 54=0，
∴θ=90°．
∴GB与EF所成的角为90°．
故选：D．
：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出GB与EF所成的角的大小．
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：mx+y−1=0经过圆C的圆心(2,−1)，求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】
解：∵圆C：x2+y2−4x+2y+1=0，即(x−2)2+(y+1)2=4，
表示以C(2,−1)为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：mx+y−1=0经过圆C的圆心(2,−1)，
故有2m−1−1=0，∴m=1，点A(−2,1)．
∵AC= 20，CB=R=2，
∴切线的长|AB|= 20−4=4．
故选A．
9.【答案】ABC
【解析】解：∵n2=100n，n1=−n，n3= 5n,−3×0≠1×3，
∴n与n1，n2−，n3−均共线，与n4−不共线，
∴n1，n2−，n3−可以作为平面α的法向量．
故选：ABC．
根据法向量的定义可解．
本题考查法向量的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
求出BD1=(−1,1,1)，能判断AB；求出平面B1CD1的法向量判断C；根据法向量的概念判断D．
【解答】
解：在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD−A1B1C1D1是棱长为1的正方体，
则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，BD1=(−1,1,1)，
∴直线BD1的方向向量为(−λ,λ,λ)(λ≠0)，故A正确，B错误；
C(1,1,0)，B1(1,0,1)，CB1=(0,−1,1)，CD1=(−1,0,1)，
设平面B1CD1的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅CB1=−y+z=0n⋅CD1=−x+z=0，取x=1，得n=(1,1,1)，故C正确；
D(0,1,0)，CD=(−1,0,0)，
因为(−1,0,0)·(1,1,1)=−1≠0，则向量(1,1,1)与平面B1CD内的直线CD不垂直，
故向量(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，故D错误．
故选AC．
11.【答案】ACD
【解析】对于A，直线x−y−1=0与两坐标轴的交点A(0,−1)，B(1,0)，
则|AB|= 2，故A正确；
对于B，直线2x−y=0与直线2x−y− 5=0之间的距离为d=| 5| 4+1=1，故B不正确；
对于C，直线 3x+y−2=0上的点到原点的距离最小为
原点到直线 3x+y−2=0的距离即d1=|−2| 3+1=1，故C正确；
对于D，点A(−1,1)到直线x−y=0的距离为|−1−1| 2= 2
与点B(2,0)到直线x−y=0的距离为|2−0| 2= 2．
所以点A(−1,1)与点B(2,0)到直线x−y=0的距离相等，故D正确．
故选：ACD．
由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案．
本题主要考查两点间、点到直线，平行线的距离公式，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，直线系方程及其应用，属于基础题．
由直线l：kx−y−4k+5=0，k∈R，直线l过定点(4,5)，点在圆内可得圆与直线相交，当直线l与过点(4,5)和圆心的直线垂直时，直线l被圆截得的弦长最短，再求解即可．
【解答】
解：由直线l：kx−y−4k+5=0，k∈R.得y−5=k(x−4)，k∈R，
所以直线l过定点(4,5)故A正确，
此时将点(4,5)代入圆C：(x−1)2+(y−1)2=169，
得(4−1)2+(5−1)2=25<169，
所以点(4,5)在圆内，故直线l与圆C的位置关系是相交，故B错误，
当直线l与过点(4,5)和圆心的直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短弦长为2 132−25=24，
此时直线l的斜率为k=−15−14−1=−34，故C错误，D正确．
故选：AD．
13.【答案】1
【解析】解：由题意得a⋅b=x−3+2=0，则x=1．
故答案为：1．
由空间向量数量积的坐标运算求解．
本题主要考查空间向量的数量积公式，属于基础题．
14.【答案】相交
【解析】解：直线3x+2y+a=0的斜率k1=−32，直线3x−2y+1=0的斜率为k2=32，
则k1≠k2，且k1k2≠−1，所以两条直线相交但不垂直．
故答案为：相交．
首先求出两条直线的斜率，得到k1≠k2且k1k2≠−1，所以两条直线相交但不垂直．
本题主要考查两条直线的位置关系，属于简单题．
15.【答案】(−1,−1)
【解析】解：设点P(1,3)关于直线x+2y−2=0的对称点坐标为(a,b)，则由b−3a−1⋅(−12)=−1a+12+2⋅b+32−2=0，
解得a=−1，b=−1，
故答案为(−1,−1)．
设点P(1,3)关于直线x+2y−2=0的对称点坐标为(a,b)，则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．
本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题．
16.【答案】5 2
【解析】解：圆x2+y2−6x−6y=0化为(x−3)2+(y−3)2=18，
圆心坐标为(3,3)，半径为3 2．
如图，
∵所求的圆与圆x2+y2−6x−6y=0相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y=x上，
可设所求圆的圆心为(a,a)，则 (a+10)2+a2= a2+a2，
解得a=−5，
∴所求圆M的半径为5 2．
故答案为：5 2．
由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆x2+y2−6x−6y=0相切于原点，知两圆圆心的连线在直线y=x上，设所求圆的圆心为(a,a)，由半径相等列式求得a值，则答案可求．
本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题．
17.【答案】解：已知a=(1,−2,4)，b=(1,0,3)，c=(0,0,2)，
(1)a−(b+c)=(0,−2,−1)．
(2)∵b⋅c=6，|b|= 10，|c|=2，
∴cs〈b,c〉=b⋅c|b||c|=62 10=3 1010．
【解析】(1)直接利用向量的坐标运算求出结果；
(2)直接利用向量的夹角运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：A(−1,2,3)，B(−1,3,−1)，C(−3,1,m)，
则AB=(0,1,−4)，BC=(−2,−2,m+1)，AC=(−2,−1,m−3)，
若∠B=90°，则AB⋅BC=0，即−2−4(m+1)=0，解得m=−32，
若∠A=90°，则AB⋅AC=0，即−1−4(m−3)=0，解得m=114．
若∠C=90°，则AC⋅BC=0，即4+2+(m+1)(m−3)=0，即m2−2m+3=0，方程无解．
综上所述，m的取值为−32或114．
【解析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)若l1与l2垂直，
当m=0时，l1：y=12，l2：x=0，此时两直线垂直，符合题意，
当m≠0时，则(−m4)×(−1m)=−1，无解，综上，m=0．
(2)可得m≠0，要使l1与l2平行，则m1=4m≠m+2m，解得m=−2；
(3)当m=0时，l1：y=12，l2：x=0，此时两直线相交，符合题意，
当m≠0时，要使l1与l2相交，则−m4≠−1m，解得m≠±2，综上，m≠±2．
【解析】(1)讨论m=0和m≠0两种情况，由直线垂直的性质运算可求解．
(2)由m1=4m≠m+2m运算可求解；
(3)由m4≠1m运算可求出；
本题考查的知识要点：直线的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)已知C的圆心是O(0,0)，半径是 3，
设直线斜率为k，
则直线方程是y=k(x+2)，即kx−y+2k=0，
则圆心到直线距离为|2k| k2+1= 3，
解得直线的斜率k=± 3．
(2)设点M(x,y)，B(x0,y0)，点A(−2,0)．
由点M是AB的中点得，x=x0−22y=y0+02，
所以x0=2x+2y0=2y①
因为B在圆C上运动，所以x02+y02=3②
①代入②得，(2x+2)2+(2y)2=3，
化简得点M的轨迹方程是(x+1)2+y2=34．
【解析】(1)设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；
(2)建立点M和点A之间的关系式，再利用点A的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足的条件，即可求出．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
21.【答案】解：(1)因为圆C的圆心在直线x−y−5=0上且与y轴切于点M(0,−2)，
所以设圆心坐标为C(a,b)，则a−b−5=0b=−2，
解得a=3，b=−2，
所以圆心C(3,−2)，半径r=|MC|= (0−3)2+(−2+2)2=3，
故圆的方程为(x−3)2+(y+2)2=9．
(2)由(1)知圆C的圆心为(3,−2)，半径r=3，
由弦长为4 2，故弦心距d=1，
因为直线l过点P(2,0)，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−0=k(x−2)，即kx−y−2k=0，
故弦心距d= 32−(2 2)2=1，
故d=|3k+2−2k| k2+1=1，解得k=−34，
所以直线方程为y=−34(x−2)，
即3x+4y−6=0，
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件，
故l的方程为3x+4y−6=0或x=2．
【解析】(1)设圆心坐标为C(a,b)，根据题意可得a−b−5=0b=−2，解得a，b，再计算|r|=|MC|，即可得出答案．
(2)由(1)知圆C的圆心为(3,−2)，半径r=3，由弦长为，得弦心距d=1，分两种情况：当直线l的斜率存在时，当l的斜率不存在时，圆心距是否为1，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】证明：(1)M是A1B1的中点．C1A1=C1B1，
在△A1B1C1中，C1M⊥A1B1，
又∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面BAA1B1，平面A1B1C1∩平面BAA1B1=A1B1，
∴C1M⊥平面BAA1B1，
又∵BN⊂平面BAA1B1，∴BN⊥C1M；
(2)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
∴以C为坐标原点，CA，CB，CC1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，M(12,12,2)，N(10,1)，
∴CN=(1,0,1)，CB=(0,1,0)，C1N=(1,0,−1)，MN=(12,12,−1)，
设平面NCB的一个法向量为n=(x,y,z)，
即n⋅CN=0n⋅CB=0，∴x+z=0y=0，令x=−1，则y=0，z=1，
∴平面NCB的一个法向量为n=(1,0,1)，
设平面C1MN的一个法向量为m=(a,b,c)，
即m⋅C1N=0m⋅MN=0n⋅CN=0n⋅CB=0，∴x+z=0y=0，令x=−1，则y=0，z=1，
∴平面NCB的一个法向量为n=(1,0,1)，
则m⋅C1N=0m⋅MN=0，∴a−c=012a−12b−c=0，令a=1，则b=−1，c=1，
∴平面C1MN的一个法向量为m=(1,−1,1)，
∴csθ=cs=n⋅m|n|⋅|m|=−1×1+0×(−1)+1×1 2× 3=0，
∴平面MNC1与平面NBC的夹角为π2．
【解析】(1)由已知可证C1M⊥A1B1，进而可证C1M⊥平面BAA1B1，可证BN⊥C1M；
(2)以C为坐标原点，CA，CB，CC1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的法向量，可求平面MNC1与平面NBC的夹角．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，属中档题．