2022-2023学年新疆伊犁州高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆伊犁州高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数1+i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=π6，a=3，c=4，则sinA=( )
A. 34B. 58C. 38D. 12
3.设f(x)=ax3+x，若f′(−1)=4，则a=( )
A. 1B. −2C. 3D. −1
4.如果某地某天某病毒患者的确诊数量为m，且每个患者的传染力为2(即一人可以造成2人感染)，则3天后的患者人数将会是原来的( )
A. 8倍B. 15倍C. 16倍D. 31倍
5.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11=33，则a4+a6+a8=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有( )
A. 6种B. 24种C. 27种D. 64种
7.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，ex−1x的极限即为00型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如x→0limex−1x=x→0lim(ex−1)′x′=x→0limex1=x→0limex=e0=1，则x→1limx2lnxx2−1=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
9.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级分别有1名、2名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有( )
A. 18种B. 36种C. 72种D. 144种
10.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a2+a7=a8+1，且a2，a4，a8成等比数列，则a2023=( )
A. 2023B. −2023C. 0D. 12023
11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，则f′(2)=( )
A. 32B. 1C. −1D. −32
12.已知函数f(x)=lnxx，直线l：y=a(2x−1)，若有且仅有一个整数x0，使得点P(x0,f(x0))在直线l上方，则实数a的取值范围是( )
A. [ln2,ln3)B. (ln2,ln3]C. [ln315,ln26)D. (ln315,ln26]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：sin120°= ．
14.已知a=(2,k)，b=(1,2)，若a/​/b，则k= ．
15.某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为______．
16.结绳记事是人类最早跟数列打交道的一种朴素方式，人类所认识并应用于生活、生产的第一个数列便是自然数列.现有数列{an}满足：第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，记Sn为数列{an}的前n项和，则S10= ______；当n>200时，若存在m(m∈N*)，使得Sn=2m+1，则m+n的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值−14．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=8，a4+a7=2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值及取得最大值时n的值．
19.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，右焦点为( 5,0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线y=x+2与双曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|．
20.(本小题12分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，2AB=BC=2，E，F分别为AC，CC1的中点，BF⊥A1B1．
(1)证明：BF⊥平面A1B1E；
(2)求平面A1B1E与平面ACC1A1夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an−2(n∈N*)．
(1)证明：数列{an−2}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn=(2n−1)an，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+aex(a>0)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x1+x2>2lna．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵复数1+i对应的点的坐标为(1,1)，
∴在复平面内，复数1+i对应的点位于第一象限．
故选：A．
直接由复数对应点的坐标得答案．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础的会考题型．
2.【答案】C
【解析】解：由asinA=csinC，得3sinA=8，
所以sinA=38．
故选：C．
根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵f′(x)=3ax2+1，∴f′(−1)=3a+1=4，解得：a=1．
故选：A．
根据导数值直接构造方程求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得，1天后患者人数为2m+m=3m，2天后患者人数为2m×2+3m=7m，3天后患者人数为4m×2+7m=15m，
所以3天后的患者人数将会是原来的15倍．
故选：B．
根据题意表示出3天后患者人数，即可得答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为{an}为等差数列，S11=a1+a112×11=33，
即2a62×11=11a6=33，
解得a6=3，
所以a4+a6+a8=a6−2d+a6+a6+2d=3a6=9．
故选：D．
由等差数列的求和公式可得a6=3，再由a4+a6+a8=3a6求解即可．
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，
每个人都有4种选择，则不同的报名方式种数为43=64种．
故选：D．
分析可知每个人都有4种选择，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查分步乘法计数原理，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由图可以看出函数y=f′(x)的图象是一个二次函数的图象，
在(−∞,0)，f′(x)>0，f(x)递增，
在(0,x1)，f′(x)<0，f(x)递减，
在(x1,+∞)，f′(x)>0，f(x)递增，
f(0)是极大值，f(x1)是极小值，
故选：C．
首先观察函数的图象，y=f′(x)与x轴的交点即为f(x)的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断．
会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系．
8.【答案】B
【解析】解：x→1limx2lnxx2−1=x→1lim(x2lnx)′(x2−1)′=x→1lim2xlnx+x2x=x→1lim(lnx+12)=ln1+12=12．
故选：B．
根据洛必达法则求极限即可．
本题考查了用洛必达法则求极限问题，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得A11A22A33A33=72．
故选：C．
将各年级的学生进行捆绑，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题考查了相邻问题捆绑法的应用，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则a2+a7=a8+1⇔2a1+7d=a1+7d+1，a1=1，
因为a2，a4，a8成等比数列，所以a42=a2a8，即(1+3d)2=(1+d)(1+7d)，
因为d≠0，所以d=1，
所以a2023=a1+(2023−1)×d=2023．
故选：A．
根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】【分析】
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，x=2代入求解即可．
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，把f′(1)看成一个常数，就比较简单了．
【解答】解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+ln x，(x>0)
∴f′(x)=2f′(1)+1x，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，
解得f′(1)=−1，
∴f′(2)=2f′(1)+12=−2+12=−32．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】解：点P(x0,f(x0))在直线l上方，即lnx0x0>a(2x0−1)，
因为x>0，
所以lnxx>a(2x−1)有且仅有一个正整数解．
f(x)=lnxx,f′(x)=1−lnxx2，
则x∈(0,e)，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(e,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(e)=1e．
又01，f(x)>0，故可得f(x)图象如下图，
直线l：y=a(2x−1)过定点M(12,0)，
当a≤0，lnxx>a(2x−1)有无数个正整数解，不合题意，故a>0，
又lnxx>a(2x−1)有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即ln22>a(4−1)ln33≤a(6−1)⇒ln315≤a故选：C．
由定义域得x0为正整数，由导数法研究f(x)=lnxx的图象，直线l过定点(12,0)，由数形结合可判断x0的值，进而列不等式组确定参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】 32
【解析】【分析】
本题属于基础题，考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．
直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可．
【解答】
解：因为sin120°=sin(90°+30°)=cs30°= 32，
故答案为： 32．
14.【答案】4
【解析】解：a=(2,k)，b=(1,2)，若a/​/b，
则2×2=k，则k=4．
故答案为：4．
根据向量共线的结论，直接列式可得k．
本题考查向量的共线，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：由已知可得六名同学选三名同学有C63=20种方法，而全选男生的有C43=4种方法，
所以至少一名女生的方法有20−4=16种方法．
故答案为：16．
直接利用组合知识分步计算即可．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
16.【答案】26 440
【解析】解：由数列{an}满足：第一组为20，第二组为20，21，⋯，
第k组为20，21，22，⋯，2k−1，
则前k组中共有k(k+1)2项，
令k(k+1)2=10，可得k=4，所以数列前4组中共有10项，
所以S10=20+(20+21)+(20+21+22)+(20+21+22+23)=26，
当k(k+1)2>200时，可得k>20，
若前n项的和为前k项的和，可得：
Sn=20+(20+21)+(20+21+22)+⋯+(20+21+22+23+⋯+2k−1)
=20(1−21)1−2+20(1−22)1−2+20(1−23)1−2+⋯+20(1−2k)1−2
=(2−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(2k−1)=2(1−2k)1−2−k=2k+1−k−2，
由已知得2k+1−k−2=2m+1，整理得2m=2k+1−k−3，
由此可得2k+1−k−3为2的整数幂，其中2k+1为2的整数幂，则−k−3应该被消去，
所以若前n项和应再加上k+1组的部分项，
设应加上k+1组的前t项时，−k−3被消去，
即−k−3+20+21+⋯+2t−1=0，可得2t=k+4>24，
则t=5，k=28为等式的成立的最小值，此时n=28×(1+28)2+5=411，
所以S411=20+(20+21)+(20+21+22)+⋯+(20+21+22+⋯+227)+20+21+22+24
=20(1−21)1−2+20(1−22)1−2+20(1−23)1−2+⋯+20(1−228)1−2+20(1−25)1−2
=(2−1)+(22−1)+(23−1)+⋯+(228−1)+25−1=2(1−228)1−2−28+31=229+1，
所以229+1=2m+1，所以m的最小值为29，
则m+n的最小值为411+29=440．
故答案为：26；440．
利用得出数列的求和公式，判断出前10项的和为前4组的和，进而求得S10的值，假设前n项的和为前k项的和，由已知得2m=2k+1−k−3，转化为2k+1−k−3为2的整数幂，得到−k−3应该被消去，由此可知加上k+1组的部分项，求得满足题意的k的最小值，即可求得n的最小值，最后利用Sn=2m+1，求得m的最小值，即可求解．
本题考查了数列的求和的应用，属于中档题．
17.【答案】(1)解：由函数f(x)=ax3+bx+2，可得f′(x)=3ax2+b，
因为f(x)在x=2处取得极值−14，可得f′(2)=0f(2)=−14，即12a+b=08a+2b+2=−14，
整理得12a+b=04a+b=−8，解得a=1，b=−12，
经检验，当a=1，b=−12时，f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)，
令f′(x)>0，解得x<−2或x>2；令f′(x)<0，解得−2所以f(x)在(−∞,−2)单调递增，(−2,2)单调递减，(2,+∞)单调递增，
所以f(x)在x=2处取得极值，且f(2)=−14符合题意，
所以a=1，b=−12．
(2)解：由(1)得，函数f(x)=x3−12x+2且f′(x)=3x2−12，
则f′(1)=−9，即切线的斜率为k=−9且f(1)=−9，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−9)=−9(x−1)，
即9x+y=0．
【解析】(1)求得f′(x)=3ax2+b，根据题意得到f′(2)=0f(2)=−14，求得a=1，b=−12，验证符合题意，即可求解；
(2)由(1)求得f′(1)=−9且f(1)=−9，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a2=8，a4+a7=2，
所以a1+d=8a1+3d+a1+6d=2，
解得a1=10，d=−2，
所以an=a1+(n−1)d=10+(n−1)×(−2)=−2n+12；
(2)方法一：因为Sn=na1+12n(n−1)d=−n2+11n=−(n−112)2+1214，n∈N*，
所以当n=5或n=6时Sn取得最大值，最大值为30．
方法二：当an=−2n+12=0时，n=6，
当an=−2n+12>0时，n<6，
当an=−2n+12<0时，n>6，
所以当n=5或n=6时Sn取得最大值，
又S6=6a1+12×6×(6−1)d=6×10+15×(−2)=30
所以Sn最大值为30．
【解析】(1)由条件结合等差数列的通项公式列关于a1和d的方程，解方程求a1，d，再求通项公式即可；
(2)方法一：求出Sn的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果．
方法二：解方程an=0，再解不等式an>0，an<0，由此确定使得Sn最大时的n值，再由求和公式求其最大值．
本题考查等差数列的性质、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)由已知2a=2，a=1，
又c= 5，则b= c2−a2=2，
所以双曲线方程为x2−y24=1；
(2)由y=x+2x2−y24=1，得3x2−4x−8=0，
则Δ=(−4)2−4×3×(−8)=112>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=43，x1x2=−83，
所以|AB|= 1+12|x1−x2|= 2× 1123=4 143．
【解析】(1)根据实轴长可求a，根据焦点坐标可求c，然后可得方程；
(2)联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥AB，又因为BF⊥A1B1，AB/​/A1B1，所以BF⊥AB，
因为BB1∩BF=B，BB1，BF⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1，
因为BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BC，AB⊥BB1，
因为BCC1B1为正方形，所以AB⊥BC，
故以B为坐标原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0),F(0,2,1),A1(1,0,2),B1(0,0,2),E(12,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),A(1,0,0)，
因为BF⋅A1B1=(0,2,1)⋅(−1,0,0)=0,BF⋅A1E=(0,2,1)⋅(−12,1,−2)=2−2=0，
所以BF⊥A1B1,BF⊥A1E，
因为A1B1，A1E⊂平面A1B1E，A1B1∩A1E=A1，
所以BF⊥平面A1B1E；
(2)解：由(1)可知：平面A1B1E的一个法向量为BF=(0,2,1)，
设平面ACC1A1的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC=(x,y,z)⋅(−1,2,0)=−x+2y=0m⋅AC1=(x,y,z)⋅(−1,2,2)=−x+2y+2z=0，
解得：z=0，令y=1，则x=2，所以m=(2,1,0)，
设平面A1B1E与平面ACC1A1夹角为θ，
故csθ=|cs〈m,BF〉|=|m⋅BF||m|⋅|BF|=|(2,1,0)⋅(0,2,1)| 4+1× 4+1=25，
故平面A1B1E与平面ACC1A1夹角的余弦值为25．
【解析】(1)证明出BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到BF⊥A1B1,BF⊥A1E，从而证明出线面垂直；
(2)求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值．
本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：由题an+1=2an−2(n∈N*)，
则an+1−2=2(an−2)，
又a1−2=1，即an+1−2an−2=2，
即{an−2}是以1为首项，2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)知an−2=2n−1，
则bn=(2n−1)2n−1+4n−2，
令cn=(2n−1)⋅2n−1，其前n项和为Pn，
所以Pn=1×20+3×21+5×22+⋯+(2n−1)2n−1，
则2Pn=1×21+3×22+5×23+⋯+(2n−1)2n，
两式相减得−Pn=1×20+2×21+⋯+2×2n−1−(2n−1)2n
=1+4−2×2n1−2−(2n−1)2n
=−3−(2n−3)⋅2n，
即Pn=3+(2n−3)⋅2n，
即Tn=Pn+(2+4n−2)n2=3+(2n−3)2n+2n2．
【解析】(1)利用数列递推式变形得an+1−2=2(an−2)，利用等比数列的定义，即可证明结论；
(2)由(1)得aₙ−2=2n−1，求出bₙ，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查了数列的通项与求和，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=x+aex，所以f′(x)=1−aex=ex−aex，因为a>0，
由f′(x)>0有：x>lna，由f′(x)<0有：x所以函数f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，
所以函数f(x)无极大值，有极小值f(lna)=1+lna；
(2)(i)由(1)有：函数f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，
若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x2，则f(lna)=1+lna<0，解得a<1e，
所以0所以f(x)=x+aex在(lna,+∞)上有1个零点，
当x→−∞时，aex=a(1e)x→+∞，又“指数爆炸”，所以f(x)→+∞，
所以f(x)=x+aex在(−∞,lna)上有1个零点，
综上，当0证明：(ii)由(i)有：当0不妨设x1因为f′(x)=1−aex，所以F′(x)=1−aex+1−ae2lna−x=2−(aex+exa)，
因为0所以F′(x)=2−(aex+exa)≤0，所以F(x)=f(x)−f(2lna−x)在R上单调递减，
又x2>lna，所以F(x2)即F(x2)=f(x2)−f(2lna−x2)<0，即f(x2)所以f(x1)由(1)有：函数f(x)在(−∞,lna)单调递减，所以x1>2lna−x2，
即x1+x2>2lna，结论得证．
【解析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值；
(2)(i)利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；(ii)利用构造对称函数以及导数进行证明．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点问题，属于中档题．