初中数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用精品习题

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一、选择题
1．（2023八下·慈溪期末）对于反比例函数y=−2x，下列说法不正确的是（ ）
A．点(−2，1)在它的图象上B．它的图象在第二、四象限
C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、将x=-2代入函数，得到y=1，则（-2，1）在它的图像上，故A项正确，不符合题意；
B、根据反比例函数画出图象，可得图象在第二，四象限，故B项正确，不符合题意
C、根据图象可得当x＞0时，y随x的增大而增大，故C项正确，不符合题意；
D、根据图象，当x＜0时，y随x的增大而减小，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】我们可以利用反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质对A、B、C、D，进行判断.
2．（2023九上·新邵期末）某闭合并联电路中，各支路电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，如图表示该电路I与电阻R的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为4Ω，则导体内通过的电流为( )
A．2AB．2.5AC．5AD．10A
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：可设I=kR，
根据题意得：2=k5，
解得k=10，
∴I=10R.
当R=4Ω时，
I=104=2.5（A）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而将R=10代入计算可求出答案.
3．（2020·大邑模拟）点 (−3,−1) 关于y轴的对称点在反比例函数 y=kx 的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．13C．-3D．−13
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】点 (−3,−1) 关于y轴的对称点的坐标为（3，-1）
将（3，-1）代入 y=kx 得：k= −3×1 =-3
故答案为：C.
【分析】先根据y轴对称的点的坐标特征确定在反比例函数 y=kx 的点的坐标为（3，-1），然后代入 y=kx 即可求出K的值.
4．（2023八下·玄武期末）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示.当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（ ）
A．不小于0.06m3B．不大于0.06m3
C．不小于0.6m3D．不大于0.6m3
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设P=kV，将（1.5，16000）代入可得k=24000，
∴p=24000V.
令p=40000，可得V=0.6，
∴气球的体积应不小于0.6m3.
故答案为：C.
【分析】设P=kV，将（1.5，16000）代入求出k的值，得到对应的函数关系式，令p=40000，求出V的值，然后结合图象进行解答.
5．（2023·大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I=4A时，R=10Ω，则当I=5A时，R的值为（ ）
A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可设I=kR，
将I=4，R=10代入可得k=40，
∴I=40R.
令I=5，可得R=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可设I=kR，将I=4，R=10代入求出k的值，得到对应的函数关系式，然后令I=5，求出R的值即可.
6．（2023·随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（ ）
A．3AB．4AC．6AD．8A
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，
∴可设I=kR，
将（8，3）代入可得k=24，
∴I=24R.
令R=6，得I=4.
故答案为：B.
【分析】由题意可设I=kR，将（8，3）代入求出k的值，得到对应的函数关系式，然后令R=6，求出I的值即可.
7．（2023·北京市模拟）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边长x，解析式为：y=kx；
②某村的耕地面积一定，人均耕地面积S与全村总人口n，解析式为：S=kn；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t，解析式为：s=kt；
故①②正确
故答案为A
【分析】根据矩形的面积公式、人均耕地面积与全村总人口的关系以及行驶路程与行驶时间的关系得出对应的解析式，根据变量之间的关系确定函数关系即可．
8．（2023·衡水模拟）如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为(2，2)，在曲线l：y=kx(x>0)中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（ ）
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】
解：
根据题意可得各点坐标为：M（1，2），P（3，1）、Q（1，3）、N（2，2）、T（2，3），
各点对应的k值分别是2、3、3、4、6，所以双曲线依次经过的格点的顺序为：点M→同时经过点P，Q→点N→点T。
故答案为：C
【分析】
先求出各点坐标，再求出各点所在图像的k值，按从小到大的顺序排列即可得到对应点的经过顺序。
二、填空题
9．（2022·郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 R(Ω) 三者之间的关系： I=UR ，测得数据如下：
那么，当电阻 R=55Ω 时，电流 I= A.
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵100×2.2=200×1.1=220×1=400×0.55=220
∴U=220 V，
∴I=220R
∴当电阻 R=55Ω 时， I=22055=4 A.
故答案为：4.
【分析】将R=100、I=2.2代入I=UR中可得U的值，据此可得R与I的关系式，然后将R=55代入求解可得I的值.
10．在电压 U 、电流 I 、电阻 R 中，当 一定时，其余两个量成反比例.
【答案】电压
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵I=UR，
∴当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例.
故答案为：电压.
【分析】根据I=UR，可知当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即可解答.
11．（2023八下·南浔期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P在反比例函数y=kx(k<0)图象上，点B为y轴负半轴上一点，连结PB交x轴于点A，点C为x轴负半轴上一点，连结BC和PC．若PA=PC，OA=12AC，且△PBC的面积为3，则k的值是 ．
【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过P作PD⊥x轴，如下图：
∵PA=PC，PD⊥AC；
∴AD=12AC，
∵OA=12AC ，
∴AD=OA，
在△PDA和△BOA中
∠PDA=∠BOADA=OA∠PAD=∠BAO
∴△PDA≌△BOA（ASA），
∴AD=OA，PD=OB，
设OA=a，OB=b，
则A（-a，0），B（0，-b），AC=2a，
∴P（-2a，b），
∵△PBC的面积为3 ，
∴S△PBC=12×AC×yp+yB=3
∴12×2a×2b=3，
化简得：ab=32，
∵P（-2a，b）在y=kx(k＜0)上，
∴k=-2ab=-3，
故答案为：-3.
【分析】过P作PD⊥x轴，证明△PDA≌△BOA，得OA=OC=AD，设OA=a，OB=b，来表示A、B坐标及AC长度，继而得到P点坐标，根据 △PBC的面积为3 得到a和b的关系，根据P在反比例函数上，将P代入解析式，求得k
12．（2023·广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为 A．
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵I=48R，
∴当R=12Ω时I=4812=4.
故答案为：4
【分析】将R的值代入函数解析式，可求出I的值.
13．（2023·扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数，且当V=3m3时，p=8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3．
【答案】0.6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知P是V的的反比例函数，
设P=kV（k≠0），
∴k=3×8000=24000，
∴P=24000V，
∵p≤40000， 气球不爆炸
∴24000V≤40000，
解之：V≥0.6，
∴ 气球的体积应不小于0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知P是V的的反比例函数，结合已知条件可求出P与V的函数解析式，再根据p≥40000，可得到关于V的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
三、解答题
14．（2023八下·温州期末）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】解：任务1：
解：由题意，得ρ是关于h的反比例函数，设ρ=kh，把ρ=1.0，h=19.8代入，得1.0=k19.8，
∴k=19.8，
∴ρ=19.8h．
任务2：
解：由题意可得，
ρ75%酒精=−0.002×75+1=0.85，
∴h=≈23.3，标注如图，
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用已知：ρ是关于h的反比例函数，设ρ=kh，将ρ和h的值代入可求出k的值，可得到ρ与h的函数解析式.
任务2：利用已知可求出ρ的值，再代入函数解析式，可求出h的值，然后在图形中标注即可.
15．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：y=kx(k≠0)，
把(0.25，400)代入，得400=k0.25，
解得：k=0.25×400=100，
故y与x之间的函数关系式为：y=100x，
当x=0.4时，有y=1000.4=250，
400−250=150，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：y=kx(k≠0)，再将(0.25，400)代入y=kx(k≠0)求出k的值，再将x=0.4代入反比例函数解析式求出y的值，再利用400−250=150计算即可。
四、综合题
16．（2023·宁夏）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V=43πr3，π取3）；
（2）请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】（1）设函数关系式为p=kV，
根据图象可得：k=pV=120×0.04=4.8，
∴p=4.8V，
∴当p=150时，V=4.8150=0.032，
∴43×3r3=0.032，
解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【知识点】立方根及开立方；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先设函数关系式为p=kV，根据图像可求出方程，其次求出p=150时的V，根据球体体积公式可求出半径；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
17．（2023八下·萧山期末）已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（mm）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图1所示，经整理，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a（mm）的对应数据如表所示：
（1）请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（mm）之间的函数表达式，并说明理由；
（2）经过测量，第4行和第7行两行首个字母E的宽度a（mm）的值分别是35mm和17.5mm，求第4行、第7行的视力值．
【答案】（1）解：根据表格数据可知，视力值V和随着宽度a减小而增大，且视力值V和宽度a的积为定值，故视力值V和宽度a成反比例函数关系，
设视力值V和宽度a的函数解析式为：V=ka，
将点V=0.1，a=70代入求得k=7，
故视力值V和宽度a的函数解析式为：V=7a
（2）解：∵第4行首个字母E的宽度a（mm）的值是35mm，
即a=35，将a=35代入V=7a，求得V=0.2；
∵第7行首个字母E的宽度a（mm）的值是17.5mm，
即a=17.5，将a=17.5代入V=7a，求得V=0.4；
故求第4行、第7行的视力值分别是0.2，0.4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)观察表格中的数据可知，视力值V和宽度a的积为定值，故视力值V和宽度a成反比例函数关系，再利用待定系数法求出函数解析式.
(2)将a值代入函数解析式求出对应的V值即可.R(Ω)
100
200
220
400
I(A)
2.2
1.1
1
0.55
制作检测75%酒精的漂浮吸管
素材1
如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．
素材2
小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数h（cm）与液体密度ρ（g/cm3）之间的几组数据如下表：
h（cm）
…
19.8
18
16.5
13.2
…
ρ（g/cm3）
…
1.0
1.1
1.2
1.5
…
素材3
浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8g/cm3，1.0g/cm3）：
ρa%酒精=mV=a%V⋅ρ酒精+(1−a%)V⋅ρ酒精V=a%×0.8+(1−a%)×1.0=−0.002a+1
问题解决
任务1
求ρ关于h的函数表达式．
任务2
由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm）
位置
视力值V
a的值（mm）
第1行
0.1
70
第5行
0.25
28
第8行
0.5
14
第14行
2.0
3.5