浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题5.6 一次函数的综合大题专项训练（50道）（学生版+教师版）

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专题5.6 一次函数的综合大题专项训练（50道） 【浙教版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一次函数的综合大题的所有类型！ 一．解答题（共50小题） 1．（2022•江阴市校级模拟）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是强点． （1）点M（1，2），N（4，4），Q（6，﹣3）中，是强点的有 　N，Q　； （2）若强点P（a，3）在直线y＝﹣x+b（b为常数）上，求a和b的值． 【分析】（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点N，Q是强点； （2）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值；②当a＜0时，利用强点的定义可得出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值．综上，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（4+4）×2＝4×4，（6+3）×2＝6×3， ∴点N，Q是强点． 故答案为：N，Q． （2）分两种情况考虑： ①当a＞0时，（a+3）×2＝3a， ∴a＝6． ∵点P（6，3）在直线y＝﹣x+b上， ∴3＝﹣6+b， ∴b＝9； ②当a＜0时，（﹣a+3）×2＝﹣3a， ∴a＝﹣6． ∵点P（﹣6，3）在直线y＝﹣x+b上， ∴3＝6+b， ∴b＝﹣3． 综上所述：a＝6，b＝9或a＝﹣6，b＝﹣3． 2．（2022秋•东营区校级期末）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设三角形OPA的面积为S． （1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围． （2）当点P的横坐标为5的时候，三角形OPA的面积是多少？ 【分析】（1）根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出S关于x的函数关系式，由函数关系式及点P在第一象限即可得出自变量x的取值范围； （2）把x＝5代入（1）中函数关系即可得出S的值； 【解答】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y）， ∴S6×y＝3y． ∵x+y＝8， ∴y＝8﹣x． ∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x． ∴用含x的式子表示S为：S＝﹣3x+24． ∵S＝﹣3x+24＞0， ∴x＜8； 又∵点P在第一象限， ∴x＞0， 综上可得，x的范围为0＜x＜8； （2）当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝﹣15+24＝9； 3．（2022秋•青羊区校级期末）如图，一次函数yx+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为 　　； （3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式； （2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值； （3）先讨论l1，l2，l3不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C（，）时，k；②l2，l3平行时，k；③11，l3平行时，k．进而得出l1，l2，l3可以围成三角形时k的取值范围． 【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数yx+5， 可得，m+5，解得m， ∴C（，）． 设l2的解析式为y＝ax， 将点C（，） 代入， 得a，解得a， ∴l2的解析式为yx； （2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD，CE， yx+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10， ∴A（10，0），B（0，5）， ∴AO＝10，BO＝5， ∴S△AOC﹣S△BOC105． 故答案为； （3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，如果l1，l2，l3不能围成三角形，那么可分三种情况： ①l3经过点C（，）时，k+1，解得k； ②l2，l3平行时，k； ③l1，l3平行时，k； 又y＝kx+1是一次函数，所以k≠0． 故l1，l2，l3可以围成三角形时，k的取值范围是k且 k且 k且k≠0． 4．（2022•来安县一模）如图，直线l对应的函数表达式为y＝x+1，在直线l上，顺次取点A1（1，2），A2（2，3），A3（3，4），A4（4，5），…，An（n，n+1），构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为S1＝3×2﹣2×1；S2＝4×3﹣3×2；S3＝5×4﹣4×3；… 猜想并填空： （1）S5＝　7×6﹣6×5　； （2）Sn＝　（n+2）（n+1）﹣（n+1）n；　（用含n的式子表示）； （3）S1+S2+S3+…+Sn＝　n2+3n　（用含n的式子表示，要化简）． 【分析】（1）根据例子的求解过程求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）根据题意，化简即可． 【解答】解：（1）根据题意，得S5＝7×6﹣6×5； 故答案为：7×6﹣6×5； （2）根据题意，得Sn＝（n+2）（n+1）﹣（n+1）n， 故答案为：（n+2）（n+1）﹣（n+1）n； （3）S1+S2+S3+…+Sn＝3×2﹣2×1+4×3﹣3×2+...+（n+2）（n+1）﹣（n+1）n ＝（n+2）（n+1）﹣2×1 ＝n2+3n， 故答案为：n2+3n． 5．（2022春•南昌期末）如图为一次函数l：y＝kx+b的图象． （1）用“＞”、“＝”，“＜”填空：k　＞　0，b　＞　0； （2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位，发现图象回到l的位置，求k的值； （3）当k＝3时，将直线l向上平移1个单位得到直线l1，已知：直线l，直线l1，x轴，y轴围成的四边形面积等于1，求b的值． 【分析】（1）根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k和b的符号； （2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k即可； （3）用含b的式子表示出面积，列出关于b的方程，求出b即可． 【解答】解：（1）∵y随着x的增大而增大， ∴k＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴b＞0， 故答案为＞，＞； （2）将直线l向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的直线解析式为： y＝k（x+1）+b﹣2＝kx+k+b﹣2， ∴k+b﹣2＝b，解得k＝2； （3）将直线l向上平移1个单位得到直线l1：y＝kx+b+1， 设直线y＝3x+b与坐标轴交于A、B两点， 可得A（0，b），B（，0）， 设直线y＝3x+b+1与坐标轴交于C、D两点， 可得D（0，b+1），C（，0）， ∴S四边形ABCD＝S△OCD﹣S△OAB＝1， 解得：． 6．（2022春•保亭县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与y轴、x轴分别交于A（﹣1，0），B（0，﹣3）． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）直接写出直线AB向下平移2个单位后得到的直线解析式； （3）求在（2）的平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积． 【分析】（1）用待定系数法即可求出解析式； （2）根据“上加下减“可得平移后解析式； （3）画出图形，数形结合解决问题． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴直线y＝kx+b的解析式是y＝﹣3x﹣3； （2）将直线y＝﹣3x﹣3向下平移2个单位得到的直线解析式是y＝﹣3x﹣3﹣2＝﹣3x﹣5， （3）设平移后的直线与x轴交于C，与y轴交于D，如图： 在y＝﹣3x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x， ∴C（，0），D（0，﹣5）， ∴OC，OD＝5， ∴S△CODOD•OC， ∵A（﹣1，0），B（0，﹣3）， ∴S△AOBOA•OB， ∴平移中直线AB在第三象限内扫过的图形面积是． 7．（2022•邢台三模）如图，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴和y轴分别交于点B和点A，C点坐标为（4，2），将直线y＝kx+3在x轴下方的部分记作G，作G关于x轴的对称图形G1． （1）求A的坐标； （2）若S△ABC＝5，求k的值； （3）若G1经过点C，求k的值． 【分析】（1）当x＝0时，求出y的值； （2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D，根据面积关系可得m＝2，则0＝2k+3，可得出答案；当点C在△AOB内部时，如图2，根据面积关系求出k； （3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2），可得出﹣2＝4k+3，解之得出答案． 【解答】解：（1）直线y＝kx+3（k＜0）与y轴相交于A， 则有y＝0×k+3＝3， 所以A（0，3）； （2）当点C在△AOB外部时，如图1，过点C作CD⊥x轴于D， ∵A（0，3），C（4，2）， ∴OA＝3，CD＝2，OD＝4． 设B（m，0） ∴． ∴m＝2， ∴0＝2k+3， ∴， 当点C在△AOB内部时，如图2， ∵S△AOB﹣S△AOC﹣S△BOC＝5， ∴5， 解得：k． 综合可得k或． （3）C关于x轴的对称点为C'（4，﹣2）， 当C'（4，﹣2）在直线y＝kx+3上时，G1经过点C， 此时有﹣2＝4k+3，解之得，． 8．（2022秋•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为yx﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式； （2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵直线l1：yx+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B， ∴y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6， x＝0时，y＝3， ∴A（﹣6，0），B（0，3）． ∵将直线l1：yx+3向下平移4个单位长度得到直线l3， ∴直线l3的解析式为：yx+3﹣4，即yx﹣1， ∵y＝0时，x﹣1＝0，解得x＝2， x＝0时，y＝﹣1， ∴C（2，0），D（0，﹣1）． 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0）， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为yx+3； （2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1）， ∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC AC•OBAC•OD 8×38×1 ＝12+4 ＝16． 9．（2022春•开封期末）如图，点A、B在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）． （1）请在图中建立平面直角坐标系． （2）若C、D两点的坐标分别为（1，2）、（﹣2，2），请描出C、D两点．C、D两点的坐标有什么异同？直线CD与x轴有什么关系？ （3）若点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点，则m＝　3　，点E的坐标为 　（10，2）　． 【分析】（1）利用A、B点的坐标建立直角坐标系； （2）利用（1）所画的直角坐标系判断点C，D所在的位置，即可得到结论； （3）根据题意得到m﹣1＝2，即可求得m＝3，进一步求得点E的坐标为（10，2）． 【解答】解：（1）如图， ； （2）C、D两点的横坐标不同，纵坐标相同，直线CD与x轴平行； （3）∵点E（2m+4，m﹣1）为直线CD上的一点， ∴m﹣1＝2，解得m＝3， ∴2m+4＝10， ∴点E的坐标为（10，2）， 故答案为：3，（10，2）． 10．（2022春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线yx﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l，直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点． （1）求点C的坐标，并在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象； （2）连接BC，DA，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据平移的规律求得直线l的解析式，进一步根据x轴上点的坐标特征即可求得点C的坐标； （2）求得A、B的坐标，即可求得AC的长度，由于BD＝6，即可根据AC•BD求得结果． 【解答】解：（1）将直线yx﹣2沿y轴向上平移6个单位长度得到直线l为yx﹣2+6x+4， ∵直线l与x轴、y轴分别交于C，D两点， ∴令y＝0，则x+4＝0， 解得x＝8， ∴C（8，0）． 在同一平面直角坐标系中直接画出直线l的图象如图， （2）∵直线yx﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴A（﹣4，0），B（0，﹣2）， ∵直线y4与x轴、y轴分别交于C，D两点， ∴C（8，0），D（0，4）， ∴AC＝8﹣（﹣4）＝12， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB36． 11．（2022春•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）点A关于y轴的对称点为C，将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，点（﹣1，m）在直线y＝2x+1平移后的图形上，点（2，n）在直线BC平移后的图形上，试比较m，n的大小，并说明理由． 【分析】（1）令x＝0和y＝0时，代入解析式得出坐标即可； （2）求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+1，根据平移的规律得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t，由图象上点的坐标特征得到m＝﹣2+1+t＝﹣1+t，n＝﹣4+1+t＝﹣3+t，由m﹣n＝2＞0，即可得出m＞n． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． 将x＝0代入y＝2x+1，得到：y＝1， ∴B（0，1）， 将y＝0代入y＝2x+1，得到2x+1＝0， 解得：x， ∴A（，0）； （2）∵点A关于y轴的对称点为C， ∴C（，0）， ∴直线BC为y＝﹣2x+1， 将直线y＝2x+1，直线BC都沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到y＝2x+1+t、y＝﹣2x+1+t， ∵点（﹣1，m）在直线y＝2x+1+t上， ∴m＝﹣2+1+t＝﹣1+t， ∵点（2，n）在直线y＝﹣2x+1+t上， ∴n＝﹣4+1+t＝﹣3+t， ∵m﹣n＝﹣1+t﹣（﹣3+t）＝2＞0， ∴m＞n． 12．（2022春•新蔡县期末）如图，直线y＝2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线AB向下平移后经过点P（3，0）． （1）求平移后的直线所对应的函数表达式； （2）求△PAB的面积． 【分析】（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b，将点P（3，0）代入求得b即可； （2）求得A、B的坐标，即可求得AP，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）设平移后的直线所对应的函数表达式为y＝2x+b， 将点P（3，0）代入，得0＝2×3+b，解得b＝﹣6， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为：y＝2x﹣6； （2）对于y＝2x+3，当x＝0时，y＝3：当y＝0时，x， ∴点A（，0）、点B（0，3）， ∴AP＝|3﹣（）|， ∴S△PABAP•OB3． 13．（2022秋•泰兴市期末）点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点． （1）若k＝﹣2． ①当y＜0时，x的范围为 　x＞2　． ②若将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为 　y＝﹣2x+7　． （2）比较p、q的大小，并说明理由． 【分析】（1）①根据题意得到﹣2x+4＜0，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【解答】解：（1）∵k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+4， ①∵y＜0， ∴﹣2x+4＜0， ∴x＞2； ②将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为y＝﹣2x+4+3＝﹣2x+7； 故答案为：x＞2；y＝﹣2x+7； （2）∵一次函数y＝kx+4中，k＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（m，p），B（m+3，q）为一次函数y＝kx+4（k＜0）图象上两点，且m＜m+3， ∴p＞q． 14．（2022•兴隆县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由yx的图象向下平移1个单位得到． （1）直接写出这个一次函数的解析式； （2）直线y＝kx+b（k≠0）上一点A（﹣2，a），B（b，0），求△AOB的面积； （3）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，y＝mx（m≠0）的值都大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据平移的规律即可求得． （2）由根据平移后的解析式求得点A，由b＝﹣1，求得点B，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得． 【解答】解：（1）yx的图象向下平移1个单位得到yx﹣1， ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由yx的图象向下平移1个单位得到， ∴这个一次函数的表达式为yx﹣1． （2）∵A（﹣2，a）是直线y＝kx+b（k≠0）上的一点，B（b，0）， ∴A（﹣2，﹣2），B（﹣1，0）， ∴S△AOB1； （3）把x＝﹣2代入yx﹣1，求得y＝﹣2， ∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数yx﹣1的交点为（﹣2，﹣2）， 把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1， ∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数yx﹣1的值， ∴m≤1． 15．（2022春•斗门区期末）已知直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的解析式． 【分析】（1）分别令x＝0、y＝0求得相应的y、x的值即可． （2）根据题意求得点P的坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式． 【解答】解：（1）在y＝2x+6中，当x＝0时y＝6，当y＝0时x＝﹣3， ∴B（0，6）、A（﹣3，0）； （2）∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3． ∵OP＝2OA＝6， ∴点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0）． 设平移后的直线为：y＝2x+b． 将（﹣6，0）代入，得b＝12． ∴y＝2x+12； 将（6，0）代入，得b＝﹣12． ∴y＝2x﹣12； 综上所述，平移后直线的解析式为y＝2x+12或y＝2x﹣12． 16．（2022•徐州模拟）我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB＝|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P1，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． （1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）＝　 　； （2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形； （3）试求点M（2，3）到直线y＝x+2的最小直角距离． 【分析】（1）由P0与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可； （3）根据新的运算规则知d（M，Q）＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3|＝|x﹣2|+|x﹣1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1． 【解答】解：（1）d（O，P）＝|0﹣1|+|0﹣3|＝4； 故答案为：4； （2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）， ∴|0﹣x|+|0﹣y|＝|x|+|y|＝2， 所有符合条件的点P组成的图形如图所示； （3）∵d＝|x﹣2|+|y﹣3|＝|x﹣2|+|x+2﹣3| ＝|x﹣2|+|x﹣1| ∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1． ∴点M（2，3）到直线y＝x+2的直角距离为1． 17．（2022秋•永嘉县校级期末）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象平移，使它过点（0，3），求平移后直线的解析式． 【分析】（1）由y+3与x成正比例，设出关系式，把x与y的值代入k的值，即可确定出解析式； （2）利用平移规律设出平移后的解析式，把（0，3）代入即可求出解析式． 【解答】解：（1）设y+3＝kx， 把x＝2，y＝7代入得：7+3＝2k，即k＝5， 则y与x函数关系式为y+3＝5x，即y＝5x﹣3； （2）设平移后的解析式为y＝5x﹣3+m， 把x＝0，y＝3代入得：3＝﹣3+m，即m＝6， 则平移后直线解析式为y＝5x+3． 18．（2022春•宜州区期末）如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A（3，0），将其图象向上平移2个单位后与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）图象经过点B和C的函数解析式为 　　； （3）△OBC的面积为 　12　． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据“上加下减、左加右减”的原则即可求得； （3）求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）将A（3，0）代入y＝kx+2得：3k+2＝0， ∴； （2）将函数yx+2的图象向上平移2个单位后得到yx+2+2，即， 故答案为； （3）在直线中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝6， ∴B（6，0）、C（0，4）， ∴OB＝6，OC＝4， ∴S△OBC12， 故答案为12． 19．（2022春•南昌期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小南结合学习一次函数的经验，对函数y＝3﹣|x﹣1|的图象和性质进行了研究，下面是小南的探讨过程，请补充完整： （1）列表： 表格中m＝　0　，n＝　1　； （2）①根据列表在给出的平面直角坐标系中描点、画出函数图象； ②根据所画的函数图象，该函数有 　最大值　（填“最大值”或“最小值”）；这个值为 　3　； （3）直接写出函数图象与x轴所围成的图形的面积：　9　； （4）过点（0，a）作直线l∥x轴，结合所画的函数图象，若直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）将x的值代入对应的解析式即可求得m，n的值； （2）①依据表格中对应的x，y的值作为横纵坐标，在坐标系中描出各点然后画出函数图象即可； ②结合图象，函数y＝3﹣|x﹣1|有最大值，最大值为3； （3）求得函数值为0时的x的值，然后根据三角形面积公式求得即可； （4）依据题意画出图形，结合所画的函数图象，观察得到当直线l在点（1，3）的下方时满足条件，由此可得a的取值范围． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝3﹣|﹣2﹣1|＝3﹣3＝0， 当x＝3时，n＝3﹣|3﹣1|＝3﹣2＝1． 故答案为：0，1； （2）①以（1）中表格中x，y的对应值作为点的横纵坐标在坐标系中分别描出各点， 画出如图所示的折线即为所画的函数y＝3﹣|x﹣1|的图象； ②根据所画的函数图象，该函数有最大值；这个值为3； 故答案为：最大值；3； （3）∵y＝0时，则x＝﹣2或x＝4， ∴函数图象与x轴所围成的图形的面积为9； 故答案为：9； （4）直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点， ∴画出直线l的大致图象如下图： 由图象可以看出直线l在（1，3）下方时，直线l与函数y＝3﹣|x﹣1|图象有两个交点． ∴a的取值范围为a＜3． 20．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线y＝3及y轴围成三角形． （1）当正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（1，1）； ①k的值为 　1　； ②此时围成的三角形内的“整点坐标”有 　1　个；写出“整点坐标”　（1，2）　． （2）若在y轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围． 【分析】（1）①把（1，1）代入y＝kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐标”； （2）当直线y＝x绕着点O顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＜1，当直线y＝kx过点（3，2时，k取最小值，可得取值范围． 【解答】解：（1）①∵正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1）， ∴代入得：1＝k， 即k＝1， 故答案为：1； ②如图，直线y＝x、直线x＝3和y轴围成的三角形是AOB， 则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，2）， 故答案为：1，（1，2）； （2）当直线y＝kx过点（3，2）时，其关系式为yx， 当直线y＝kx过点A（3，3）时，其关系式为y＝x， ∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为k＜1． 21．（2022春•延庆区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y'），给出如下定义：若y'，则称点Q为点P的“调控变点”．例如：点（2，1）的“调控变点”为（2，1）． （1）点（﹣2，4）的“调控变点”为 　（﹣2，﹣4）　； （2）若点N（m，3）是函数y＝x+2上点M的“调控变点”，求点M的坐标； （3）点P为直线y＝2x﹣2上的动点，当x≥0时，它的“调控变点”Q所形成的图象如图所示（端点部分为实心点）．请补全当x＜0时，点P的“调控变点”Q所形成的图象． 【分析】（1）根据“调控变点”的定义即可求出（﹣2，4）的调控变点． （2）分类讨论，利用“调控变点”的定义分别求出m＞0和m＜0两种情况下对应的m值． （3）根据定义可知：当x＜0是，P（x，2x﹣2），Q点坐标为（x，﹣2x+2），∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2，进而画出图象即可． 【解答】（1）根据定义可知点（﹣2，4）的“调控变点”纵坐标为﹣4， 故（﹣2，4）的调控变点”为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）． （2）设M的坐标为（m，m+2）， ∵N（m，3）是M的（m，m+2）“调控变点”， ∴①当m＞0时， m+2＝3， m＝1． 此时M的坐标为（1，3）． ②当m＜0时， m+2＝﹣3， m＝﹣5， 此时M的坐标为（﹣5，﹣3）． ∴M的坐标为（1，3），（﹣5，﹣3）． （3）当x＜0是，P（x，2x﹣2）， 根据定义知：Q（x，﹣2x+2）， ∴Q点所在函数为y＝﹣2x+2， 补全图如下图所示： 22．（2022春•永年区月考）一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣n），求： （1）m，n是什么数时，y随x增大而增大？ （2）m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ （3）若m＝﹣1，n＝2时，求一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据一次函数性质得2m+4＞0，然后解不等式； （2）根据一次函数图象与系数的关系得到2m+4≠0，3﹣n＜0，然后解两个不等式； （3）先确定一次函数解析式，然后利用x轴和y轴上点的坐标特征求一次函数与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）当2m+4＞0时，即m＞﹣2，y随x的增大而增大； （2）当2m+4≠0，3﹣n＜0时，即m≠﹣2，n＞3，函数图象与y轴的交点在x轴下方； （3）m＝﹣1，n＝2，一次函数为y＝2x+1， 当x＝0时，y＝2x+1＝1，则一次函数与y轴的交点为（0，1）；当y＝0时，2x+1＝0，解得x，则一次函数与x轴的交点坐标为（，0）， ∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积1． 23．（2022秋•三元区期中）已知一次函数y＝﹣3x+b的图形过点M． （1）求实数b的值； （2）设一次函数y＝﹣3x+b的图形与y轴交于点N，连接OM．求△MON的面积． 【分析】（1）根据图象可以得到点M的坐标，然后根据点M在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，即可得到b的值； （2）根据（1）中的结果，可以得到点N的坐标，从而可以得到ON的长，再根据点M的坐标，可以得到点M到y轴的距离，从而可以计算出△MON的面积． 【解答】解：（1）由图象可得，点M的坐标为（﹣2，4）， ∵一次函数y＝﹣3x+b的图象过点M（﹣2，4）， ∴4＝﹣3×（﹣2）+b， 解得b＝﹣2， ∴实数b的值是﹣2； （2）由（1）知，b＝﹣2， ∴y＝﹣3x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣3×0﹣2＝﹣2， 即点N的坐标为（0，﹣2）， ∴ON＝2， ∴点M（﹣2，4）， ∴点M到y轴的距离是2， ∴△MON的面积是：2， 即△MON的面积是2． 24．（2022春•东湖区期末）已知函数y1＝（m+1）x﹣m2+1（m是常数）． （1）m为何值时，y1随x的增大而减小； （2）m满足什么条件时，该函数是正比例函数？ （3）若该函数的图象与另一个函数y2＝x+n（n是常数）的图象相交于点（m，3），求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据题意m+1＜0，解得即可； （2）根据正比例函数的定义得到m+1≠0，﹣m2+1＝0，解得m＝1； （3）由函数y1＝（m+1）x﹣m2+1经过点（m，3）求得m＝2，得到交点为（2，3），根据交点坐标求得函数y1的解析式，即可求得与y轴的交点坐标，把交点坐标代入y2＝x+n，求得解析式，即可求得与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【解答】解：（1）由题意：m+1＜0， ∴m＜﹣1， 即m＜﹣1时，y随x的增大而减小； （2）若该函数是正比例函数，则m+1≠0，﹣m2+1＝0， ∴m＝1， 即m＝1时，该函数是正比例函数； （3）∵两个的图象相交于点（m，3）， ∴m（m+1）﹣m2+1＝3， ∴m＝2， ∴交点坐标为（2，3）， ∴该点到y轴的距离为2， 将m＝2代入y1＝（m+1）x﹣m2+1，得：y1＝3x﹣3， 将交点坐标（2，3）代入y2＝x+n，得：n＝1， ∴y2＝x+1， ∴两个函数图象与y轴的交点坐标分别为（0，﹣3）和（0，1）， ∴所围成的三角形的面积为：[1﹣（﹣3）]×2÷2＝4． 25．（2022秋•绿园区校级期中）我们把形如y的函数称为对称一次函数，其中y＝x﹣a（x≥a）的图象叫做函数的右支，y＝﹣x+a（x＜a）的图象叫做函数的左支． （1）当a＝0时： ①在下面平面直角坐标系中画出该函数图象； ②点P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上，则m＝　1　，n＝　2或﹣2　； （2）点A（4，3）在对称一次函数图象上，求a的值； （3）点C坐标为（﹣1，2），点D坐标为（4，2），当一次对称函数图象与线段CD有交点时，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）当a＝0，则y，①画出函数图象即可；②把P（1，m）和点Q（n，2）代入解析式即可求得； （2）代入解析式即可求得； （3）把y＝2代入解析式得即可求得x＝2+a或x＝a﹣2，根据题意得到，解得即可． 【解答】解：（1）当a＝0，则y， ①画出函数图象如图： ②∵P（1，m）和点Q（n，2）在函数图象上， ∴m＝1，n＝2或﹣2， 故答案为1，2或﹣2； （2）∵点A（4，3）在对称一次函数图象上， ∴3＝4﹣a或3＝﹣4+a， 解得a＝1或a＝7； （3）把y＝2代入解析式得2＝x﹣a或2＝﹣x+a， ∴x＝2+a或x＝a﹣2， 当一次对称函数图象与线段CD有交点时，则， 解得﹣3≤a≤6． 26．（2022秋•杏花岭区校级期中）已知一次函数y＝2x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）在给定的直角坐标系中，画出一次函数y＝2x+2的图象； （3）判断（，﹣1）是否在这个函数的图象上？　否　（填“是”或“否”）； （4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是　1　． 【分析】（1）分别令y＝0，x＝0求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）根据图象即可判断； （4）根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1；令x＝0，则y＝2； ∴点A坐标为（﹣1，0）； 点B坐标为（0，2）， （2）函数y＝2x+2的图象如下： （3）由图象可知（，﹣1）不在这个函数的图象上； 故答案为：否； （4）该函图象与坐标轴围成的三角形面积是为：1， 故答案为1． 27．（2022秋•上城区期末）已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）． （1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值； （2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势； （3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围． 【分析】（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中得m的方程，求出m的值便可； （2）根据抛物线与y轴交点的纵坐标小于0，列出m的不等式，求出m的取值范围便可确定函数值y随着x的增大而变化的趋势； （3）设3＜m1＜m2＜4，求出两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点M1（0和M2的坐标，以及直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点N的坐标，再用三角形的面积公式求出这两条直线与y轴围成的三角形面积，再根据m1与m2的取值范围求得S的取值范围． 【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得 2（m﹣4）+12﹣4m＝0， 解得，m＝2； （2）∵图象与y轴交点位于原点下方， ∴12﹣4m＜0， ∴m＞3， ∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小， 当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大； （3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2）， ∴M1M2＝4（m2﹣m1）， ∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4）， ∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为： S， ∵3＜m1＜m2＜4， ∴0＜m2﹣m1＜1， ∴0＜S＜8， ∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8． 28．（2022春•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6． （1）直接写出点A与点B的坐标（用含b的代数式表示）； （2）求b的值； （3）如果一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限，点C的坐标为（2，m），其中m＞0，试用含m的代数式表示△ABC的面积． 【分析】（1）由一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，令y＝0求出x，得到A点坐标；令x＝0，求出y，得到B点坐标； （2）根据一次函数yx+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b的值； （3）根据一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限，得出b＝﹣4，确定A（﹣3，0），B（0，﹣4）．利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出D（0，m），那么BDm+4，再根据S△ABC＝S△ABD+S△DBC，即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数yx+b的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B， ∴当y＝0时，x+b＝0，解得xb，则A（b，0）， 当x＝0时，y＝b，则B（0，b）； （2）∵S△AOBOA•OB|b|×|b|＝6， ∴b2＝16， ∴b＝±4； （3）∵一次函数yx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴b＝﹣4， ∴yx﹣4． ∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）． 设直线AC的解析式为y＝kx+t， ∵A（﹣3，0），C（2，m）， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为yxm． 设直线AC与y轴交于点D，则D（0，m）． ∴BDm+4， ∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC， ∴S△ABC（m+4）×（2+3）m+10． 29．（2022秋•句容市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1） （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）求直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积； （3）将一次函数y＝kx+b的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为　y＝﹣2x　，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为　y＝﹣2x+2　． 【分析】（1）把A、B两点代入可求得k、b的值，可得到一次函数的表达式； （2）分别令y＝0、x＝0可求得直线与两坐标轴的两交点坐标，可求得所围成的三角形的面积； （3）根据上加下减，左加右减的法则可得到平移后的函数表达式． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过A（1，1）和B（2，﹣1）， ∴，解得， ∴一次函数为y＝﹣2x+3； （2）在y＝﹣2x+3中，分别令x＝0、y＝0， 可求得一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（0，3）、（，0）， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S3； （3）将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移3个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2x，再向右平移1个单位，则平移后的函数表达式为y＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2 故答案为：y＝﹣2x，y＝﹣2x+2． 30．（2022秋•平果市期中）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到，且过点A（1，2）． （1）求k，b的值； （2）求直线y＝kx+b与x轴的交点B的坐标； （3）设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y轴交于点C，且点C位于x轴上方，求直线AC对应的一次函数的表达式． 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝3，再将点A（1，2）代入y＝3x+b，求出b的值； （2）将y＝0代入（1）中所求的函数解析式即可求解； （3）先根据过点B的直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是求出这条直线与y轴交点C的坐标，再根据待定系数法即可求出直线AC的解析式． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝3x向下平移得到， ∴k＝3， 将点A（1，2）代入y＝3x+b， 得3+b＝2， 解得b＝﹣1； （2）将y＝0代入y＝3x﹣1， 得3x﹣1＝0，解得x， ∴点B的坐标为（，0）； （3）∵S△OBCOB•OC， ∴OC， ∴OC＝3， ∵点C位于x轴上方， ∴点C的坐标为（0，3）． 设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3． 31．（2022秋•垣曲县期中）作出函数y＝﹣x+2的图象，并利用图象回答问题： （1）写出图象与x轴的交点A的坐标　（2，0）　，与y轴的交点B的坐标　（0，2）　． （2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　y＜3　． （3）有一点C的坐标是（3，4），顺次连接点A、B、C得到△ABC，三角形ABC的面积为　5　． （4）点C关于x轴对称的点D的坐标； （5）连接B，D两点，求直线BD的函数关系式． 【分析】（1）在解析式中分别令y＝0和x＝0，则可求得A、B的坐标； （2）当x＝﹣1时，y＝3，根据直线y＝﹣x+2即可得到y的取值范围； （3）用矩形的面积减去三个三角形的面积即可求得； （4）根据关于x轴对称的点的坐标特征求得即可； （5）根据待定系数法即可求得． 【解答】解：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2； 如图所示，直线y＝﹣x+2即为所求； （1）图象与x轴的交点A的坐标（2，0），与y轴的交点B的坐标（0，2）， 故答案为（2，0），（0，2）； 当y＜0时，x的取值范围为x＞3； （2）当x＞﹣1时，y的取值范围是y＜3， 故答案为y＜3； 当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为1＜y＜5； （3）如图，三角形ABC的面积为：4×35， 故答案为5； （4）点C关于x轴对称的点D的坐标为（3，﹣4）； （5）设直线BD的解析式为y＝kx+2， 把D（3，﹣4）代入得，﹣4＝3k+2， 解得k＝﹣2， ∴直线BD的函数表达式为y＝﹣2x+2． 32．（2022秋•建平县期末）已知一次函数yx+6． （1）求直线yx+6与x轴、y轴交点坐标； （2）求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积； （3）求坐标原点O到直线yx+6的距离． 【分析】（1）先令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可； （2）根据三角形面积公式求得即可； （3）利用三角形的面积公式可得出结论． 【解答】解：（1）∵令y＝0，则x＝﹣8，令x＝0，则y＝6， ∴直线yx+6与x轴、y轴交点坐标为A（﹣8，0），B（0，6）． （2）S△AOBOA•OB24； （3）在Rt△AOB中， AB2＝OA2+OB2＝82+62＝100， ∴AB＝10， 作OC⊥AB于C， ∵S△AOB24， ∴OC， ∴原点O到直线yx+6的距离是． 33．（2022秋•修武县期中）如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标； （2）根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案． 【解答】解：（1）在y＝3x+5中，令y＝0可得x，令x＝0可得y＝5， ∴A（，0），B（0，5）； （2）∵OA，OB＝5， ∴S△AOBOA•OB5． 34．（2022秋•上虞区期末）设y是关于x的一次函数，其图象与y轴交点的纵坐标为﹣10，且当x＝1时，y＝﹣5． （1）求该一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积； （2）当函数值为时，自变量的取值是多少？ 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． （2）把y代入解析式求得即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b，当x＝1时，y＝﹣5，且它的图象与y轴交点纵坐标是﹣10， ∴， 解得：， 故它的解析式是：y＝5x﹣10． 令y＝0，则5x﹣10＝0，解得x＝2．即图象与x轴的交点坐标为（2，0）， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为10×2＝10． （2）∵y＝5x﹣10， ∴5x﹣10，解得x． ∴当函数值为时，自变量x的取值是． 35．（2022秋•高台县校级期中）作出函数yx﹣4的图象，并根据图象回答下列问题： （1）y的值随x的增大而　增大　； （2）图象与x轴的交点坐标是　（3，0）　；与y轴的交点坐标是　（0，﹣4）　； （3）求该图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论； （2）令y＝0，求出x的值，再令x＝0，求出y的值即可； （3）根据函数图象与坐标轴的交点得出三角形的面积即可． 【解答】解：作出函数yx﹣4的图象如图： （1）∵函数yx﹣4中，k0， ∴y的值随x的增大而增大． 故答案为：增大； （2）∵令y＝0，则x＝3；令x＝0，则y＝﹣4， ∴图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4）． 故答案为：（3，0），（0，﹣4）； （3）∵函数图象与x轴的交点坐标是（3，0），图象与y轴的交点坐标是（0，﹣4）， ∴函数yx﹣4的图象与坐标轴所围成的三角形的面积3×4＝6． 36．（2022春•怀柔区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C． （1）求点C的坐标； （2）求直线CD的表达式； （3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围． 【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得B的坐标，即可求得平移后对应点C的坐标； （2）根据A点的坐标求得D点的坐标，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式； （3）求得E点为（0，﹣4），把A（﹣2，0）、D（4，0）分别代入y＝kx﹣4中，求得k的值，结合函数图象，即可求得k的取值范围． 【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B， 令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2， ∴B（0，4），A（﹣2，0）， 将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）； （2）∵A（﹣2，0）， ∴D（4，0）， 把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得 解得：k＝2，b＝﹣8 ∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8． （3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4）， ∴设过点E的直线y＝kx﹣4， 把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0， ∴k＝1， 把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中， ∴k＝﹣2 ∴k≥1或k≤﹣2． 37．（2022春•章贡区期末）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝kx+b和y＝bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是“互助”函数．根据规定解答下列问题： （1）请直接写出一次函数yx+4的“互助”函数：　y＝4x　； （2）若两个一次函数y＝（k﹣b）x﹣k﹣2b与y＝（k﹣3）x+3k是“互助”函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据互助函数的定义，写出互助函数； （2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）一次函数yx+4的它的互助一次函数是y＝4x． 故答案为：y＝4x； （2）根据题意得：， 解得， 则两个函数是y＝﹣2x和yx﹣2． y＝﹣2x和y轴的交点是（0，），yx﹣2和y轴的交点是（0，﹣2）．两个函数的交点是：（1，）． 在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：． 38．（2022春•忠县期末）请帮助小明探究函数y的图象及性质，并按要求完成． （1）直接写出m，n的值，并在图中作出该函数图象； （2）判断下面说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请写出正确结论． ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝1； ②该函数有最大值和最小值．当x＝﹣2或6时，函数取得最大值2；当x＝1时，函数取得最小值0． 【分析】（1）将x＝2和x＝4分别代入函数求解，化简绝对值后画分段函数． （2）由图象可得图象对称轴及最小值，进而求解． 【解答】解：（1）把x＝2代入y得y＝0， ∴m＝0， 把x＝4代入y得y＝1， ∴n＝1． 当x﹣2≥0时，即x≥2时，y1， 当x﹣2＜0时，即x＜2时，y＝1， 如图， （2）两个说法都错误，应改为： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线x＝2； ②该函数有最小值但没有最大值．当x＝2时，函数取得最小值0． 39．（2022春•门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的“变换点”P′的坐标． 定义如下：当a≥b时，P′点坐标为（b，a）；当a＜b时，P′点坐标为（﹣a，﹣b）． （1）写出A（5，3）的变换点坐标　（3，5）　，B（1，6）的变换点坐标　（﹣1，﹣6）　，C（﹣2，4）的变换点坐标　（2，﹣4）　； （2）如果直线l：yx+3上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W； （3）在（2）的条件下，若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，请直接写出k的取值范围． 【分析】（1）根据A、B、C三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标； （2）根据直线DE的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线DE中点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于原点对称的射线，再将直线DE中点（2，2）右侧（包括该点）作关于x＝y对称的射线，由此即可得出图形W； （3）根据W的做法找出图形W中两段射线的解析式，分别令y＝kx﹣1（k≠0）与这两段射线的交点的横坐标满足射线中x的取值范围，综合在一起即可得出结论． 【解答】解：（1）∵5＞3，1＜6，﹣2＜4， ∴A（5，3）的变换点坐标（3，5），B（1，6）的变换点坐标（﹣1，﹣6），C（﹣2，4）的变换点坐标（2，﹣4）； （2）直线DE的解析式为yx+3． 当x＝y时，有xx+3，解得：x＝y＝2． 画出图形W，如图所示． 画图的思路，将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）的射线作关于x＝y对称的射线，再将直线DE点（2，2）左侧（不包括该点）作关于原点对称的射线，由此即可得出图形W． （3）当x≤2时，y＝﹣2x+6； 当x＞﹣2时，旋转后的图形解析式为﹣xy﹣3； 令kx﹣1＝﹣2x+6，则有x2且k≠0，k≠﹣2， 解得：k或k＜﹣2； 令kx﹣1x﹣3，则有x2（k≠2）k≠0，2k+1≠0， 解得：k或k． 综上可知：若直线y＝kx﹣1（k≠0）与图形W有两个交点，k的取值范围为k＜﹣2或k． 故答案为：（3，5），（﹣1，﹣6），（2，﹣4）． 40．（2022秋•南岸区校级期末）初三某班同学小戴想根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面性质． 下表是函数y与自变量x的几组对应值： （1）在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长为一个单位长度，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象． （2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝　　（请写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质：　当x≤3时，k＝4＞0，随着x的增大，y值增大　． （3）当直线yx+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围． 【分析】（1）根据列表，即可画出函数的图象； （2）根据函数图象，当x≤3时，函数为正比例函数；当x＞3时，函数为反比例函数； （3）根据函数的图象，可以通过平移求出b的值． 【解答】解：（1） （2）当x≤3时，函数为正比例函数，（1，4）代入y＝kx，解得k＝4，y＝4x． 当x＞3时，函数为反比例函数，（6，6）代入y，解得k＝36，y． ∵当x≤3时，k＝4＞0， ∴随着x增大，y值增大． 故答案为：y，当x≤3时，k＝4＞0，y随着x的增大而增大． （3）由图象可知：当 6b时，会有函数图象有3个交点． 41．（2022春•房山区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）点B的坐标为　（0，2）　； （2）若点A坐标为（4，0），△ABO内的“整点”有　1　个（不包括三角形边上的“整点”）； （3）若△ABO内有3个“整点”（不包括三角形边上的“整点”），结合图象写出k的取值范围． 【分析】（1）把x＝0代入关系式可得y＝2，可得B的坐标； （2）画出直线，可得△ABO内的“整点”个数； （3）根据整点的个数和直线经过的点可得k的取值范围． 【解答】解（1）把x＝0代入关系式可得y＝2， 所以B（0，2）． 故答案为：（0，2）． （2）如图：A（4，0），△ABO内的“整点”有1个，是（1，1）． 故答案为：1． （3）如图： 当直线经过（3，1）时，整点有两个，此时k． 当直线经过（4，1）时，整点有三个，此时k． 所以若△ABO内有3个“整点”，则k或k． 42．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数yx+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD． （1）求点B的坐标； （2）求四边形ABCO的面积； （3）求直线CD的解析式． 【分析】（1）构建方程组即可解决问题； （2）求出A、C两点坐标，根据S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB计算即可； （3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．由题意可知点C′在直线CD上，求出点C′坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【解答】解：（1）由，解得， ∴B（3，3）． （2）由题意A（0，2），C（2，0）， ∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB2×32×3＝6． （3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′． ∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°， ∴点C′在直线CD上， 由（2）可知，C（2，0）． ∵B（3，3）， 由旋转的性质可知，C′（6，2）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线CD的解析式为yx﹣1． 43．（2022秋•邗江区期末）在直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象，并完成下列问题： （1）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是　4　； （2）观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是　﹣4≤y≤4　； （3）将直线y＝2x﹣4平移后经过点（﹣3，1），求平移后的直线的函数表达式． 【分析】（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，把（﹣3，1）代入求出b的值即可得出结论． 【解答】解：（1）令y＝0，解得x＝2， ∴直线与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣4）， ∴此三角形的面积S＝4 （2）画图如下： 由图可知，y的取值范围为﹣4≤y≤4． （3）设平移后的函数表达式为y＝2x+b，将（﹣3，1）代入，解得b＝7． ∴函数解析式为y＝2x+7． 故答案为：4；﹣4≤y≤4 44．（2022春•高邑县期中）如图，直线l是一次函数y＝﹣x+8的图象，点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3，正比例函数y＝kx的图象经过点A，一次函数y＝2x+b的图象经过点B，且与x轴相交于点C． （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）求四边形OABC的面积． 【分析】（1）根据题意得到点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3），代入y＝kx即可得到结论； （2）由于一次函数y＝2x+b的图象经过点B，得到3＝2×5+b，于是得到结论； （3）设直线x轴相交于点D，得到点D坐标为（8，0），根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点A、B在直线l上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为3， ∴点A的纵坐标为6，点B的横坐标为5， 即点A坐标为（2，6），点B坐标为（5，3）， ∵正比例函数y＝kx的图象经过点A， ∴2k＝6， ∴k＝3； （2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点B， ∴3＝2×5+b，∴b＝﹣7， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣7， ∵一次函数y＝2x﹣7的图象与x轴相交于点C， ∴点C坐标为（，0）； （3）设直线x轴相交于点D，则点D坐标为（8，0）， 可得OC，OD＝8，CD， ∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3， ∴S四边形OABC＝S△OAD﹣S△CBD＝8×63． 45．（2022春•洛宁县期中）在平面直角坐标系中画出直线yx+1的图象，并根据图象回答下列问题： （1）写出直线与x轴、y轴的交点的坐标； （2）求出直线与坐标轴围成的三角形的面积； （3）若直线y＝kx+b与直线yx+1关于y轴对称，求k、b的值． 【分析】（1）根据题意，分析可得在yx+1中，当x＝﹣3时，y＝0，x＝0时，y＝1，据此可以作出图象； （2）根据三角形的面积公式计算即可． （3）根据直线yx+1求得直线yx+1关于y轴的对称点，然后根据待定系数法求得即可． 【解答】解：（1）令y＝0得x＝﹣3，令x＝0得y＝1， 可得A点坐标为（﹣3，0）， B点坐标为（0，1） 画出图形如图： （2）因为A（﹣3，0），B（0，1） 所以OA＝3，OB＝1，由三角形面积公式可知 S△AOBOA×OB3×1； （3）直线y1与x轴的交点为（﹣2，0），与y轴的交点为（0，1）； ∴点（﹣2，0）关于y轴的对称点为（2，0），点（0，1）关于y轴的对称点为（0，1）， 把点（2，0）、（0，1）代入y＝kx+b得， 解得k，b＝1． 46．（2022秋•下城区期末）如图，一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）若点P（﹣1，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ （2）在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值． 【分析】（1）求出A、B点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）根据S四边形APOB＝S△AOP+S△AOB即可得出四边形APOB的面积，再由△APB的面积是4可得出m的值． 【解答】解：（1）不变． ∵一次函数y＝x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OB＝2． ∵P（﹣1，m）， ∴S△OPBOB×12×1＝1； （2）∵A（﹣2，0），P（﹣1，m）， ∴S四边形APOB＝S△AOP+S△AOBOA•（﹣m）OA×2 2m2×2 ＝2﹣m． ∵S四边形APOB＝S△APB+S△OPB＝4+1＝5， ∴2﹣m＝5，解得m＝﹣3． 47．（2022春•陆川县期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴交于点A． （1）若点A关于x轴的对称点B在一次函数yx+b的图象上，求b的值，并在同一坐标系中画出该一次函数的图象； （2）求这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）先求出A点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特点得出B点坐标，代入一次函数yx+b求出b的值即可得出其解析式，画出该函数图象即可； （2）设两个一次函数图象的交点为点C，联立两函数的解析式得出C点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵把x＝0代入y＝﹣2x+1，得y＝1． ∴点A坐标为（0，1）， ∴点B坐标为（0，﹣1）． ∵点B在一次函数yx+b的图象上， ∴﹣10+b， ∴b＝﹣1． （2）设两个一次函数图象的交点为点C． ∵，解得， ∴点C坐标为（，）． ∴S△ABC2． 48．（2022秋•浔阳区期中）如图，直线AB的函数关系式为yx+4，点P为坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形，回答问题： （1）求线段AB的长度； （2）当点P为y轴正半轴上一点时，求点P的坐标； （3）当点P为x轴负半轴上一点时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB的长度； （2）分AP＝BP、AB＝AP两种情况考虑，当AP1＝BP1时，利用勾股定理及AP1＝BP1可求出点P1的坐标；当AB＝AP2时，由OP2＝OA+AB可求出点P2的坐标； （3）分AP＝AB、AB＝BP、AP＝BP三种情况考虑，当AP3＝AB时，根据等腰三角形的性质可求出点P3的坐标；当AB＝BP4时，由OP4＝AB﹣OB可求出点P4的坐标；当AP5＝BP5时，利用勾股定理及AP5＝BP5可求出点P5的坐标． 【解答】解：（1）∵直线yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A， ∴点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴AB5． （2）当AP1＝BP1时，设点P1的坐标为（0，m），则AP1＝4﹣m，BP1， ∴（4﹣m）2＝m2+32， 解得：m， ∴点P1的坐标为（0，）； 当AB＝AP2时，OP2＝OA+AB， ∴点P2的坐标为（0，9）． 综上所述，当点P为y轴正半轴上一点时，点P的坐标为（0，）或（0，9）． （3）当AP3＝AB时，OB＝OP3， ∴点P3的坐标为（﹣3，0）； 当AB＝BP4时，则OP4＝AB﹣OB， ∴点P4的坐标为（﹣2，0）； 当AP5＝BP5时，设点P5的坐标为（n，0），则AP5，BP5＝3﹣n， ∴42+n2＝（3﹣n）2， 解得：n， ∴点P5的坐标为（，0）． 综上所述：当点P为x轴负半轴上一点时，点P的坐标为（﹣3，0）、（﹣2，0）或（，0）． 49．（2022秋•瑶海区期中）定义[P，q]为一次函数y＝Px+q的特征数． （1）若特征数是[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为正比例函数，求k的值； （2）在平面直角坐标系中，有两点A（﹣m，0），B（0，﹣2m），且三角形OAB的面积为4（O为原点），求过A，B两点的一次函数的特征数． 【分析】（1）根据题意中特征数的概念，可得k﹣1与k2﹣1的关系；进而可得k的值； （2）根据△OAB的面积为4，可得m的方程，解即可得m的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）∵特征数为[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为y＝（k﹣1）x+k2﹣1， ∴k2﹣1＝0，k﹣1≠0， ∴k＝﹣1； （2）∵A（﹣m，0），B（0，﹣2m）， ∴OA＝|﹣m|，OB＝|﹣2m|， 若S△OBA＝4，则•|﹣m|•|﹣2m|＝4，m＝±2． ∴A（2，0）或（﹣2，0），B（0，4，）或（0，﹣4）， ∴一次函数为y＝﹣2x﹣4或y＝﹣2x+4， ∴过A，B两点的一次函数的特征数[﹣2，﹣4]，[﹣2，4]． 50．（2022秋•亭湖区校级期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点． （1）点M（3，2）　 　和谐点（填“是”或“不是”）； （2）若点P（a，6）是和谐点，a的值为　 　； （3）若（2）中和谐点P（a，6）在y＝﹣4x+m上，求m的值． 【分析】（1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断； （2）根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到﹣4a+m＝6，即m＝4a+6，然后把a的值分别代入可计算出对应的m的值． 【解答】解：（1）∵点M（3，2）， ∴矩形OAPB的周长＝2（3+2）＝10， 面积＝3×2＝6， ∵10≠6， ∴则点M（3，2）不是和谐点； 故答案为：不是； （2）根据题意得：2（|a|+6）＝6|a|， 解得：a＝±3； 故答案为：±3； （3）∵点P（a，6）在直线y＝﹣4x+m上， ∴﹣4a+m＝6，即m＝4a+6， 当a＝3时，m＝18；当a＝﹣3时，m＝﹣6， ∴m的值为18或﹣6．x……﹣2﹣10123……y……m1232n……x…﹣2﹣10123456…y…21.510.5m0.5n1.52…x…﹣10123456912…y…﹣40481297.2643…