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2023-2024学年天津市静海区北师大静海实验学校高一上学期第二次阶段检测（期中）数学试卷（含解析）
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2023-2024学年天津市静海区北师大静海实验学校高一上学期第二次阶段检测（期中）数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x0≤ 2−x≤4,B={x1−x >0}，则A∩∁RB=( )
A. −2,-1,0 B. {x|1≤x≤2} C. 2 D. {x|-2≤x<1}
2.命题p:∀x∈R,x+|x|≥0，则¬p为 ( )
A. ¬p：∃x∈R,x+|x|>0 B. ¬p：∃x∈R,x+|x|<0 C. ¬p：∀x∈R,x+|x|<0 D. ¬p：∀x∈R,x+|x|≥0
3.“2a<1”是“a2>4”成立的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=2xx2+1的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
5.下列命题是真命题的是( )
A. 若ac>bc，则a>b B. 若a2>b2，则a>b C. 若0>a>b，则1a<1b D. 若a>b,c>d，则a−c>b−d
6.已知函数y=x−4+9x+1(x> -1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=( )
A. −3 B. 2 C. 3 D. 8
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−4x，则不等式xf(x)<0的解集为 ( )
A. (−∞,-4)∪(4,+∞) B. (−4,0)∪(4,+∞) C. (−4,0)∪(0,4) D. (−4,4)
8.已知函数f(x)关于直线x=0对称，且当x10恒成立，则满足f(3x−1)>f13的x的取值范围是 ( )
A. 49,+∞ B. −∞,29∪49,+∞ C. 29,49 D. −∞,29
9.奇函数f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，若f(2m+1)+f(m)<0，则m的取值范围是 ( )
A. −13,0 B. [-13,1) C. −1,-13 D. −∞,-13
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.函数f(x)=ax−1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是 ．
11.已知f(x)=−4x+2a,x≥1x2−ax+4,x<1是R上的减函数，则实数a的取值范围为 ．
12.已知f(x)=(m2−m−1)xm2−2m−3是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m的值为 .
13.已知集合A=x114,b>12，且2a+b=2，则14a−1+12b−1的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合A=xx2−8x+12≤0 ，x3x−7≥8−2x ．
(1)求A∪B；
(2)求∁R(A∩B)；
(3)若C=xa−4400．
(1)将利润P(单位：元)表示为产量x的函数；(总收入=总成本+利润)
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?(单位利润=利润÷产量)
20.(本小题12分)
已知关于的x不等式ax2+(a−1)x−1>0．
(1)若a=-2时，求不等式的解集；
(2)若a∈R，解这个关于x的不等式；
(3)∀ 1≤x≤3，(ax−1)(x+1)>(2a+1)x−a恒成立，求a的范围
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】先求解出集合A,B，再求出∁RB，再由交集定义得出结果．
【详解】解：因为A=x0≤ 2−x≤4,B={x1−x >0}，
所以A=x−2≤ x≤2,B={xx <1}，
所以∁RB=x|x≥1，
故A∩∁RB={x|1≤x≤2}．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解．
【详解】命题p:∀x∈R,x+|x|≥0，则¬p为：∃x∈R,x+|x|<0．
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】解分式、一元二次不等式求a范围，根据充分、必要性定义判断条件间的关系．
【详解】由2a<1⇒1−2a=a−2a>0⇒a(a−2)>0⇒a<0 或a>2，
由a2>4⇒a< -2 或a>2，
所以“2a<1”是“a2>4”成立的必要不充分条件．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的奇偶性及零点个数排除即可．
【详解】易知f(x)的定义域为R，且f(−x)=−2x(−x)2+1=-2xx2+1=-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故排除AB．
令f(x)=0，可得2xx2+1=0，解得x=0，
所以f(x)在R上只有一个零点，故排除C，
故D正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B、D．
【详解】解：对于A：因为ac>bc，当c>0时a>b，当c<0时ab2，则|a|>|b|，无法得到a>b，如a=-1，b=0，显然满足a2>b2，但是aa>b，所以1a<1b，故C正确；
对于D：因为a>b,c>d，则a+c>b+d，无法得到a−c>b−d，
如a=10，b=9，c=8，d=-10，满足a>b,c>d，但是a−c=2，b−d=19，故D错误；
故选：C
6.【答案】C
【解析】【分析】通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案
【详解】解：因为x> -1，所以9x+1>0,x+1>0，
所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2 (x+1)⋅9x+1−5=1，
当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，
所以y的最小值为1，
所以a=2,b=1，所以a+b=3，
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析f(x)的符号，进而解不等式xf(x)<0．
【详解】当x>0时，令f(x)=x2−4x=x(x−4)，
可知：当04时，f(x)>0；
又因为f(x)是奇函数，可知：当−40；当x<−4时，f(x)<0；
对于不等式xf(x)<0，则x>0f(x)<0或x<0f(x)>0，可得−40恒成立，可得f(x)在x≤0时单调递增，将f(3x−1)>f13根据奇偶性化为x≤0区间内，再根据单调性解得范围即可．
【详解】解：由题知f(x)关于直线x=0对称，
故f(x)为偶函数，
∴f(x)=f(−x)=f−|x|，
当x10恒成立，
则f(x)在(−∞,0]上单调递增，
∵f(3x−1)>f13，
∴f−|3x−1|>f−13，
∴-|3x−1|> -13，
即−13<3x−1<13，
解得： 29 -m−1<2m+1<1−10时，B≠⌀，则a≥12a≤4,
解得 1≤a≤2，
综上：实教a的取值范围是a≤0或1≤a≤2，
故答案为：a≤0或1≤a≤2
【点睛】本题主要考查集合基本运算和基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题．
14.【答案】M(x)=3−x2,x< -2或x>1x+1,-2≤x≤1
【解析】【分析】先由不等式3−x2≥x+1求出x的范围，可知此时函数为g(x)，从而可求得M(x)的解析式
【详解】由3−x2≥x+1，得−2≤x≤1，
所以当−2≤x≤1时，M(x)=g(x)=x+1，
当x< -2或x>1时，M(x)=f(x)=3−x2，
综上，M(x)=3−x2,x< -2或x>1x+1,-2≤x≤1,
故答案为：M(x)=3−x2,x< -2或x>1x+1,-2≤x≤1
15.【答案】2
【解析】【分析】根据已知式子拼凑出(4a−1)+(2b−1)=2，将14a−1+12b−1乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解．
【详解】因为a>14,b>12，所以(4a−1)>0,(2b−1)>0，
由2a+b=2可得(4a−1)+(2b−1)=2，
则14a−1+12b−1=12×[(4a−1)+(2b−1)]×(14a−1+12b−1)=12(2+2b−14a−1+4a−12b−1)
≥12×(2+2 2b−14a−1×4a−12b−1)=2当且仅当2b−14a−1=4a−12b−1，即a=12,b=1时取等，
所以14a−1+12b−1的最小值是2，
故答案为：2．
16.【答案】(1)∵A=xx2−8x+12≤0 =x2≤x≤6 ，B=x3x−7≥8−2x =xx≥3 ，
∴A∪B=xx≥2 ；
(2)∵A∩B=x3≤x≤6
∴∁R(A∩B)=xx <3 或 x>6；
(3)若C=xa−41，x1−x2<0
故(x1−x2)(x1x2−1)x1x2<0
所以f(x1)0，则f(−x)=x2+2x=f(x)，
所以f(x)=x2−2x,x≥0x2+2x,x<0；
(2)画出函数图像如下：
(3)根据函数图像可得，f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(0,1)，单调递增区间为(−1,0),(1,+∞)，函数的值域为[−1,+∞)．
【解析】(1)根据偶函数的性质即可求出；
(2)根据解析式即可画出图像；
(3)根据图像可得出．
19.【答案】(1)当0≤x≤400时，P(x)=400x−12x2−20000−100x=-12x2+300x−20000，
当x>400时，P(x)=80000−100x−20000=60000−100x，
故P(x)=−12x2+300x−20000,0≤x≤40060000−100x,x>400．
(2)设零件的单位利润为g(x)，
则g(x)=−12x−20000x+300,0≤x≤40060000x−100,x>400,
当0≤x≤400时，g(x)=300−12x+20000x≤300−2 x2⋅20000x=100，
当且仅当x2=20000x，即x=200时，等号成立，
当x>400时，g(x)=60000x−100<50，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元．
【解析】(1)根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得．
(2)设零件的单位利润为g(x)，得到g(x)的解析式，再结合基本不等式的公式，即可
20.【答案】(1)a=-2时，−2x2−3x−1>0⇒2x2+3x+1<0⇒(2x+1)(x+1)<0
⇒-10⇔-x−1>0⇒x< -1；
当a≠0时，ax2+(a−1)x−1>0⇔(ax−1)(x+1)=ax−1a(x+1)>0
当a>0时，有1a> -1，则此时不等式解集为：(−∞,-1)∪1a,+∞；
当a<0，ax−1a(x+1)>0⇔x−1a(x+1)<0．
若1a< -1，即−1 -1，即a< -1时，不等式解集为：−1,1a；
若1a=-1，即a=-1时，不等式解集为空集．
综上，a=0时，解集为(−∞,-1)；a=-1时，解集为⌀；
a>0时，解集为(−∞,-1)∪1a,+∞；
−1(2a+1)x−a⇒ax2−x+1>2x+1，
因x2−x+1=x−122+34≥34>0，则a>2x+1x2−x+1．
则题目等价于a>2x+1x2−x+1max,x∈[1,3]．
令2x+1=t，因x∈[1,3]，则t∈[3,7]．
则2x+1x2−x+1=tt−122−t−12+1=4tt2−4t+7=4t+7t−4
注意到函数f(t)=t+7t在t∈[3,7]时单调递增，
则4t+7t−4≤4f(3)−4=473−1=3，即a>3．
【解析】(1)由题可得−2x2−3x−1>0，即可得答案；(2)当a=0时，不等式变为一次不等式，当a≠0时，对ax2+(a−1)x−1=0分解因式，讨论根的大小即可得答案；(3)由题，可得∀ 1≤x≤3 ，a>2x+1x2−x+1，利用换元法结合函数单调性可得答案．
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