《1.3.1 不等式的性质》精品教案

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第一章 预备知识1.3.1不等式的性质教学目标1．掌握作差比较法比较实数的大小．2．掌握不等式的性质．3．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．4．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式．5．体会数学抽象的过程，加强直观想象与数学运算能力素养的培养．教学重难点重点：掌握作差比较法比较实数的大小；掌握不等式的性质．难点：能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．教学过程 一、新课导入回顾：在现实世界和日常生活中，大量存在着不等关系．例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．请举例说明．答：图1该路段限速40km/h；图2该品种酸奶生牛乳含量超过80%；图3两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；图4斜边大于直角边．情境： 民用住宅的窗户面积和地板面积，一般来讲，窗户面积比地板面积小,即有不等关系：窗户面积<地板面积．显然，窗户面积地板面积的值越大，住宅的采光条件越好． 当同时增加相等的窗户面积m与地板面积m时，住宅的采光条件会得到改善，即有不等关系：窗户面积地板面积<窗户面积+m地板面积+m．答：理论上窗户面积地板面积的值越大，住宅的采光条件越好；当同时增加相等的窗户面积m与地板面积m时，住宅的采光条件会得到改善，说明窗户面积地板面积<窗户面积+m地板面积+m．二、新知探究探究一：实数大小比较的基本事实问题1：要证明情境中结论是否成立，需要用到不等式的性质．而要探究不等式的性质，先得用到关于两个实数大小的基本事实．数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系．结合数轴思考，可以得到什么样的结论呢？分析：当点?在点?的左边时当点?在点?的右边时实数大小比较的基本事实（1）基本事实：如果a−b是正数，那么a > b；如果a−b等于0，那么a= b；如果a−b是负数，那么a0⇔a> b; a−b=0⇔a=b; a−b<0⇔ab，且b>c，那么a>c．分析 要证a>c，只需证a−c>0．证明 因为a>b，且b>c，所以a—b>0，b−c>0，从而a—c=a−b+(b−c)>0，即a>c．说明：性质1（即传递性），在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”．性质2 如果a>b，那么a+c>b+c．分析 要证a+c>b+c，只需证a+c−(b+c)>0．证明 因为a>b，所以α—b>0，所以a+c−b+c=a—b>0，,即a+c>b+c．说明：性质2（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．性质3 （1）如果a>b，c>0，那么ac>bc；（2）如果a>b，c<0，那么acbc，只需证ac−bc>0．证明 （1）因为a>b，所以a−b>0．又因为c>0，所以(a−b)c>0，ac−bc>0，即ac>bc．(2) 因为?<0，所以(?−?)?<0，??−??<0，即??b，c>d，那么a+c>b+d．证明 因为a>b，所以a+c>b+c．又因为c>d，所以b+c>b+d．由不等式的性质l，得a+c>b+d．说明：性质4（即同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．性质5 （1）如果a>b>0，c>d>0，那么ac >bd ；（2）如果a>b>0，cb，c>0，所以ac>bc．又因为c>d,b>0,所以bc >bd．由不等式的性质1，得ac >bd．（2）因为?>?，?<0，所以??0，所以??b>0时，an>bn”，其中n∈N+，n⩾2．性质6 当a>b>0 时，na>nb ，其中n∈N+，n⩾2．证明 假设na⩽nb．当nab>0矛盾．当na=nb时,可得(na)n=(nb)n ，即a=b．与已知条件a>b>0矛盾．所以na⩽nb不成立，即na>nb．说明：性质5和性质6（即同向同正可乘性，可乘方性）．即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．三、应用举例例1 试比较(x+1)(x+5)与（x+3）2的大小．解 因为(x+1)x+5−(x+3)2 =x2+6x+5−x2+6x+5=−4<0，所以x+1x+5<（x+3）2．例2 试证明情境中的结论: 窗户面积地板面积<窗户面积+m地板面积+m . 分析 设窗户面积为?，地板面积为?，需证问题转化为：若00，则 ab0．又b>0，m>0，故mb−abb+m>0．因此abb，ab>0，求证：1a<1b；（2）已知a>b，cb−d．证明 （1）因为ab>0，所以1ab>0．又因为a>b，所以由不等式的性质3，得a·1ab> b·1ab．即1a<1b．（2）因为c−d．又因为a>b，所以由不等式的性质4，得a+(−c)>b+(−d)，即a−c>b−d．四、课堂练习1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若a>b，则ac2>bc2． （）（2）同向不等式相加与相乘的条件是一致的．（）（3）设a， b∈R，且a>b，则a3>b3．（）（4）若a+c>b+d，则a>b，c>d．（）2．设P=2aa−2+3，Q=a−1a−3，a∈R，判断P、Q的大小．3．下列命题中，正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2 B． 若a>b，c>d，则a−c>b−dC．若a>|b|，则a3>b3 D． 若a>b，则1a<1b参考答案：1．（1）×（2）×（3）√（4）×解析：（1）由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b；反之，c=0时，a>b⇏ ac2>bc2 ．（2）相乘需要看是否a>b>0c>d>0，而相加与正、负和零均无关系．（3）符合不等式的性质5推论．（4）取a=4，c=5，b=6，d=2，满足a+c>b+d，但不满足a>b．2．P⩾Q 解析：因为P−Q=2aa−2+3−a−1a−3=a2⩾0，所以P⩾Q．3．C解析：根据不等式的性质结合适当反例，注意判断即可．若a>b，则ac2>bc2，故A错误；若a=2，b=0，c=2，d=0，满足a>b，c>d但a−c=b−d，故B错误；若a>|b|，则a>b，则a3>b3，故C正确；若a>0>b，则1a>0>1b，故D错误．五、课堂小结1．两个实数大小的基本事实如果a−b是正数，那么a > b；如果a−b等于0，那么a= b；如果a−b是负数，那么ab，且b>c，那么a>c．性质2 如果a>b，那么a+c>b+c．性质3 （1）如果a>b，c>0，那么ac>bc； （2）如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d．性质5 （1）如果a>b>0，c>d>0，那么ac >bd ； （2）如果a>b>0，cb>0 时，na>nb ，其中n∈N+，n⩾2．六、布置作业教材第26页练习3、4、5、6题．