初中6.5 相似三角形的性质优秀课后练习题

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1.相似三角形周长的比等于相似比；
2.相似多边形周长的比等于相似比.
如图所示，若，则，
则.
例：若△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的周长的比为（ ）
A．2：1B．4：1C．1：2D．1：4
【解答】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的周长的比为2：1，
故选A．
知识点二、相似三角形面积比的性质
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
如图所示，若，则，分别作出与的高AD和，
则.
例：如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边CDEF的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】C
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵E是矩形ABCD中AD边的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴，
∴S△CBF＝4S△AEF＝8，
∴S△ABF＝ S△CBF＝4，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，
∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，
故选C．
知识点三、相似三角形对应线段比的性质
1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比.
例：如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若BD＝6，AD＝2，DE＝1.5，则BC的长为
（ ）
A．1B．2C．3D．4.5
【解答】C
【解析】∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，即，
∴BC＝3．
故选C．
巩固练习
一．选择题
1．在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（ ）
A．14B．13C．29D．310
【解答】C
【解析】如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，
∵AF∥CH，
∴△BNH∽△BAF，
∴BHBF=NHAF=12，
∴NH=12AF=32，
∴CN＝CH﹣NH=12，
∵DM∥AF，
∴DBBF=DGAF=34，
∴DG=94，
∵CH∥DM，
∴△CEN∽△DEG，
∴CEDE=CNDG=1294=29，
故选C．
2．如图，函数y=-1x（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（ ）
A．12B．6+38C．6+210D．6+211
【解答】D
【解析】如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD＝BD＝DO＝3，
∴BO＝6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB∥DE，
∴DOBO=DEAB=EOAO=12，
∴AB＝2DE，AO＝2EO，
∵S△DEO=12DE×EO=12，
∴S△ABO=12AB×AO＝2，
∵AB2+AO2＝OB2＝36，
∴（AB+AO）2＝36+8，
∴AB+AO＝211，
∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+211，
故选D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25
【解答】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF=12AD=12BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴AFBG=AEBE，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG=12BC，
∴AFCG=13
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴S△AFOS△CGO=（AFCG）2=19，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选B．
4．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（ ）
A．12B．13C．14D．16
【解答】A
【解析】如图，
∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE：BC＝1：2，
∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，
故选A．
5．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：5B．9：4C．9：25D．3：2
【解答】C
【解析】∵DE：EC＝3：2，
∴DE：DC＝3：5，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴DE：AB＝3：5，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEFS△BAF=（DEAB）2＝（35）2=925．
故选C．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（ ）
A．13B．14C．19D．116
【解答】D
【解析】∵AD＝1，DB＝3，
∴AB＝4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（ADAB）2=116，
故选D．
7．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（ ）cm．
A．16B．16或28C．36D．16或36
【解答】D
【解析】∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选D．
8．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边CDEF的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解答】C
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴S△ABC＝S△ADC，
∵E是矩形ABCD中AD边的中点，
∴BC＝AD＝2AE，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AFFC=AEBC=12，
∴S△AEFS△CBF=（12）2=14，
∴S△CBF＝4S△AEF＝8，
∴S△ABF=12S△CBF＝4，
∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，
∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，
故选C．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】B
【解析】∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOE，
∴OCOE=CDBE=2，
∵S△EOB＝1，
∴S△BOC＝2，S△DOC＝4，
∴S△BCD＝6，
∴S△DAB＝6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB﹣S△EOB＝6﹣1＝5，
故选B．
10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3=13S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】D
【解析】①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是BC的中点，
∴BE=12BC，
∵AD∥BE，
∴AGGE=ADBE=21=2，
即AG：GE＝2：1；
故①正确；
②∵AD∥BE，
∴BGDG=BEAD=12，
∴BG=13BD，
同理得：DH=13BD，
∴BG＝GH＝HD，
∴BG：GH：HD＝1：1：1；
故②正确；
③∵AD∥BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴S1S3+S4=14，
∵BG＝GH＝HD，
∴S5＝S3＝S4，
设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，
∴S＝12x，
同理可得：S2＝x，
∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x=13S；
故③正确；
④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，
∴S2：S4：S6＝1：2：4，
故④正确；
所以本题的4个结论都正确；
故选D．
11．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（ ）
A．23B．852C．3152D．732+1
【解答】B
【解析】如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴AEGH=ABGN，
∵Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=42+12=17，
∴17GH=42，
∴GH=172，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE=17，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM=HG2+GM2=(172)2+(17)2=852，
∴EH+AG的最小值为852，
故选B．
12．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤
【解答】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵在△APE和△AME中，
∠PAE=∠MAEAE=AE∠AEP=∠AEM，
∴△APE≌△AME（SAS），故①正确；
∴PE＝EM=12PM，
同理，FP＝FN=12NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM=12PM，FP＝FN=12NP，OA=12AC，
∴PM+PN＝AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接OM，ON，
∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，
∴OM＝OP，ON＝OP，
∴OM＝OP＝ON，
∴点O是△PMN的外接圆的圆心，
∵∠MPN＝90°，
∴MN是直径，
∴M，O，N共线，故⑤正确．
故选B．
二．填空题
13．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则ABAD的值为 ．
【解答】2．
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴S△ABCS△ADE=2，
∴ABAD=2，
故答案为2．
14．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则OM的最小值为 ．
【解答】5．
【解析】过A点作AD⊥y轴于D，过C点作CE⊥AD于E，如图，
∵A（2，4），
∴AD＝2，CE＝OD＝4，
设OB＝t，则BD＝2﹣t，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
而∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴Rt△ABD∽Rt△CAE，
∴BDAE=ADCE，即4-tAE=24，
∴AE＝8﹣2t，
∴DE＝2+8﹣2t＝10﹣2t，
∴OC＝10﹣2t，
在Rt△OBC中，BC2＝t2+（10﹣2t）2＝5t2﹣40t+100＝5（t﹣4）2+20，
当t＝4时，BC2最大，BC的最大值为20，即25，
∵M为BC的中点，
∴OM=12BC，
∴OM的最大值为5．
故答案为5．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心、大于12BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB，BC于点E，F，则线段EF的长为 ．
【解答】34．
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴由勾股定理得，AB=32+42=5，
由题可得，AD＝AC＝3，
∴BD＝5﹣3＝2，
由题可得，MN垂直平分BD，
∴BE＝1，∠BEF＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBE，
∴EFCA=BEBC，即EF3=14，
解得EF=34，
故答案为34．
16．如图所示，在矩形ABCD中，E在直线AB上，AB＝2AE，射线DE与直线AC交于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为 ．
【解答】103或10．
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，CD∥AB，∠B＝90°，
∵AB＝2AE，
∴AE＝2，
在Rt△ABC中，AC=BC2+AB2=32+42=5，
当E点在AB上，如图1，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCF=AECD=24=12，
∴CF=23AC=23×5=103；
当E点在BA的延长线上时，如图2，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AFCF=AECD=24=12，
∴CF＝2AC＝2×5＝10，
综上所述，CF的长为103或10．
故答案为103或10．
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
【解答】3．
【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝2，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，
∴AC=3，
故答案为3．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为 ．
【解答】455．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝2，BO＝1，AC⊥BD，
∴AB=AO2+BO2=1+4=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝AB×CE，
∴4=5×CE，
∴CE=455，
∵∠OFC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠OCF，
∴△OCF∽△ACE，
∴OCAC=CFCE=12，
∴CE＝2CF，
∴CF＝EF=255，
∴OF=OC2-CF2=4-45=455，
故答案为455．
19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EF=23EH，那么EH的长为 ．
【解答】3．
【解析】∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴EHBC=AD-EFAD，
∴EH6=4-23EH4，
∴EH＝3，
故答案为3．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，
PC＝8，则QC的长是 ．
【解答】83．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABPC=BPCQ，
∴128=4QC，
∴QC=83，
故答案为83．
21．在边长为43的正方形ABCD中，点E，F是AD上两点，且AE＝DF，∠BCE＝60°，CE交对角线BD于G，交BF于点P，连接AP．则四边形ABGP的面积为 ．
【解答】243-24
【解析】如图，过点P作PH⊥A 于H，过点G作GM⊥CD于M，过点B作BN⊥EC于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝43，∠BAF＝∠CDE＝90°，
∵AE＝DF，
∴AF＝DE，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PB＝BC＝PC＝43，
∵GM⊥CD，∠GDM＝45°，
∴DM＝GM，设DM＝GM＝x，
在Rt△GCM中，∵∠GCM＝30°，
∴CM=3GM=3x，CG＝2GM＝2x，
∴x+3x＝43，
∴x＝6﹣23，
∴CG＝12﹣43，PG＝PC＝CG＝43-（12﹣43）＝83-12，
在Rt△BCN中，BN＝BC•sin60°＝43×32=6，
在Rt△PBH中，PH＝PB•sin30°＝23
∴S四边形ABGP＝S△ABP+S△PBG=12•AB•PH+12•PG•BN=12×43×23+12×（83-12）×6＝243-24．
方法二：连接AG交BP于O，证明AG⊥BP．根据四边形的面积=12•BP•AG计算即可．
由△BGC≌△BGA，推出∠BAG＝∠BCG＝60°，可得∠AOB＝90°．
故答案为243-24．
22．△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连结PM，PN，则下列结论：①PM＝PN②AMAB=ANAC③△PMN为等边三角形 ④若BN=2CP，则∠ACB＝75°．则正确结论是 ．
【解答】①②③④
【解析】①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=12BC，PN=12BC，
∴PM＝PN，故①正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ANAM=ACAB，
∴AMAB=ANAC，故②正确；
③∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM＝∠ACN＝30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM＝PN＝PB＝PC，
∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°，
∴∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，故③正确；
∵BN=2CP，BP＝CP（P为BC的中点），
∴BN=2BP，
∵∠BPN＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝75°，故④正确；
故答案为①②③④．
三．解答题
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ADF∽△EAB；
（2）若DF＝6，直接写出线段EF的长．
【解答】（1）见解析；（2）3．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝10，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA，
∴△ADF∽△EAB；
（2）在Rt△ADF中，AF=AD2-DF2=102-62=8，
∵△ADF∽△EAB，
∴AFBE=DFAB，即8BE=63，解得BE＝4，
在Rt△ABE中，∵AB＝3，BE＝4，
∴AE=32+42=5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
24．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD．
（2）若DE＝6，BC＝16，直接写出△FCD的面积．
【解答】（1）见解析；（2）18．
【解析】证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵D是BC的中点，ED⊥BC，
∴BE＝EC，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵BC＝16，D是BC的中点，
∴CD＝BD＝8，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴DH＝CH＝4，
∴BH＝12，
∵DE∥AH，
∴DEAH=BDBH，
∴6AH=812，
∴AH＝9，
∵△ABC∽△FCD
∴S△FCDS△ABC=（CDBC）2，
∴S△FCD=14×S△ABC＝18．
25．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
【解答】（1）见解析；（2）6．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE=12BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE=CE2+DC2=22+42=25，
∵△ECD∽△DEF，
∴CEDE=DEDF，
∴225=25DF，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
26．如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AEAF=ABAC．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：EGBD=FGCD．
【解答】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：在△AEF和△ABC中，
∠EAF=∠BACAEAF=ABAC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴EGBD=AGAD，FGCD=AGAD，
∴EGBD=FGCD．
27．请阅读下列材料，并完成相应任务
塞瓦定理
塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．如图，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F于，则BDDC×CEEA×AFBF=1．
任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；
（2）若△ABC为等边三角形，AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF的长．
【解答】（1）见解析；（2）BF＝8．
【解析】（1）证明：
∵D，E分别为边BC，AC的中点，
∴BD＝CD，EA＝CE，
∴BDCD=1，CEEA=1，
由塞瓦定理，得BDDC×CEEA×AFBF=1，
∴AFBF=1，
∴AF＝BF，
∴点F为AB的中点；
（2）∵△ABC为等边三角形，AB＝12，
∴AB＝AC＝BC＝12，
∵AE＝4，
∴EC＝12﹣4＝8，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∵AB＝12，
∴AF＝AB﹣BF＝12﹣BF，
由赛瓦定理，得BDDC×CEEA×AFFB=1，
∴66×84×12-BFBF=1，
∴BF＝8．
28．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
【解答】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A＝∠HDC，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）∵DH∥AB，
∴CDAC=CHBC，
∵AC＝3CD，
∴13=CH3，
∴CH＝1，
∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴DHBH=CHDH，
∴DH2＝4×1＝4，
∴DH＝2（负值舍去）．
答：DH的长度为2．
29．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE=5，CD＝1，求DF的长．
【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
【解析】（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴ADAE=ABAC，
∴ADAB=AEAC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC=5，∠BEC＝90°，
∴BC=2BE=10，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD=BC2-CD2=10-1=3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴BFCF=EFDF，
∴BFEF=CFDF，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF=12．
30．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF＝AE，连接AF，交BM于G，连接CG．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求AGBG的值；
（3）求证：BG⊥CG．
【解答】（1）60°；（2）12；（3）见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACF＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝∠CAF+∠BAG＝∠BAC＝60°．
（2）∵∠BAG+∠ABG＝∠ABG+∠CBM＝60°，
∴∠BAG＝∠CBM，
∵AD∥CB，
∴∠AMB＝∠CBM，
∴∠BAG＝∠BMA，
∵∠ABG＝∠ABM，
∴△BAG∽△BMA，
∴BGAB=AGAM，
∴AGBG=AMAB，
∵AM＝MD=12AD=12AB，
∴AGBG=12．
（3）设AM＝DM＝x，连接CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴CM⊥AD，
∴CM=3AM=3x，
∵AD∥CB，
∴CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∵AD＝BC＝2x，
∴BM=BC2+CM2=7x，
∵△BAG∽△BMA，
∴ABBG=BMAB，
∴2xBG=7x2x，
∴BG=477x，
∴BGCB=BCBM=277，
∵∠CBG＝∠CBM，
∴△CBG∽△MBC，
∴∠BGC＝∠BCM＝90°，
∴BG⊥CG．
31．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD﹣2DE=2BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，连接BN交AD于点F．若DE=2，且AB：ND＝1：2时，求线段BN的长．
【解答】（1）见解析；（2）BN=210．
【解析】（1）如图1，过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE＝∠MFE，
∴FM＝BM，
∵BM＝DN，
∴FM＝DN，
在△EFM和△EDN中，
∠NDE=∠MFE∠NED=∠MEFDN=FM，
∴△EFM≌△EDN（AAS），
∴EF＝ED，
∴BD﹣2DE＝BF，
根据勾股定理得：BF=2BM，
即BD﹣2DE=2BM；
（2）过点M作MF⊥BC交BD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴HM∥CD，
∴∠NDE＝∠MHE，
∴HM＝BM，
∵BM＝DN，
∴HM＝DN，
∵∠NED＝∠MEH，
∴△EHM≌△EDN（AAS），
∴EH＝ED，
∴BD+2DE＝BH，
根据勾股定理得：BH=2BM，
即BD+2DE=2BM，
∴BD=2BC，
∵DE=2，
∴CM＝2，
∵AB：ND＝1：2，
∴CD：ND＝1：2，
即CD：（CD+2）＝1：2，
解得CD＝2，
∴ND＝4，
∴CN＝CD+ND＝6，
∴BN=BC2+CN2=22+62=210．