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初中数学苏科版七年级下册第10章 二元一次方程组10.4 三元一次方程组导学案
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这是一份初中数学苏科版七年级下册第10章 二元一次方程组10.4 三元一次方程组导学案，文件包含苏科版七年级数学下册同步精品讲义104三元一次方程组教师版docx、苏科版七年级数学下册同步精品讲义104三元一次方程组学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 三元一次方程组的概念
1.三元一次方程：含有3个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作三元一次方程。
2.三元一次方程组：总共含有3个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，一般有3个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。例如：是一个三元一次方程组。
3.三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的3个未知数的值，叫作三元一次方程的解，和二元一次方程一样也有无数个解。
4.三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的3个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解。（注意：三元一次方程组的解是3个数，将这3个数代入每个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解）
【即学即练1】在等式中，当时，；当时，；当时，．求，，的值．
【答案】，，的值分别为3，，．
【分析】把，，看作三个未知数，分别把已知的，值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
【解析】解：根据题意，得三元一次方程组．
，得；④
，得．⑤
④与⑤组成二元一次方程组．
解这个方程组，得．
把代入①，得．
因此，
即，，的值分别为3，，．
知识点02 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
1.思路：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。
2.步骤：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的3个未知数的值用“{”联立写在一起。
【即学即练2】解方程组：
【答案】
【解析】解：，
由①＋③，②＋2×③消去z得
解得
代入①得：z＝3.
即原方程组的解为
能力拓展
考法01 三元一次方程组的概念
【典例1】解下列三元一次方程组：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z二元一次方程组求解；
（2）①−3×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解．
【解析】解：（1），
把①代入②得11x＋2z＝23④，
③、④组成方程组得，
解得，代入①得y＝−3，
所以原方程组的解为；
（4）
①−3×②得4x＋6z＝9④，
④、③组成方程组得，
解得，代入①得y＝，
所以原方程组的解为．
考法02 三元一次方程组的解法
【典例2】在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
【答案】（1）1；|a+2|；（2）5或-1；（3）4；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答．
【解析】解：（1）根据题意，得：|3-2|=1，|a-（-2）|=|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；
（3）∵d＞a，d＞b，c＞a
∴= d-a，= d-b ，= c-a
可知：，
①-③，得：d-c=3④，
④-②，得：b-c=-4，
∴|b-c|=4，
故答案为：4．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【解析】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故选：A．
2．已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1，
①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．
【解析】解：∵3x−y−2z＝1，
∴−y−z＝1＋z−3x，
8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，
，
①＋②得：
5x＋z＝6，
即8x−y−z＝6＋1＝7，
故选B．
3．在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买支，若钢笔每支元，相册每本元，笔记本每本元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】根据题意设未知数，列出方程，然后分类讨论即可．
【解析】解：设购买钢笔x支，相册y本，笔记本z本，
根据题意得20x+10y+5z=100，
化简，得4x+2y+z=20，
∵钢笔最多买2支，
∴x可以取1、2，
当x=1时，4+2y+z=20，
即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7种；
当x=2时，8+2y+z=20，
即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5种；
∴一共有买法7+5=12(种)，
故选：D．
4．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解析】解： A选项：4个未知数，错误；B选项：2个未知数，错误；C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确；D选项，方程的次数为2，错误；故选：C．
5．如果方程组的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．
【解析】解：根据题意得，
把③代入①得：3y+7y＝10，解得y=1
把y=1代入③得x=1
解得：y＝1，x＝1，
代入②得：a+（a﹣1）＝5，
解得：a＝3．
故选：C．
6．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可．
【解析】三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得：
A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义.
故选：D.
7．下列方程中属于三元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且最高项的次数是1的整式方程，由此进行判断．
【解析】A选项：只有2个未知数，故不是三元一次方程；
B选项：最高项的次数为2，故不是三元一次方程；
C选项：，是三元一次方程；
D选项：化简后2有2个未知数，故不是三元一次方程；
故选：C.
8．若方程组的解x和y相等，则a的值是（ ）
A．11B．10C．12D．4
【答案】A
【分析】理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出a的数值即可.
【解析】解：根据题意可得： ，
把③代入①得，④，
把④代入②得，，解得a=11.
故本题答案为：A.
9．三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．
【答案】 三个 次数 1
【分析】由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可.
【解析】解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
故答案为：三个，次数，1.
10．已知三元一次方程组，则________．
【答案】6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【解析】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
11．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱______元．
【答案】55
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相加即可得出结论.
【解析】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．
根据题意得：
，
解的 ，
∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110，
∴x+y+z=55，
故答案为55.
12．已知从方程组中求出______.
【答案】2:5
【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值．
【解析】解：，
①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5，
故答案为2:5.
13．解方程组
（1）;（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】第一次方程我们采用加减消元法，用②式减①式就得到到关于x的一元一次方程，即可求解，第二个方程，我们采用加减消元法，用①式加②式，消z得到关于x与y的方程，用②式减③式得到第二个关于x与y的方程，即得到一个二元一次方程组
【解析】方程组
②-①得2x=10，即x=5，
将x=5代入①式，得5+y=7，即y=2，
所以方程组得解
方程组
①+②得5x+y=26，④
②-③得2x-4y=-16，⑤
④，⑤联立，得
利用代入消元法解得x=4，y=6，
将x与y代入①式得8+18-z=18，所以z=8，
所以方程组得解为
14．
【答案】.
【解析】试题分析：①+②，② +③后消去y，化为二元一次方程组求解即可.
试题解析：，
①+②，得④，
②+③，得，即⑤，
④-⑤，得；
把代入④，得；
把，代入①，得.
∴原方程组的解为.
题组B 能力提升练
1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
【答案】B
【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值．
【解析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，
根据题意得：，
②–①可得：．
故选：B．
2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文．例如，明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设解密得到的明文为a，b，c，d，根据加密规则求出a，b，c，d的值即可．
【解析】解：设明文为a，b，c，d，
根据密文14，9，23，28，得到a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，
解得：a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，
则得到的明文为6，4，1，7．
故选：B．
3．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去zB．由②③消去yC．由①②消去zD．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【解析】解：由②3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为，
故选：B．
4．如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（ ）
A．15个B．14个C．13个D．12个
【答案】A
【分析】设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据题意列出方程组即可求得结果．
【解析】解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，
一个小圆柱的的重量为z，
则根据题意得：，
整理得：，
∴，
即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，
故选：A．
5．运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解B．先消去z，再解
C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解
【答案】C
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y．
【解析】解：，
②×3＋③，得11x＋7z＝29④，
④与①组成二元一次方程组
．
故选：C．
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件，共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱（ ）
A．128元B．130元C．150 元D．160元
【答案】C
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据等量关系列出方程求解即可.
【解析】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元
根据题意得：
①+②得：4x+4y+4z＝600，
∴x+y+z＝150，
故选C．
7．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A．580元B．500元C．420元D．200元
【答案】D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据“当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，”列出方程组，即可求解．
【解析】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元．
故选：D
8．解方程组，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去zB．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去yD．由①，②消去z，再由①，③消去y
【答案】D
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】解：解方程组，
以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
9．代数式，当时值为0；当时值为3；当时值为28，则这个代数式是__________．
【答案】．
【分析】将x=1，2，-3时代入代数式建立三元一次方程组求出a、b、c的值就可以得出结论．
【解析】解：由题意，得，
解得，
∴这个代数式为：2x2-3x+1．
故答案为：2x2-3x+1．
10．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，则______．
【答案】31
【分析】将x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，再代入求解即可．
【解析】解：根据题意得：
，
解得：a=6，b=-11，c=3．
∴a-2b+c=31．
故答案为：31．
11．把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【解析】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
12．三元一次方程组的解是_______．
【答案】
【分析】（1）−（2）得x−z＝6（4），（3）＋（4）得2x＝4，解得x＝2，将x＝2代入（1）（3）求出y＝3，z＝-4．
【解析】解：
（1）−（2）得x−z＝6（4），
（3）＋（4）得2x＝4，
解得x＝2，
把x＝2代入（1）得，2＋y＝5，
解得y＝3，
把x＝2代入（3）得，2＋z＝-2，
解得z＝-4，
方程组的解为．
故答案为：．
13．解方程组．
【答案】
【分析】先将比例式子转换为二元一次方程，再用加减消元法分别求出未知数的值．
【解析】解： 原方程组可转化为，
③×2-①，得：
④
用②×2+④×5，得：
，
解得：，
将代入①，得到：，
再将，代入③，得：，
∴方程组的解为：．
14．解方程组：
【答案】
【分析】通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后转化为一元一次方程求解即可．
【解析】①+②得：2x+3y=18，④
②+③得：4x+y=16，⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组：
解得：
把x=3，y=4代入①得：3+4+z=12，
解得：z=5，
所以原方程组的解为：
15．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的．求这三个数．
【答案】这三个数为10，15，10
【分析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组求出其解即可．
【解析】设甲、乙、丙三个数分别为，，．根据题意，
得，解得．
16．三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数．
【答案】这三个数为33，14，4
【分析】设三个数分别为x，y，z，根据题意列三元一次方程组求解即可．
【解析】解：设三个数分别为x，y，z，
依题意得：，
解得，
答：这三个数为33，14，4．
题组C 培优拔尖练
1．若且，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
【解析】：解：∵，
∴，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3−k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3−k＝0，
即k＝3．
故选：C．
2．已知整数，满足，且，那么的值等于（ ）
A．2B．14C．2或14D．14或17
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x-y|式子的范围，把已知化简，从而确定x，y，z的值即可求解．
【解析】解：∵x≤y＜z，
∴|x-y|=y-x，|y-z|=z-y，|z-x|=z-x，
因而第二个方程可以化简为：
2z-2x=2，即z=x+1，
∵x，y，z是整数，
根据非负性可知，必有一加数为0，
∵x≤y＜z，
∴只可能是，即，
将，z=x+1，代入，化简可得：
，显然x只可能是，
根据x，y，z是整数讨论可得：x=y=-1，z=0，
∴x2+y2+z2=（-1）2+（-1）2+0=2．
故选：A．
3．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种B．14种C．15种D．16种
【答案】B
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，据题意列三元一次方程，找出这三元一次方程的正整数解的个数就是购买方案的种类数．
【解析】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得，
得，
由于x、y、z只取正整数，所以需使被2整除且为正数，且，
当，，，8种，
当，，，6种，
∴的正整数解有14组．，
所以购买方案共有14种．
故选：B．
4．已知 xyz≠0，且，则 x：y：z 等于（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．4：5：3D．3：4：5
【答案】B
【分析】由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．
【解析】∵，
∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，
故选B．
5．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87B．84C．81D．78
【答案】A
【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据题意一一验证即可．
【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令=t, (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;
B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故选A．
6．一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．容易题和中档题共60道B．难题比容易题多20道
C．难题比中档题多10道D．中档题比容易题多15道
【答案】B
【分析】设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．
【解析】解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，
依题意，得：
①×2-②，得：c-a=20，
∴难题比容易题多20题．
故选：B．
7．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】对各选项进行分析后即可判断．
【解析】A选项：得，得，故正确；B选项：得，得，故错误；C选项：得，得，故错误；D选项：得，得，故错误.故选：A.
8．在明代的《算法统宗》中记载了利用方格进行两数相乘的一种方法，叫做“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397，图2用“铺地锦”法表示两个两位数相乘，则a的值为（ ）
A．7B．5C．3D．2
【答案】A
【分析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．
【解析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，
由题意可知，方格里的数字，如图所示，
∴，解得：，
∴a的值为：7．故选A．
9．幻方，又称为九宫格，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．如图1，它是在的9个格子中填入9个数，使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．在如图2所示幻方中，只填了5个用字母表示的数，根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，则右上角“x”所表示的数应等于_______．
【答案】3
【分析】根据题意先求出对角线上数字的和，然后再构建一元一次方程进行求解；
【解析】解：设x左边的两个数为y和z，
根据题意得：n-a+z=n+m+x①，a+6+m+y=n+m+x②，x+y+z=n+m+x③，
①+②得：n+6+m+（y+z）=2m+2n+2x；
由③得：y+z=n+m
解得：x=3
故答案为：3
10．若实数满足，则___________．
【答案】
【分析】把原式化为可得再利用非负数的性质求解从而可得答案.
【解析】解： ，
而
解得：
故答案为：
11．已知x，y，z满足方程组，则____．
【答案】1：2：3
【分析】把看做是常数，可得，再分别求解的值，从而可得答案.
【解析】解：整理得：
①②得：
把代入①得：
故答案为：
12．附中文化源远流长，潜移默化．学校通过推出的“你的名字，我的记忆”校园文创产品的设计活动，给学子们提供了施展自己才华的平台，经过选拔评比，学校拟推出A、B、C三款校园文创产品，并以零售和礼盒两种形式销售（各产品的零售单价均为正整数，礼盒售价为各产品零售价之和）．其中甲礼盒含有3件A产品，2件B产品，2件C产品，乙礼盒含有4件A产品，1件B产品，1件C产品，丙礼盒含有2件A产品，4件B产品，1件C产品．甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，并且A产品的单价不超过10元．则A产品与B产品的单价之比为______．
【答案】2：3
【分析】先设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c；利用甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，列出三元一次方程组，化简得到a关于c的关系式，然后利用A产品的单价不超过10元，各产品的零售单价均为正整数，得到c，a的值，进而利用﹣a+b+c＝11求得b的值，则结论可求．
【解析】解：设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，
则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，
乙礼盒的售价为：4a+b+c，
丙礼盒的售价为：2a+4b+c．
∵甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，
∴．
化简得：，
∴a＝c+2．
∵a≤10，a，b，c均为正整数，
∴c＝7，a＝8符合题意．
∴b＝11+a﹣c＝12．
∴A产品与B产品的单价之比为8：12＝2：3．
故答案为：2：3．
13．对于一个三位正整数，若其各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这样的三位数为“相异数”．将“相异数”n任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为F（n），例如F（123）＝12+13+23+21+31+32＝132．把F（n）与11的商记为D（n），例如D（n）＝＝＝12．
（1）最大的“相异数”与最小的“相异数”的差为 ；
（2）若“相异数”n＝100a+10b+c（其中a、b、c都是正整数，1≤a＜b＜c≤9），若“相异数”n满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，且D（n）能被7整除，请求出所有满足条件的“相异数”n．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据相异数的定义可得最大与最小的相异数，从而可得答案；
（2）根据题意可得： 再得到结合而能被整除，可得或或 结合方程的正整数解可得答案.
【解析】解：（1）由题意得：最大的相异数为：
最小的相异数为：
最大的相异数与最小的相异数的差为：
故答案为：
（2） “相异数”n满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，
“相异数”n＝100a+10b+c（其中a、b、c都是正整数，1≤a＜b＜c≤9），
能被整除，
能被整除，
或或
都是正整数，1≤a＜b＜c≤9，
或或且
当时，不存在符合条件的
当时，则
当时，不存在符合条件的
综上：满足条件的相异数为：
14．【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足①，和②．求代数式的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得工．y的值后，再代入求值．
思路2：为降低运算量，由①＋②×2，可直接得出．这样的解题思路即为整体思想．
【问题解决】
（1）已知方程组，则__________；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？
【答案】（1）4；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【分析】（1）由①-②，直接求得，
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出三元一次方程组，运用整体思想，将①×2②即可求得．
【解析】解：（1）
①-②得：，
故答案为：4
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
15．阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x､y､z，满足，求z的值．
【答案】（1）；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【解析】解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
16．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
【答案】（1）-1；1；（2）30元；（3）-11
【分析】（1）①+②，可得出的值，①-②，得的值；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元”列出方程组，再根据方程组的特征求出，进一步可求出；
（3）根据新定义，将数值代入新定义里，列方程组求解即可得出答案．
【解析】（1）解：
①+②，得
；
①-②，得；
故答案为：-1，1；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据题意，得：
①×②－②得
∴（元）
答：5本日记本共需30元．
（3）
①②得
∴．
课程标准
课标解读
掌握代入消元法和加减消元法，能解一次方程组
1.了解三元一次方程组的概念；
2.会用代入消元法或加减消元法解三元一次方程组。
目标导航
知识精讲
知识点01 三元一次方程组的概念
1.三元一次方程：含有3个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作三元一次方程。
2.三元一次方程组：总共含有3个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，一般有3个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组。例如：是一个三元一次方程组。
3.三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的3个未知数的值，叫作三元一次方程的解，和二元一次方程一样也有无数个解。
4.三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的3个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解。（注意：三元一次方程组的解是3个数，将这3个数代入每个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解）
【即学即练1】在等式中，当时，；当时，；当时，．求，，的值．
【答案】，，的值分别为3，，．
【分析】把，，看作三个未知数，分别把已知的，值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
【解析】解：根据题意，得三元一次方程组．
，得；④
，得．⑤
④与⑤组成二元一次方程组．
解这个方程组，得．
把代入①，得．
因此，
即，，的值分别为3，，．
知识点02 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
1.思路：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。
2.步骤：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的3个未知数的值用“{”联立写在一起。
【即学即练2】解方程组：
【答案】
【解析】解：，
由①＋③，②＋2×③消去z得
解得
代入①得：z＝3.
即原方程组的解为
能力拓展
考法01 三元一次方程组的概念
【典例1】解下列三元一次方程组：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z二元一次方程组求解；
（2）①−3×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解．
【解析】解：（1），
把①代入②得11x＋2z＝23④，
③、④组成方程组得，
解得，代入①得y＝−3，
所以原方程组的解为；
（4）
①−3×②得4x＋6z＝9④，
④、③组成方程组得，
解得，代入①得y＝，
所以原方程组的解为．
考法02 三元一次方程组的解法
【典例2】在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
【答案】（1）1；|a+2|；（2）5或-1；（3）4；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答．
【解析】解：（1）根据题意，得：|3-2|=1，|a-（-2）|=|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；
（3）∵d＞a，d＞b，c＞a
∴= d-a，= d-b ，= c-a
可知：，
①-③，得：d-c=3④，
④-②，得：b-c=-4，
∴|b-c|=4，
故答案为：4．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知方程组，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【解析】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故选：A．
2．已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1，
①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．
【解析】解：∵3x−y−2z＝1，
∴−y−z＝1＋z−3x，
8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，
，
①＋②得：
5x＋z＝6，
即8x−y−z＝6＋1＝7，
故选B．
3．在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买支，若钢笔每支元，相册每本元，笔记本每本元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】根据题意设未知数，列出方程，然后分类讨论即可．
【解析】解：设购买钢笔x支，相册y本，笔记本z本，
根据题意得20x+10y+5z=100，
化简，得4x+2y+z=20，
∵钢笔最多买2支，
∴x可以取1、2，
当x=1时，4+2y+z=20，
即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7种；
当x=2时，8+2y+z=20，
即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5种；
∴一共有买法7+5=12(种)，
故选：D．
4．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解析】解： A选项：4个未知数，错误；B选项：2个未知数，错误；C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确；D选项，方程的次数为2，错误；故选：C．
5．如果方程组的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出a的数值．
【解析】解：根据题意得，
把③代入①得：3y+7y＝10，解得y=1
把y=1代入③得x=1
解得：y＝1，x＝1，
代入②得：a+（a﹣1）＝5，
解得：a＝3．
故选：C．
6．下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即可．
【解析】三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.由定义可得：
A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程组的定义.
故选：D.
7．下列方程中属于三元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且最高项的次数是1的整式方程，由此进行判断．
【解析】A选项：只有2个未知数，故不是三元一次方程；
B选项：最高项的次数为2，故不是三元一次方程；
C选项：，是三元一次方程；
D选项：化简后2有2个未知数，故不是三元一次方程；
故选：C.
8．若方程组的解x和y相等，则a的值是（ ）
A．11B．10C．12D．4
【答案】A
【分析】理解清楚题意，构造三元一次方程组，解出a的数值即可.
【解析】解：根据题意可得： ，
把③代入①得，④，
把④代入②得，，解得a=11.
故本题答案为：A.
9．三元一次方程：含有___未知数，并且含有未知数的项的___都是____，这样的方程叫做三元一次方程．
【答案】 三个 次数 1
【分析】由题意直接利用三元一次方程的定义进行填空即可.
【解析】解：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
故答案为：三个，次数，1.
10．已知三元一次方程组，则________．
【答案】6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【解析】解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
11．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱______元．
【答案】55
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相加即可得出结论.
【解析】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．
根据题意得：
，
解的 ，
∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110，
∴x+y+z=55，
故答案为55.
12．已知从方程组中求出______.
【答案】2:5
【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值．
【解析】解：，
①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5，
故答案为2:5.
13．解方程组
（1）;（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】第一次方程我们采用加减消元法，用②式减①式就得到到关于x的一元一次方程，即可求解，第二个方程，我们采用加减消元法，用①式加②式，消z得到关于x与y的方程，用②式减③式得到第二个关于x与y的方程，即得到一个二元一次方程组
【解析】方程组
②-①得2x=10，即x=5，
将x=5代入①式，得5+y=7，即y=2，
所以方程组得解
方程组
①+②得5x+y=26，④
②-③得2x-4y=-16，⑤
④，⑤联立，得
利用代入消元法解得x=4，y=6，
将x与y代入①式得8+18-z=18，所以z=8，
所以方程组得解为
14．
【答案】.
【解析】试题分析：①+②，② +③后消去y，化为二元一次方程组求解即可.
试题解析：，
①+②，得④，
②+③，得，即⑤，
④-⑤，得；
把代入④，得；
把，代入①，得.
∴原方程组的解为.
题组B 能力提升练
1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）
A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
【答案】B
【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值．
【解析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，
根据题意得：，
②–①可得：．
故选：B．
2．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文．例如，明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设解密得到的明文为a，b，c，d，根据加密规则求出a，b，c，d的值即可．
【解析】解：设明文为a，b，c，d，
根据密文14，9，23，28，得到a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，
解得：a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，
则得到的明文为6，4，1，7．
故选：B．
3．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去zB．由②③消去yC．由①②消去zD．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【解析】解：由②3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为，
故选：B．
4．如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（ ）
A．15个B．14个C．13个D．12个
【答案】A
【分析】设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据题意列出方程组即可求得结果．
【解析】解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，
一个小圆柱的的重量为z，
则根据题意得：，
整理得：，
∴，
即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，
故选：A．
5．运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解B．先消去z，再解
C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解
【答案】C
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联立，首先消去y．
【解析】解：，
②×3＋③，得11x＋7z＝29④，
④与①组成二元一次方程组
．
故选：C．
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需315元钱，购买甲1件、乙2件、丙3件，共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少钱（ ）
A．128元B．130元C．150 元D．160元
【答案】C
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，然后根据等量关系列出方程求解即可.
【解析】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元
根据题意得：
①+②得：4x+4y+4z＝600，
∴x+y+z＝150，
故选C．
7．6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆．2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A．580元B．500元C．420元D．200元
【答案】D
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，根据“当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，”列出方程组，即可求解．
【解析】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，则购买甲、乙、丙各一件时应该付款（x+y+z）元，
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得：x+y+z=200；
即购买甲、乙、丙各一件时应该付款200元．
故选：D
8．解方程组，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去zB．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去yD．由①，②消去z，再由①，③消去y
【答案】D
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】解：解方程组，
以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
9．代数式，当时值为0；当时值为3；当时值为28，则这个代数式是__________．
【答案】．
【分析】将x=1，2，-3时代入代数式建立三元一次方程组求出a、b、c的值就可以得出结论．
【解析】解：由题意，得，
解得，
∴这个代数式为：2x2-3x+1．
故答案为：2x2-3x+1．
10．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，则______．
【答案】31
【分析】将x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，再代入求解即可．
【解析】解：根据题意得：
，
解得：a=6，b=-11，c=3．
∴a-2b+c=31．
故答案为：31．
11．把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．
【答案】
【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．
【解析】解：，
①②得：，
②③得：，
方程组为：，
故答案为：．
12．三元一次方程组的解是_______．
【答案】
【分析】（1）−（2）得x−z＝6（4），（3）＋（4）得2x＝4，解得x＝2，将x＝2代入（1）（3）求出y＝3，z＝-4．
【解析】解：
（1）−（2）得x−z＝6（4），
（3）＋（4）得2x＝4，
解得x＝2，
把x＝2代入（1）得，2＋y＝5，
解得y＝3，
把x＝2代入（3）得，2＋z＝-2，
解得z＝-4，
方程组的解为．
故答案为：．
13．解方程组．
【答案】
【分析】先将比例式子转换为二元一次方程，再用加减消元法分别求出未知数的值．
【解析】解： 原方程组可转化为，
③×2-①，得：
④
用②×2+④×5，得：
，
解得：，
将代入①，得到：，
再将，代入③，得：，
∴方程组的解为：．
14．解方程组：
【答案】
【分析】通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后转化为一元一次方程求解即可．
【解析】①+②得：2x+3y=18，④
②+③得：4x+y=16，⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组：
解得：
把x=3，y=4代入①得：3+4+z=12，
解得：z=5，
所以原方程组的解为：
15．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的．求这三个数．
【答案】这三个数为10，15，10
【分析】设甲数为x，乙数为y，丙数为z，根据甲、乙、丙三数的数量关系建立方程组求出其解即可．
【解析】设甲、乙、丙三个数分别为，，．根据题意，
得，解得．
16．三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数．
【答案】这三个数为33，14，4
【分析】设三个数分别为x，y，z，根据题意列三元一次方程组求解即可．
【解析】解：设三个数分别为x，y，z，
依题意得：，
解得，
答：这三个数为33，14，4．
题组C 培优拔尖练
1．若且，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
【解析】：解：∵，
∴，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3−k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3−k＝0，
即k＝3．
故选：C．
2．已知整数，满足，且，那么的值等于（ ）
A．2B．14C．2或14D．14或17
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x-y|式子的范围，把已知化简，从而确定x，y，z的值即可求解．
【解析】解：∵x≤y＜z，
∴|x-y|=y-x，|y-z|=z-y，|z-x|=z-x，
因而第二个方程可以化简为：
2z-2x=2，即z=x+1，
∵x，y，z是整数，
根据非负性可知，必有一加数为0，
∵x≤y＜z，
∴只可能是，即，
将，z=x+1，代入，化简可得：
，显然x只可能是，
根据x，y，z是整数讨论可得：x=y=-1，z=0，
∴x2+y2+z2=（-1）2+（-1）2+0=2．
故选：A．
3．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种B．14种C．15种D．16种
【答案】B
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，据题意列三元一次方程，找出这三元一次方程的正整数解的个数就是购买方案的种类数．
【解析】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得，
得，
由于x、y、z只取正整数，所以需使被2整除且为正数，且，
当，，，8种，
当，，，6种，
∴的正整数解有14组．，
所以购买方案共有14种．
故选：B．
4．已知 xyz≠0，且，则 x：y：z 等于（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．4：5：3D．3：4：5
【答案】B
【分析】由，①×3+②×2，得出x与y的关系式，①×4+②×5，得出x与z的关系式，从而算出xyz的比值即可．
【解析】∵，
∴①×3+②×2，得2x=y，①×4+②×5，得3x=z，
∴x：y：z=x：2x：3x=1：2：3，
故选B．
5．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ）
A．87B．84C．81D．78
【答案】A
【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据题意一一验证即可．
【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．
令②×3－①得：7x+4y=100；
所以
令=t, (t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;
B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故选A．
6．一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．容易题和中档题共60道B．难题比容易题多20道
C．难题比中档题多10道D．中档题比容易题多15道
【答案】B
【分析】设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．
【解析】解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，
依题意，得：
①×2-②，得：c-a=20，
∴难题比容易题多20题．
故选：B．
7．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】对各选项进行分析后即可判断．
【解析】A选项：得，得，故正确；B选项：得，得，故错误；C选项：得，得，故错误；D选项：得，得，故错误.故选：A.
8．在明代的《算法统宗》中记载了利用方格进行两数相乘的一种方法，叫做“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397，图2用“铺地锦”法表示两个两位数相乘，则a的值为（ ）
A．7B．5C．3D．2
【答案】A
【分析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的计算方法，把方格填完整，再列出三元一次方程组，即可求解．
【解析】设4a的十位数字是m，个位数字是n，
由题意可知，方格里的数字，如图所示，
∴，解得：，
∴a的值为：7．故选A．
9．幻方，又称为九宫格，最早起源于中国，是一种中国传统游戏．如图1，它是在的9个格子中填入9个数，使得每行、每列及对角线上的3个数之和都相等．在如图2所示幻方中，只填了5个用字母表示的数，根据每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，则右上角“x”所表示的数应等于_______．
【答案】3
【分析】根据题意先求出对角线上数字的和，然后再构建一元一次方程进行求解；
【解析】解：设x左边的两个数为y和z，
根据题意得：n-a+z=n+m+x①，a+6+m+y=n+m+x②，x+y+z=n+m+x③，
①+②得：n+6+m+（y+z）=2m+2n+2x；
由③得：y+z=n+m
解得：x=3
故答案为：3
10．若实数满足，则___________．
【答案】
【分析】把原式化为可得再利用非负数的性质求解从而可得答案.
【解析】解： ，
而
解得：
故答案为：
11．已知x，y，z满足方程组，则____．
【答案】1：2：3
【分析】把看做是常数，可得，再分别求解的值，从而可得答案.
【解析】解：整理得：
①②得：
把代入①得：
故答案为：
12．附中文化源远流长，潜移默化．学校通过推出的“你的名字，我的记忆”校园文创产品的设计活动，给学子们提供了施展自己才华的平台，经过选拔评比，学校拟推出A、B、C三款校园文创产品，并以零售和礼盒两种形式销售（各产品的零售单价均为正整数，礼盒售价为各产品零售价之和）．其中甲礼盒含有3件A产品，2件B产品，2件C产品，乙礼盒含有4件A产品，1件B产品，1件C产品，丙礼盒含有2件A产品，4件B产品，1件C产品．甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，并且A产品的单价不超过10元．则A产品与B产品的单价之比为______．
【答案】2：3
【分析】先设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c；利用甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，列出三元一次方程组，化简得到a关于c的关系式，然后利用A产品的单价不超过10元，各产品的零售单价均为正整数，得到c，a的值，进而利用﹣a+b+c＝11求得b的值，则结论可求．
【解析】解：设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，
则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，
乙礼盒的售价为：4a+b+c，
丙礼盒的售价为：2a+4b+c．
∵甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，
∴．
化简得：，
∴a＝c+2．
∵a≤10，a，b，c均为正整数，
∴c＝7，a＝8符合题意．
∴b＝11+a﹣c＝12．
∴A产品与B产品的单价之比为8：12＝2：3．
故答案为：2：3．
13．对于一个三位正整数，若其各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这样的三位数为“相异数”．将“相异数”n任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为F（n），例如F（123）＝12+13+23+21+31+32＝132．把F（n）与11的商记为D（n），例如D（n）＝＝＝12．
（1）最大的“相异数”与最小的“相异数”的差为 ；
（2）若“相异数”n＝100a+10b+c（其中a、b、c都是正整数，1≤a＜b＜c≤9），若“相异数”n满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，且D（n）能被7整除，请求出所有满足条件的“相异数”n．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据相异数的定义可得最大与最小的相异数，从而可得答案；
（2）根据题意可得： 再得到结合而能被整除，可得或或 结合方程的正整数解可得答案.
【解析】解：（1）由题意得：最大的相异数为：
最小的相异数为：
最大的相异数与最小的相异数的差为：
故答案为：
（2） “相异数”n满足个位上的数字是百位上的数字的2倍，
“相异数”n＝100a+10b+c（其中a、b、c都是正整数，1≤a＜b＜c≤9），
能被整除，
能被整除，
或或
都是正整数，1≤a＜b＜c≤9，
或或且
当时，不存在符合条件的
当时，则
当时，不存在符合条件的
综上：满足条件的相异数为：
14．【信息阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足①，和②．求代数式的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得工．y的值后，再代入求值．
思路2：为降低运算量，由①＋②×2，可直接得出．这样的解题思路即为整体思想．
【问题解决】
（1）已知方程组，则__________；
（2）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？
【答案】（1）4；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
【分析】（1）由①-②，直接求得，
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出三元一次方程组，运用整体思想，将①×2②即可求得．
【解析】解：（1）
①-②得：，
故答案为：4
（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得
①×2②得，．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元．
15．阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x､y､z，满足，求z的值．
【答案】（1）；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【解析】解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
16．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
【答案】（1）-1；1；（2）30元；（3）-11
【分析】（1）①+②，可得出的值，①-②，得的值；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元”列出方程组，再根据方程组的特征求出，进一步可求出；
（3）根据新定义，将数值代入新定义里，列方程组求解即可得出答案．
【解析】（1）解：
①+②，得
；
①-②，得；
故答案为：-1，1；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用元、元、元，根据题意，得：
①×②－②得
∴（元）
答：5本日记本共需30元．
（3）
①②得
∴．
课程标准
课标解读
掌握代入消元法和加减消元法，能解一次方程组
1.了解三元一次方程组的概念；
2.会用代入消元法或加减消元法解三元一次方程组。
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