苏科版七年级上册2.5 有理数的加法与减法学案设计

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知识精讲
知识点01 有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
【微点拨】
利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
【即学即练1】1．华罗庚说：“数学是中国人民擅长的学科”，中国是最早认识负数并进行运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负数”的方法．如左图，表示的是的过程，按照这种方法，右图表示的过程是在计算（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由左图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察右图即可列式．
【详解】
解：由左图知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以右图表示的过程应是在计算，
故选：A．
3.运算律：
【微点拨】
交换加数的位置时，不要忘记符号．
【即学即练2】2．计算（﹣2）+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【答案】A
【分析】
直接根据同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式=﹣（2+3）=﹣5
故选：A
知识点02 有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
【微点拨】
（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
【即学即练3】3．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是 -10℃，1℃， -7℃，它们任意两城市中最大的温差是（ ）
A．11℃B．7℃C．8℃D．3℃
【答案】A
【分析】
用三个数据中的最大数1减去最小数据﹣10列式计算即可．
【详解】
解：它们任意两城市中最大的温差是：1－（﹣10）=1+10=11℃．
故选：A．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
【微点拨】
将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【即学即练4】4．计算的结果为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据有理数的减法法则即可得．
【详解】
原式，
，
，
故选：A．
知识点03 有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【即学即练5】5．的相反数是
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】
先化简求解，再根据相反数的定义即可求解．
【详解】
解：
．
的相反数为，
的相反数是．
故选：．
能力拓展
考法01 有理数加法运算律
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a+b=b+a
注意：运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，能够是正数，也能够是负数或者零。在同一个式子中，同一个字母表示同一个数。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 (a+b)+c=a+(b+c)
注意：a、b、c表示任意的三个有理数。
【典例1】小红解题时，将式子先变成再计算结果，则小红运用了（ ）．
A．加法的交换律和结合律B．加法的交换律
C．加法的结合律D．无法判断
【答案】A
【分析】
根据有理数加法运算性质分析，即可得到答案．
【详解】
将式子先变成再计算结果，则小红运用了：加法的交换律和结合律
故选：A．
考法02 有理数加减混合运算的应用
一、几个有理数相加，把相加得零的数先行相加：
例1 计算38－2－18－20＋5－－3
解： 原式＝（38－18－20）＋（－2＋5－3）－＝0＋0－＝－.
例2 计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋…＋1998－1999－2000＋2001＋2002－2003－2004＋2005＋2006
解： 原式＝1＋（2－3－4＋5）＋（6－7－8＋9）＋…＋(1998－1999－2000＋2001)＋(2002－2003－2004＋2005)＋2006＝1＋0＋0＋…＋0＋2006＝2007.
二、几个有理数相加，把同号的数分别相加：
例3 计算－18＋21－16＋8－23＋28
解： 原式＝（21＋8＋28）＋（－18－16－23）＝57－57＝0.
三、几个非整数的有理数相加，先把相加得整数的数相加：
例4 计算－0.375＋3.15＋1－6＋7
解： 原式＝（－0.375－6）＋（3.15＋1＋7）＝－7＋12＝5.
例5 计算2－1＋3－1＋2.35＋9
解： 原式＝（2.35＋2＋3）＋（－1－1）＋9＝8－3＋9＝14.
四、几个分数相加，先把同分母的分数分别相加：
例6 计算4＋5＋6－1
解： 原式＝（5＋6）＋（4－1）＝12＋3＝15.
五、几个带分数相加，先把它们的整数部分和分数部分分别相加：
例7 （同例6）
解： 原式＝（4＋5＋6－1）＋（＋＋－）＝14＋1＝15.
六、先变形，后相加：
例8 计算38＋27－49－996＋2006＋28
解： 原式＝（40－2）＋（30－3）＋（－50＋1）＋（－1000＋4）＋（2000＋6）
＋（30－2）＝（40＋30－50－1000＋2000＋30）＋（－2－3＋1＋4＋6－2）＝1230＋4＝1234.
小结：进行有理数的加减混合运算前，根据减法法则把减法变成加法．进行有理数的加减混合运算时，一般先应考虑到符号相同的数先加；互为相反数的数先加，同分母的数先加，和为整数的几个数先加．
【典例2】我市今年某一天上午9点的气温是4°C，下午1点上升了3°C，半夜（24时）又下降了5°C，半夜的气温是（ ）
A．3°CB．－3°CC．4°CD．2°C
【答案】D
【分析】
根据有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：由题意可得：
4+3-5=2°C，
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．计算（ ）
A．B．1C．D．5
【答案】C
【分析】
根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】
解：-2-3=-2+（-3）=-5．
故选：C．
2．今年10月份某市一天的最高气温为11℃，最低气温为﹣3℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）
A．﹣14℃B．14℃C．8℃D．11℃
【答案】B
【分析】
用最高气温减去最低气温，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【详解】
解：这一天的最高气温比最低气温高11﹣（﹣3）＝11+3＝14（℃），
故选：B．
3．奶奶把35000元钱存入银行2年，按年利率计算，到期时可得到本金和利息共多少元？
A．1750B．36750C．175D．35175
【答案】B
【分析】
根据本金＋本金×年利率×年数＝到期本息和，进行计算便可．
【详解】
解：根据题意得，（元，
故选：．
4．气温由6℃下降了8℃，下降后的气温是（ ）
A．℃B．℃C．℃D．2℃
【答案】C
【分析】
用原来的气温减去下降的温度，求出下降后的气温是多少即可．
【详解】
解：6-8=-2（℃），
故选：C．
5．下面的数中，与﹣2的和为0的是（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【答案】A
【解析】
∵-2+2=0，故选A.
6．－3－(－2)的值是( )
A．－1B．1C．5D．－5
【答案】A
【分析】
本题按照有理数的减法运算法则直接求解即可．
【详解】
，
故选：A．
7．比3大－1的数是( )
A．2B．4C．－3D．－2
【答案】A
【分析】
先根据题意列出算式，再根据有理数的加法法则计算．
【详解】
解：3+（﹣1）=2，所以比3大－1的数是2．
故选：A．
题组B 能力提升练
1．小怡家的冰箱冷藏室温度是5℃，冷冻室的温度是﹣2℃，则她家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高( )
A．3℃B．﹣3℃C．7℃D．﹣7℃
【答案】C
【分析】
用冷藏室温度减去冷冻室的温度，就是冰箱冷藏室温度与冷冻室温度的温差．
【详解】
依题意得：5-（-2）=5+2=7℃，
所以冷藏室温度比冷冻室温度高7℃.
故选C.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．一个有理数不是正数就是负数B．|a|一定是正数
C．如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数D．两个数的差一定小于被减数
【答案】C
【分析】
逐项作出判断即可．
【详解】
解：A. 一个有理数不是正数就是负数,错误，如0既不是正数，也不是负数；
B. |a|一定是正数，错误，如|0|=0；
C. 如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数，正确；
D. 两个数的差一定小于被减数，错误，如3-0=3．
故选：C
3．若，，且，那么的值为（ ）．
A．5或1B．1或-1C．5或-5D．-5或-1
【答案】A
【分析】
由题意，利用绝对值的代数意义确定出x与y的值，即可求出x-y的值．
【详解】
解：∵|x|=3，|y|=2，x+y＞0，
∴x=3，y=2；x=3，y=-2，
则x-y=1或5，
故选A．
4．两个数相加，如果和小于每个加数，那么这两个加数（ ）
A．同为正数B．同为负数
C．一正一负且负数的绝对值较大D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据有理数的加法法则，两个负数相加，和为负数，再把绝对值相加，和一定小于每一个加数．
【详解】
两个负数相加，和为负数，再把绝对值相加，和一定小于每一个加数．
例如：（−1）＋（−3）＝−4，−4＜−1，−4＜−3，
故选B．
5．已知，互为相反数，则________．
【答案】0
【分析】
根据相反数的概念，得到，继而可得出答案．
【详解】
解：∵，互为相反数，
∴.
∴
．
故答案为：．
6．已知，，则的值是________．
【答案】2或-10
【分析】
利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】
解：∵|a|=4＞a，|b|=6，
∴a=-4，b=6或-6，
当a=-4，b=6时，a+b=-4+6=2；
当a=-4，b=-6时，a+b=-4-6=-10．
故答案为：2或-10．
7．绝对值不大于2.1的所有整数是____，其和是____．
【答案】﹣2，﹣1，0，1，2 0
【分析】
找出绝对值不大于2.1的所有整数，求出之和即可．
【详解】
绝对值不大于2.1的所有整数有﹣2、﹣1、0、1、2，之和为﹣2﹣1+0+1+2=0，
故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2；0
题组C 培优拔尖练
1．两个数的和为正数，那么这两个数是（ ）
A．正数B．负数
C．至少有一个为正数D．一正一负
【答案】C
【解析】
根据题意，当两个数为正数时，和为正；当两数一个正数和0时，和为正；当两数一个为正一个为负，且正数的绝对值较大时，和为正.
故选C.
2．在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，且|a|=6，|b|=3，则a－b的值为( )
A．－3B．－9C．－3或－9D．3或9
【答案】D
【解析】
∵|a|=6，|b|=3，∴a=±6，b=±3，∵在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，∴a=6，当a=6，b=3时，a﹣b=6﹣3=3，当a=6，b=﹣3时，a﹣b=6﹣（﹣3）=6+3=9，所以，a﹣b的值为3或9．故选D．
3．设|a|=4，|b|=2，且|a+b|=－(a+b)，则a－b所有值的和为( )
A．－8B．－6C．－4D．－2
【答案】A
【解析】
∵|a+b|=－（a+b），∴a+b≤0，∵|a|=4，|b|=2，∴a=±4，b=±2，∴a=－4，b=±2，
当a=－4，b=－2时，a-b=－2；
当a=－4，b=2时，a-b=－6；
故a－b所有值的和为：－2+（－6）=－8．故选A．
4．1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）
A．0B．100C．﹣1003D．1003
【答案】C
【解析】
试题解析：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006
=
=-1003.
5．50个连续正奇数的和l+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）
A．0 B．50 C．﹣50 D．5050
【答案】C
【解析】试题解析：：（1+3+5+7+…+99）-（2+4+6+8+…+100）
=-[（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）…+（100-99）]
=-（1+1+1+1+…+1）
=-50．
故选C．
6．绝对值大于1且小于4的所有整数的和是（ ）
A．6B．–6C．0D．4
【答案】C
【解析】
绝对值大于1且小于4的整数有：±2；±3，–2+2+3+（–3）=0．故选C．
7．一名粗心的同学在进行加法运算时，将“－5”错写成“＋5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5B．少10C．多5D．多10
【答案】D
【解析】
根据题意得：将“-5”错写成“+5”他得到的结果比原结果多5+5＝10.
故选D．
课程标准
课标解读
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.
1、能准确、熟练地进行加减混合运算，能自觉地运用加法的运算律简化运算
2、经历加减法统一成加法的过程，体会加法的运算律在运算中的应用
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)