八年级上数学寒假作业 (21)

这是一份八年级上数学寒假作业 (21)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D. 3
2. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. D.
3. 分式有意义，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，是边上一点，把沿折叠，点恰好落在边所在的直线上，下列关于线段的说法正确的是（ ）

A. 的一条角平分线B. 的一条中线
C. 一条高D. 既是的中线又是角平分线
6. 要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A. 1B. C. D.
7. 如图，已知和全等，其中点在线段上，和是对应边，且．则下列角中大小与相等的是（ ）

A. B. C. D.
8. 角尺是画角平分线的常用工具，画法如下：如图所示，已知，点为角尺的顶点，在上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，射线便是的平分线，根据以上描述，用角尺画角平分线的依据是（ ）

A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等C. 三边分别相等的两个三角形全等D. 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等
9. 如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，在第一象限，三个顶点分别为．其中．若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：（1）__________，（2）__________．
12. 化简：_______．
13. 五边形的内角和是________度．
14. 如图，是四边形的对角线，，若，则点到边的距离为__________．

15. 东汉初年，我国的《周髀算经》里有“方出于矩”的说法，是证明直角三角形三边数量关系的重要方法，有人进行了如下解释：如图，将两个全等的长方形沿对角线进行分割，得到四个全等的直角三角形，再拼出一个大正方形．设长方形的两边分别为a，b，则拼出的大正方形面积为__________．

16. 在中，是中点，连接，点在直线上，点在延长线上，连接．若，设，则__________．（用含和式子表示）
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）因式分解：．
18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19. 某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为．
（1）若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；
（2）航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．规定：如果有一个顶点在直线上，另外两个顶点在直线的异侧，则称为直线的“泛对称三角形”．

（1）点在直线上，直接写出的数量关系；
（2）若是以为底边的等腰三角形，且点的纵坐标为3，判断是否为直线的“泛对称三角形”？并说明理由；
（3）若为直线在第一象限内的“泛对称三角形”，，，是否始终存在关于直线轴对称的情形？若存在，求和的值或数量关系；若不存在，请说明理由．
21. 如图，在四边形中，，连接，作于点．

（1）是边上点，过点作于点，在图中求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接交于点，并延长交的延长线于点，连接．若，探究线段的数量关系．
八年级（上）数学寒假作业
（全卷满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式法则运算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
3. 分式有意义，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此可求x的取值范围．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是熟记分式有意义的条件是分母不为零．
4. 如图，点在的边上，点在延长线上，下列是的外角的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的外角的定义得出即可．
【详解】解：的一个外角是，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角定义和性质，注意：三角形的一个角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫三角形的外角．
5. 如图，是边上一点，把沿折叠，点恰好落在边所在的直线上，下列关于线段的说法正确的是（ ）

A. 的一条角平分线B. 的一条中线
C. 的一条高D. 既是的中线又是角平分线
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，即可说明线段是的角平分线．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∴线段是的角平分线．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质和角平分线的定义，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
6. 要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7. 如图，已知和全等，其中点在线段上，和是对应边，且．则下列角中大小与相等的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，和是对应边，
则和所对的角相等，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
8. 角尺是画角平分线的常用工具，画法如下：如图所示，已知，点为角尺的顶点，在上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，射线便是的平分线，根据以上描述，用角尺画角平分线的依据是（ ）

A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等C. 三边分别相等的两个三角形全等D. 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可得，，，根据全等三角形的性质与判定即可求解．
【详解】解：，，为公共边，
，
即便是的平分线，
故选：C．
【点睛】本题考查了画角平分线，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9. 如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据证明即可得解．
【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10. 在平面直角坐标系中，在第一象限，三个顶点分别为．其中．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，求得，，，由30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求得，推出，再由已知等式推出，求得，求得，构造三角形，使，，，设，求得，据此求解即可．
【详解】解：如图，

，，，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
①当时，，
②当时，，不合题意，舍去，
，
如图，构造，，，设，

∵，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，坐标与图形，完全平方公式，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：（1）__________，（2）__________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）根据零次幂的性质计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2），
故答案为：（1）1；（2）．
【点睛】本题考查了零次幂和同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算同底数幂的乘法时，底数不变，指数相加．
12. 化简：_______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用同分母分式的减法运算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为为：1
【点睛】此题考查了分式的减法运算，熟练掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加减是解题的关键．
13. 五边形内角和是________度．
【答案】540
【解析】
【分析】根据n边形内角和为求解即可．
【详解】五边形的内角和是．
故答案为：540．
【点睛】本题考查求多边形内角和．掌握n边形内角和为是解题关键．
14. 如图，是四边形的对角线，，若，则点到边的距离为__________．

【答案】
【解析】
【分析】作于E，作于F，证明是的平分线，利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：作于E，作于F，

∵，
∴，，
∵，
∴，即是的平分线，
∵，，
∴，即点到边的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15. 东汉初年，我国的《周髀算经》里有“方出于矩”的说法，是证明直角三角形三边数量关系的重要方法，有人进行了如下解释：如图，将两个全等的长方形沿对角线进行分割，得到四个全等的直角三角形，再拼出一个大正方形．设长方形的两边分别为a，b，则拼出的大正方形面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得长方形对角线长，即可求解．
【详解】解：依题意，长方形的长为，则正方形的边长为
∴正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16. 在中，是中点，连接，点在直线上，点在延长线上，连接．若，设，则__________．（用含和的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】先证明，推出，，得到，再利用三角形内角和定理和外角的性质计算即可求解．
【详解】解：∵，是中点，

∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. （1）计算：；
（2）计算：；
（3）因式分解：．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
（3）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解，熟练掌握乘法公式以及因式分解的方法是解题的关键．
18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．
【详解】解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．
19. 某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是，已知货轮在静水中的最大航速为．
（1）若该货轮在水流速度为的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；
（2）航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．
【答案】（1）顺流航行的最大速度为，逆流航行的最大速度为；
（2）航运公司应当选择航线2．
【解析】
【分析】（1）根据和即可得到代数式；
（2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到；航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，得到，比较即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵货轮在静水中的最大航速为，
∴水流速度为，
∴顺流航行的最大速度为，
逆流航行的最大速度为；
【小问2详解】
解：航线1：
从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，
依题意得；
航线2：
从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为，
依题意得；
，
∴，
∴航运公司应当选择航线2．
【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点．规定：如果有一个顶点在直线上，另外两个顶点在直线的异侧，则称为直线的“泛对称三角形”．

（1）点在直线上，直接写出数量关系；
（2）若是以为底边的等腰三角形，且点的纵坐标为3，判断是否为直线的“泛对称三角形”？并说明理由；
（3）若为直线在第一象限内的“泛对称三角形”，，，是否始终存在关于直线轴对称的情形？若存在，求和的值或数量关系；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是直线的“泛对称三角形”；
（3）始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先判断在直线上方，在直线下方，若点在直线上，求得点的坐标为，求得，据此即可判断结论成立；
（3）分点B在直线上、点A在直线上以及点在直线上时，三种情况讨论，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴的数量关系为；
【小问2详解】
解：是以为底边的等腰三角形，
∵，，
∴在直线上方，在直线下方，
若点在直线上，
∵点的纵坐标为3，
∴，
∴点的坐标为，
∵，，
∴，
∴是直线的“泛对称三角形”；
【小问3详解】
解：当顶点在直线上时，则，
解得，不满足在第一象限内的条件，舍去；
当顶点在直线上时，则，
解得，不满足在第一象限内的条件，舍去；
当顶点在直线上时，关于直线轴对称，
则点B和A关于直线轴对称，
即，，
综上，始终存在关于直线轴对称的情形，和的数量关系为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21. 如图，在四边形中，，连接，作于点．

（1）是边上的点，过点作于点，在图中求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接交于点，并延长交的延长线于点，连接．若，探究线段的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作的角平分线交于点，点，即为所求；
（2）在上截取，连接，证明得出 ，进而可得，根据已知条件得出是等腰直角三角形，进而证明，，，得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，点，即所求；
【小问2详解】
解：，理由如下，
如图所示，在上截取，连接，

在中，

，即
，
即

而，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
即有，
在和中，
，
，
而，
，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
即．