2023-2024学年江苏省南通市海门区重点中学九年级（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门区重点中学九年级（上）月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.反比例函数y=5x的图象在( )
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限
3.如图，，将▵AOB绕点O按逆时针方向旋转60∘后得到△A′OB′，若∠AOB=22∘，则∠AOB′的度数是
( )
A. 22∘B. 38∘C. 60∘D. 82∘
4.在平面直角坐标系中，把点P(−5,4)绕原点顺时针旋转90∘得到点P1，则点P1的坐标是( )
A. 5,−4B. 5,4C. −4,−5D. 4,5
5.若点−1,y1，−3,y2，2,y3在反比例函数y=k2+1x图象上，则下列结论正确的是
( )
A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y3>y2>y1
6.如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC=( )
A. 20°B. 35°C. 55°D. 70°
7.已知点A(a，b)是一次函数y=−x+4和反比例函数y=1x的一个交点，则代数式a2+b2的值为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
8.下列语句中正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x>0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若△ANQ的面积为1，则k的值为( )
A. 9B. 12C. 15D. 18
10.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在边BC上运动，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF.设BE=x，CF2=y，则y关于x的函数图象大致为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11.点M−3,2关于原点对称的点的坐标是_____．
12.已知点A(2,m+1)在反比例函数y=−12x的图象上，则m=_________．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△A′BC′，点A旋转后的对应点为点A′，连接AA′.若BC=3，AC=4，则AA′的长为______．
14.如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=__________cm．
15.如图，矩形AOBC 的 面积为8，反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是________．
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a,a)是反比例函数y=2x的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．
17.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，AO=AB，∠OAB=90∘，OB=6，点C、D均在边OB上，且∠CAD=45∘，若▵ACO的面积等于▵ABO面积的13，则点D的坐标为_______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8.0分)
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．
19.(本小题8.0分)
计算：
(1)计算：1−1a+2÷a2+2a+1a2−4；
(2)解方程：x2+4x+8=2x+11．
20.(本小题8.0分)
如图，在边长为1的正方形网格中，▵ABC的顶点均在格点上．
(1)画出▵ABC关于原点成中心对称的▵A1B1C1；
(2)画出▵ABC绕C点顺时针旋转90∘得到的▵A2B2C，直接写出B2的坐标为______；
(3)若P为y轴上一点，求PA+PC的最小值．
21.(本小题8.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−1,4)，点B的坐标为(4,n).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足kx+b>k2x的x的取值范围；
(3)若点P在y轴上，使得S▵ABP=10，请直接写出点P的坐标．
22.(本小题8.0分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，将▵ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到▵DEC，点D刚好落在AB边上．
(1)求n的值；
(2)若F是DE 的 中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
23.(本小题8.0分)
如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
(1)求⊙O的半径；
(2)点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长．
24.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y=2x的图像上，反比例函数y=kx，且x>0，k>0，的图像经过点A，且与边CD相交于点E．

(1)若BC=4，求点E的坐标；
(2)连接AE，OE．
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8.0分)
在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘,AB=5,BC=3，将▵ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
(1)如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
(2)如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
(3)如图3，连接AA′,CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
26.(本小题8.0分)
定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90∘，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”.例如，点(−13,13)是函数y=x图象的“直旋点”．
(1)在①3,0，②−1,0，③0,3三点中，是一次函数y=−13x+1图象的“直旋点”的有_____(填序号)；
(2)若点N3,1为反比例函数y=kx图象的“直旋点”，求k的值；
(3)二次函数y=−x2+2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D是二次函数y=−x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵k=5>0，
∴反比例函数y=5x的图像分布在第一、三象限．
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像得性质．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据图形旋转的性质可知∠BOB′=60∘，据此即可求得答案．
【详解】解：根据图形旋转的性质可知∠BOB′=60∘，
∴∠AOB′=∠BOB′−∠AOB=60∘−22∘=38∘．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是明确旋转角的意义，对应边旋转后的夹角等于旋转角．
4.【答案】D
【解析】【分析】利用旋转变换性质作出图形，可得结论．
【详解】解：将点P绕原点顺时针旋转90∘得到点P1，则点P1的坐标是(4,5)，

故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识．
5.【答案】D
【解析】【分析】由题意可知函数的图象在一、三象限，由三点的横坐标可知点−1,y1，−3,y2在第三象限，2,y3在第一象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．
【详解】解：∵反比例函数y=k2+1x中，k2+1>0，
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵−3<−1<0，2>0，
∴点−1,y1，−3,y2在第三象限，2,y3在第一象限，
∴y10，
∴y3>y2>y1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据垂径定理(垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧)得出AC这条弧等于BC这条弧，从而得到∠AOC=∠BOC，最后得出答案
【详解】因为OC⊥AB，所以AC这条弧等于BC这条弧，所以∠AOC=∠BOC=70°
故答案为D选项
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及圆中各弧与其对应的圆心角的关系，熟练掌握相关概念是关键
7.【答案】D
【解析】【分析】先解两函数式组成的方程组，得出一个一元二次方程，根据根与系数的关系得出a+b=4，ab=1，再根据完全平方公式变形后代入求出即可．
【详解】∵点A(a,b)是一次函数y=−x+4和反比例函数y=1x的一个交点，
∴a+b=4，ab=1，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×1=14．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．
B、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．
C、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．
D、正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，熟练掌握圆的知识是解决此题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】解：∵NQ // MP // OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S▵ANQS▵AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴S▵ANQ3+S▵ANQ=14，
∴S△ANQ=1，
∵1S▵AOB=ANAO2=19，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】勾股定理求出AC，作FM⊥AC于M，证明▵ABE≌▵AMF，得到AB=AM=4,BE=MF，由此求出CM，然后根据勾股定理即可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD 是 矩形，
∴∠B=90∘,BC=AD=3，
∵AB=4，
∴AC= AB2+BC2=5，
作FM⊥AC于M，
∴∠AMF=∠B=90∘，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠MAF，
又∵AE=AF，
∴▵ABE≌▵AMF，
∴AB=AM=4,BE=MF，
∴CM=AC−AM=5−4=1，
在Rt▵CFM中，CF2=MF2+CM2，
∴CF2=BE2+12，
∴y=x2+12，图象对称轴为y轴，开口向上，
当点E与点C重合时，y=32+12=10，
∴y关于x的函数图象大致为A，
故选：A．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.【答案】3,−2
【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点Px,y，关于原点的对称点是−x,−y，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
点M−3,2关于原点中心对称的点的坐标是3,−2，
故答案为：3,−2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟练掌握平面直角坐标系中任意一点Px,y，关于原点的对称点是−x,−y是解题的关键．
12.【答案】−7．
【解析】【分析】将点A(−1,2)代入反比例函数y=−12x，即可求出m值．
【详解】将点A (−1,2)代入反比例函数解析式得：m+1=−122，
解得：m=−7．
故答案为：−7．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键．
13.【答案】5 2
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，再利用旋转的性质得BA′=BA=5，∠A′BA=90°，则可判断△A′BA为等腰直角三角形，即可求出答案．
【详解】解：△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB= BC2+AC2= 32+42=5，
∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△BA′C′，
∴BA′=BA=5，∠A′BA=90°，
∴△A′BA为等腰直角三角形，
∴A′A= AB2+BA′2=5 2，
故答案为：5 2．
【点睛】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用勾股定理．
14.【答案】8
【解析】【分析】连接AO，则AO=OD=13cm.由垂径定理得到AC=12AB=12cm，在Rt▵ACO中，由勾股定理得到OC= OA2−AC2= 132−122=5cm，即可得到CD的长．
【详解】解：连接AO，

则AO=OD=13cm．
∵半径OD垂直于弦AB，AB=24cm，
∴AC=12AB=12cm．
在Rt▵ACO中，AO2=AC2+OC2，
∴OC= OA2−AC2= 132−122=5cm，
∴CD=OD−OC=13−5=8cm．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
15.【答案】y=−2x
【解析】【分析】过点P作PE⊥AO于E，过点P作PF⊥BO于F，利用S四边形OEPF=14S四边形AOBC，进而可求得k的值，即可求解．
【详解】解：过点P作PE⊥AO于E，过点P作PF⊥BO于F，如图所示：

∵四边形AOBC为矩形，且点P为对角线的交点，
∴S四边形OEPF=14S四边形AOBC=14×8=2，
∴k=−2，
∴反比例函数的解析式为y=−2x，
故答案为：y=−2x．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握其几何意义是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】【分析】先利用反比例函数解析式y=2x确定P点坐标为(2,1)，由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的14．
【详解】解：把P(2a,a)代入y=2x得：
2a⋅a=2，解得a=1或−1，
∵点P在第一象限，∴a=1，
∴P点坐标为(2,1)，
∴正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积=14×正方形的面积=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的14是关键．
17.【答案】92,0
【解析】【解析】
【分析】将▵AOC绕点A逆时针旋转，使得AO和AB重合，构造出直角三角形，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解．
【详解】解：将▵AOC绕点A逆时针旋转，使得AO和AB重合，旋转后点C到点C′的位置，连接C′D，

根据旋转的性质有：∠OAC=∠BAC′，OC=BC′，
∵AO=AB，∠OAB=90∘，
∴▵ABO为等腰直角三角形，
∵∠CAD=45∘，∠OAC=∠BAC′，
∴∠CAO+∠DAB=45∘，
∴∠C′AD=∠C′AB+∠DAB=45∘，
又∵AC=AC′，AD=AD，
∴▵ACD≌▵AC′D(SAS)，
∴CO=CD′，
∵▵ACO的面积等于▵ABO面积的13，OB=6，
∴OC=BC′=2，BC=4，
∵∠AOC=∠ABC′=45∘，∠ABO=45∘，
∴∠C′BO=90∘，
设CD=x，在Rt▵DBC′中，C′D2=BD2+C′B2，
解得：x=52，
即CD=52，
∵OC=2，
∴OD=92，
∴D92,0，
故答案为：92,0．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形，利用旋转构造直角三角形是本题的关键．
18.【答案】4 5
【解析】【分析】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明ΔAED≌ΔGFE，确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C′，由三角形全等得到∠CBF=45∘，从而确定C′点在AB的延长线上；当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，在RtΔADC ′中，AD=4，AC′=8，求出DC′=4 5即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠FEG=90∘，
∵∠AED+∠EDA=90∘，
∴∠EDA=∠FEG，
在△AED和△GFE中，
∠A=∠FGE∠EDA=∠FEGDE=EF
∴ΔAED≌ΔGFE，
∴FG=AE，
∴F点在射线BF上运动，
作点C关于BF的对称点C′，
∵EG=DA，FG=AE，
∴AE=BG，
∴BG=FG，
∴∠FBG=45∘，
∴∠CBF=45∘，
∴C′点在AB的延长线上，
当D、F、C′三点共线时，DF+CF=DC′最小，
在RtΔADC ′中，AD=4，AC′=AB+BC′=AB+BC=8，
∴DC′=4 5，
∴DF+CF的最小值为4 5．
故答案为：4 5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
19.【答案】(1)a−2a+1
(2)x1=−3，x2=1

【解析】【分析】(1)先根据分式的减法法则进行计算，同时因式分解后再利用分式的除法法则把除法变成乘法，最后得出结果．
(2)先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【小问1详解】
原式=a+2−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a+1)2，
=a+1a+2⋅(a+2)(a−2)(a+1)2，
=a−2a+1；
【小问2详解】
原方程变形为：
x2+2x−3=0，
b2−4ac=22−4×1×(−3)=16，
x=−2± 162=−2±42，
所以x1=−3，x2=1；
【点睛】本题考查了分式的化简、一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则和灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键．
20.【答案】(1)见解析 (2)图见解析，B2−1,−1
(3)见解析，PA+PC的最小值为 34

【解析】【分析】(1)根据中心对称确定点A1,B1,C1，顺次连线即可；
(2)根据旋转的性质得到点A2,B2，连线即可得到▵A2B2C及B2的坐标；
(3)取点C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴一点即为点P，此时PA+PC的值最小，利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：如图，▵A1B1C1即为所求；
【小问2详解】
如图，▵A2B2C即为所求，B2−1,−1；
故答案为：−1,−1；
【小问3详解】
如图，点P即为所求，此时PA+PC=PA+PC′=AC′，即PA+PC的最小值为AC′，
AC′= 32+52= 34，
∴PA+PC的最小值为 34．
【点睛】此题考查了作图—旋转变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短路径问题．
21.【答案】(1)一次函数的表达式为y=−x+3，反比例函数y=−4x；(2)x<−1或0【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求解即可；
(2)根据点A、B坐标和两个函数图象，只需写出直线上位于双曲线的上方的点的横坐标x的取值范围即可；
(3)设点P坐标为(0,t)，求出直线AB与y轴的交点D坐标，根据SΔABP=SΔAPD+SΔBPD求解t值即可解答．
【详解】解：(1)将点A(−1,4)代入反比例函数y=k2x中，得：k2=−1×4=−4，
∴反比例函数y=−4x；
当x=4时，y=−1，
∴点B的坐标为(4,−1)，
将点A(−1,4)、B(4,−1)坐标代入一次函数y=kx+b中，
得：4=−k+b−1=4k+b，解得：k=−1b=3,
∴一次函数的表达式为y=−x+3；
(2)根据图象，满足kx+b>k2x的x的取值范围为x<−1或0(3)设点P坐标为(0,t)，
当x=0时，y=3，
∴直线AB与y轴的交点D坐标为(0,3)，
由SΔABP=SΔAPD+SΔBPD得：12⋅t−3×1+12⋅t−3×4=10，
解得：t1=−1，t2=7，
∴满足题意的P坐标为(0,−1)或(0,7)．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想联系各个知识点是解答的关键．
22.【答案】(1)60；(2)菱形，理由见解析
【解析】【分析】(1)通过等边三角形的判定和性质和旋转的性质，求解即可；
(2)根据直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，证明四边形ACFD的四边相等，从而得证．
【详解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
(2)四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC.
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【点睛】此题主要了考查了菱形的判定，涉及了直角三角形的有关性质，熟练掌握菱形的判定方法和直角三角形的有关性质是解题的关键．
23.【答案】1)23 3；(2) 33
【解析】【分析】(1)作OH⊥AB于H.解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．
(2)如图2中，连接OP，PA.设OP交AB于H.证明△AOP是等边三角形即可解决问题．
【详解】(1)作OH⊥AB于H．
在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∵OH⊥AB，
∴AH=HB=1，
∴OA=AH÷cs30°=23 3．
(2)如图2中，连接OP，PA.设OP交AB于H．
∵PA⌢=PB⌢，
∴OP⊥AB，
∴∠AHO=90°，
∵∠OAH=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵PQ⊥OA，
∴OQ=QA=12OA= 33．
【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24.【答案】(1)E6,43
(2)①18；②不存在，理由见解析

【解析】【分析】(1)根据AB=BC=4，设At,4，代入解析式y=2x确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据OC=OB+BC=t+4，代入反比例函数解析式计算即可；
(2)①设Am,2m，则k=xy=2m2，C3m,0，E3m,23m，根据题意，得S▵AOE=S梯形ABCE，列出等式计算即可；②假设AE⊥OA，证明▵EAD≌▵OABASA，利用反比例函数解析式建立等式证明即可．
【小问1详解】
∵正方形ABCD，BC=4，y=kx，
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90∘，
设At,4，则Ct+4,0，Et+4,kt+4，
At,4代入y=2x，得4=2t，
解得t=2，
故A2,4，即C6,0，
∴k=2×4=8，
∴E6,43；
【小问2详解】
①∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，
∵正方形ABCD，y=kx，
∴AB=BC=2m，∠ABC=∠BCD=90∘，k=xy=2m2，
∴C3m,0，E3m,23m，
根据题意，得S▵AOE=S梯形ABCE，
∴122m+23m×2m=24，
解得m=3，m=−3(舍去)，故A3,6，
故k=xy=2m2=18；
②∵AE⊥OA，
∴∠OAB=90∘−∠EAB，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，
∴∠EAD=90∘−∠EAB，
∴∠EAD=∠OAB，
∵∠EAD=∠OABAD=AB∠EDA=∠OBA,
∴▵EAD≌▵OABASA，
∴OB=DE，
∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，此时：k=m×2m，
则OB=DE=m，AB=CD=2m，
∴OC=OB+BC=3m，
即：EC=CD−DE=m，
∴E3m,m，
∴k=m×2m=3m×m，
∵B、C两点在x轴的正半轴上，
∴m≠0，
∴2=3，
这是不可能的，故不存在某一位置使得AE⊥OA．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键．
25.【答案】(1)AA′=8；(2)BM=1511；(3)存在，最小值为1
【解析】【分析】(1)根据题意利用勾股定理可求出AC长为4.再根据旋转的性质可知AB=A′B，最后由等腰三角形的性质即可求出AA′的长．
(2)作CD⊥AC′交AC′于点D，作CE//A′B交AC′于点E.由旋转可得∠A′BC′=∠ABC，BC=BC′=3.再由平行线的性质可知∠CEB=∠A′BC′，即可推出∠CEB=∠ABC，从而间接求出CE=BC=BC′=3，DE=DB.由三角形面积公式可求出CD=125.再利用勾股定理即可求出BE=185，进而求出C′E=335.最后利用平行线分线段成比例即可求出BM的长．
(3)作AP//A′C′且交C′D延长线于点P，连接A′C.由题意易证明∠BCC′=∠BC′C，
∠ACP=90∘−∠BCC′，∠A′C′D=90∘−∠BC′C，即得出∠ACP=∠A′C′D.再由平行线性质可知∠APC=∠A′C′D，即得出∠ACP=∠APC，即可证明AP=AC=A′C′，由此即易证▵APD≅▵A′C′D(AAS)，得出AD=A′D，即点D为AA′中点．从而证明DE为▵ACA′的中位线，即DE=12A′C.即要使DE最小，A′C最小即可．根据三角形三边关系可得当点A′、C、B三点共线时A′C最小，且最小值即为A′C=A′B−BC，由此即可求出DE的最小值．
【详解】(1)在Rt▵ABC中，AC= AB2−BC2= 52−32=4．
根据旋转性质可知AB=A′B，即▵ABA′为等腰三角形．
∵∠ACB=90∘，即BC⊥AA′，
∴A′C=AC=4，
∴AA′=8．
(2)如图，作CD⊥AC′交AC′于点D，作CE//A′B交AC′于点E．
由旋转可得∠A′BC′=∠ABC，BC=BC′=3．
∵CE//A′B，
∴∠CEB=∠A′BC′，
∴∠CEB=∠ABC，
∴CE=BC=BC′=3，DE=DB．
∵S▵ABC=12AB•CD=12AC•BC，即5×CD=4×3，
∴CD=125．
在Rt△BCD中，DB= BC2−CD2=95，
∴BE=185．
∴C′E=BE+BC′=335．
∵CE//A′B，
∴BMCE=BC′C′E，即BM3=3335，
∴BM=1511．
(3)如图，作AP//A′C′且交C′D延长线于点P，连接A′C．
∵BC=BC′，
∴∠BCC′=∠BC′C，
∵∠ACP=180∘−∠ACB−∠BCC′，即∠ACP=90∘−∠BCC′，
又∵∠A′C′D=90∘−∠BC′C，
∴∠ACP=∠A′C′D．
∵AP//A′C′，
∴∠APC=∠A′C′D，
∴∠ACP=∠APC，
∴AP=AC，
∴AP=A′C′．
∴在▵APD和▵A′C′D中∠ADP=∠A′DC′∠APD=∠A′C′DAP=A′C′,
∴▵APD≅▵A′C′D(AAS)，
∴AD=A′D，即点D为AA′中点．
∵点E为AC中点，
∴DE为▵ACA′的中位线，
∴DE=12A′C，
即要使DE最小，A′C最小即可．
根据图可知A′C≥A′B−BC，即当点A′、C、B三点共线时A′C最小，且最小值为A′C=A′B−BC=5−3=2．
∴此时DE=12A′C=1，即DE最小值为1．
【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
26.【答案】(1)②③ (2)k=−3
(3)0,3或−119,−23

【解析】【分析】(1)分别写出三个点绕原点顺时针旋转90∘得到的点的坐标，逐个验证是否在一次函数y=−13x+1图象上即可；
(2)把点N3,1绕原点顺时针旋转90∘得到的点的坐标代入y=kx即可得到答案；
(3)先求出点A、B、C的坐标，再求出直线AC的解析式，设点D的坐标为m,n，则点D绕原点顺时针旋转90∘得到点En,−m，根据点D是二次函数y=−x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到点D的坐标．
【小问1详解】
解：①3,0绕原点顺时针旋转90∘得到0,−3，
当x=0时，y=−13x+1=1≠−3，故3,0不是一次函数y=−13x+1图象的“直旋点”，
②−1,0绕原点顺时针旋转90∘得到0,1，
当x=0时，y=−13x+1=1，故−1,0是一次函数y=−13x+1图象的“直旋点”，
③0,3绕原点顺时针旋转90∘得到3,0，
当x=3时，y=−13x+1=0，故0,3是一次函数y=−13x+1图象的“直旋点”，
故答案为：②③
【小问2详解】
点N3,1绕原点顺时针旋转90∘得到1,−3，
∵点N3,1为反比例函数y=kx图象的“直旋点”，
∴点1,−3满足y=kx，代入可得，−3=k1，
解得k=−3；
【 小问3详解】
当y=0时，−x2+2x+3=0，解得x1=−1,x2=3,
∴点A−1,0,B3,0，
当x=0时，y=−x2+2x+3=3，
∴点C0,3，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则−k+b=0b=3
解得k=3b=3,
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
设点D的坐标为m,n，则点D绕原点顺时针旋转90∘得到点En,−m，
∵点D是二次函数y=−x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，
∴点En,−m在二次函数y=−x2+2x+3图象上，Dm,n在直线AC上，
∴n=3m+3−m=−n2+2n+3,
解得m=0n=3,m=−119n=−23,
∴D点坐标为0,3或−119,−23
【点睛】此题考查了反比例函数、一次函数、二次函数、待定系数法、点的旋转等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．