2023-2024学年江苏省南通市如皋初级中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋初级中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=−x2+3x−2与y轴的交点坐标是( )
A. (−2,0)B. (0,2)C. (1,2)D. (0,−2)
2.抛物线y=2(x+2)2−14的顶点坐标为( )
A. (2,14)B. (−2,14)C. (2,−14)D. (−2,−14)
3.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为
( )
A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1
C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−1
4.已知抛物线y=x2+x−1经过点P(m,5)，则代数式m2+m+2023的值为( )
A. 2026B. 2027C. 2028D. 2029
5.已知二次函数y=−(x+h)2，当x<−1时，y随着x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，当x=3时，y的值为( )
A. −16B. −1C. −9D. 0
6.对于二次函数y=−2(x+3)2的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向上B. 对称轴是直线x=−3
C. 当x>−4时，y随x的增大而减小D. 顶点坐标为(−2,−3)
7.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M距离墙1m，距离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )
A. 2mB. 3mC. 4mD. 5m
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc>0；②bm(am+b)(其中m≠1)其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.已知实数a、b满足a−b2=2，则代数式a2−3b2+a−9的最小值是( )
A. −2B. −3C. −4D. −9
10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 32x2−2 3x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点是该抛物线对称轴上的一点，则OP+12AP的最小值为( )
A. 3
B. 2 3
C. 3+2 32
D. 3+2 34
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.将二次函数y=x2−4x−4化为y=a(x−h)2+k的形式是______．
12.若二次函数y=−x2+2x−m的图象的顶点在x轴上，则m= ______．
13.已知函数y=x2−6x+2，当−114.抛物线y=x2−2x+m2+2(m是常数)经过点A(−2,y1)、B(−1,y2)、C(3.5,y3)，则y1、y2、y3的大小关系为______.(用“<”连接)
15.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，该函数取得最小值−4，设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1>5，则a的取值范围是______．
16.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是______．
17.如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为______．
18.在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=x−5，点P的坐标为(n−1,n2+2n−3)，则点P到直线l的最短距离为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知二次函数y=−2x2+4x+3．
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
20.(本小题10分)
已知二次函数y=(x−2)2−4．
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当y<0时x的取值范围．
21.(本小题10分)
在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值．
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物边的顶点，B，C两点的坐标分别为(3,0)和(0,3)．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．
23.(本小题12分)
某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
24.(本小题11分)
某班数学兴趣小组对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请完成下面各小题．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：

其中，m= ______；
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)进一步探究函数图象，直接写出：
①方程x2−2|x|=0的实数根有______个；
②关于x的方程x2−2|x|=a有4个实数根时，则a的取值范围是______．
25.(本小题13分)
已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)已知：点O(0,0)，A(−2,4)，B(2,0)，若抛物线的顶点在△OAB的内部(不包括边界)，求m的取值范围；
(3)将抛物线y=−x2+2mx−m2+3(m是常数)图象在对称轴右侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若G与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．
26.(本小题14分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(x,y)，当x>k时，B点坐标为(−x,−y)；当x≤k时，B点坐标为(−x,−y+2)，则称点B为点A的k一分点(其中k为常数).例如：(−2,4)的0一分点坐标为(2,−2)．
(1)点(1,5)的1一分点在正比例函数y=mx图象上，则m= ______；若点(a−2,6)的2一分点在直线y=x+3上，则a= ______；
(2)若点N在二次函数y=x2−2x−3的图象上，点M为点N的3一分点．
①求点M所在函数的解析式；
②当−5≤x≤m时，点M所在函数的函数值−12≤y≤6，求出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，将x=0代入函数解析式得，y=−2．
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,−2)．
故选：D．
依据题意，将x=0代入解析式即可得解．
本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
2.【答案】D
【解析】解：
∵y=2(x+2)2−14，
∴抛物线顶点坐标为(−2,−14)，
故选：D．
由抛物线解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．
【解答】
解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+x−1经过点P(m,5)，
∴m2+m−1=5，
∴m2+m=6，
∴m2+m+2023=6+2023=2029．
故选：D．
把点P的坐标代入抛物线解析式求出m2+m的值，然后求解即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把m2+m看作一个整体并求出其值是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：二次函数y=−(x+h)2，当x<−1时，y随着x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
∴−h=−1，
解得h=1，
∴y=−(x+1)2，
当x=3时，y=−(3+1)2=−16，
故选：A．
根据二次函数y=−(x+h)2，当x<−1时，y随着x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，可以求得h的值，然后将x=3代入函数解析式求出y的值即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】B
【解析】解：由y=−2(x+3)2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x=−3，顶点坐标为(−3,0)，
x≤−3时y随x增大而增大，
x>−3时y随x增大而减小．
故选：B．
根据抛物线的性质由a=−2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−3，当x>−3时，y随的增大而减小．
本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式y=a(x−h)2的性质．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知A(0,10)，M(1,403)，且点M是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+403a≠0，
将A(0,10)代入，得10=a+403，
解得a=−103．
∴抛物线的解析式为：y=−103(x−1)2+403．
当y=0时，0=−103(x−1)2+403，
解得：x1=−1(舍去)，x2=3．
∴OB=3m．
故选：B．
由题意可知A(0,10)，M(1,403)，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，属于中档题．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
【解答】
解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，所以ab<0，
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，所以abc<0，故①错误；
②当x=−1时，y=a−b+c<0，即b>a+c，故②错误；
③由图可知，x<0时，y随x的增大而增大，故③正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且x=−b2a=1，
即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故④正确；
⑤当x=1时，y的值最大，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】解：∵a−b2=2，
∴b2=a−2，
∴a2−3b2+a−9=a2−3(a−2)+a−9=a2−2a−3=(a−1)2−4，，
∵b2=a−2≥0，
∴a≥2，
∴a=2时，代数式(a−1)2−4的最小值为−3，
故选：B．
由a−b2=2可得a与b2的数量关系，将代数式a2−3b2+a−9化为只含a的代数式并配方求解．
本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握求二次函数最值的方法．
10.【答案】B
【解析】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，当y=0时， 32x2−2 3x=0，解得x1=0，x2=4，则B(4,0)，
y= 32x2−2 3x= 32(x−2)2−2 3，则A(2,2 3)，
∴OA= 22+(2 3)2=4，
∴AB=AO=OB=4，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP=30°，
∴PH=12AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO=PB，
∴OP+12AP=PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC= 32AB= 32×4=2 3，
∴OP+12AP的最小值为2 3．
故选：B．
连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，首先证明△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP=30°得到PH=12AP，利用抛物线的对称性得到PO=PB，所以OP+12AP=PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
11.【答案】y=(x−2)2−8
【解析】解：y=x2−4x−4
=(x2−4x+4)−4−4
=(x−2)2−8．
故答案为：y=(x−2)2−8．
直接利用配方法得出二次函数的顶点式，进而得出答案．
此题主要考查了配方法求二次函数顶点式，正确配方是解题关键．
12.【答案】1
【解析】解：顶点纵坐标是4ac−b24a=4×(−1)×(−m)−224×(−1)=0，
整理得，4m−4=0，
解得m=1．
故答案为：1．
根据顶点坐标公式，顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0，然后列式球解即可．
本题考查了二次函数的性质，根据顶点x轴上则顶点的纵坐标等于0列式是解题的关键．
13.【答案】−7≤y<9
【解析】解：∵y=x2−6x+2=(x−3)2−7，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,−7)，
将x=−1代入y=x2−6x+2得y=1+6+2=9，
∴当−1故答案为：−7≤y<9．
将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数与不等式的关系．
14.【答案】y2【解析】解：∵二次函数的解析式为y=x2+3x+c，
∴抛物线的对称轴为x=−b2a=−1，
∵A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(3,y3)，
∴点C离对称轴最远，
∵抛物线开口向上，
−3<−1<3.5，
∴y2故答案为：y2先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=−1，然后比较三个点离对称轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
15.【答案】0【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，该函数取得最小值−4，
∴a>0，该函数解析式可以写成y=a(x−3)2−4，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>5，
∴当x=5时，y<0，
即a×(5−3)2−4<0，解得a<1，
∴a的取值范围为0故答案为：0根据二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，该函数取得最小值−4，可以写出该函数的顶点式，得到a>0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>5，可知，当x=5时，y<0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】−3【解析】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=−1，已知一个交点为(1,0)，
根据对称性，则另一交点为(−3,0)，
所以y>0时，x的取值范围是−3故答案为：−3根据抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为(1,0)，可推出另一交点为(−3,0)，结合图象求出y>0时，x的范围．
此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=−x2+bx+c的完整图象．
17.【答案】y=−3x+18
【解析】解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．
∴当Q到达B点，P在AD的中点时，△PAQ的面积最大是9cm2，设正方形的边长为acm，
∴12×12a×a=9，
解得a=6，即正方形的边长为6，
当Q点在BC上时，AP=6−x，△APQ的高为AB，
∴y=12(6−x)×6，即y=−3x+18．
故答案为：y=−3x+18．
根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．
本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．
18.【答案】11 28
【解析】解：∵点P的坐标为(n−1,n2+2n−3)，
∴点P是抛物线y=x2+4x上的点，
∵直线l的解析式为：y=x−5，
∴直线l与y轴和x轴交点分别为A(0,−5)，B(5,0)，
设平行于l的直线l′为y=x+b，
联立y=x+by=x2+4x得x2+4x=x+b，
化简得x2+3x−b=0，
令Δ=9−4×(−b)=0，
解得b=−94，
∴直线l′为y=x−94，
如图所示，
设直线l′与抛物线的切点为P，直线l′交y轴于点M(0,−94)，
作PQ⊥l，MN⊥l，
则PQ=MN，AM=114，OA=5，OB=5，AB=5 2，
在Rt△ABO和Rt△AMN中，sin∠BAO=MNAM=OBAB，
∴MN114=55 2，
∴MN=11 28，
∴PQ=11 28．
故答案为：11 28．
由题得到点P是抛物线y=x2+4x上的点，再由与直线l平行的直线与抛物线相切时，切点到直线的距离为所求的最小距离．
本题主要考查一次函数的性质，掌握直线与抛物线相切时，切点到直线的距离为最短距离是解题的关键．
19.【答案】解：(1)y=−2x2+4x+3=−2(x−1)2+5，
∵−2<0，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：(1,5)；
(2)∵抛物线的开口向下，
∴x>1时，y随x增大而减小，x<1时，y随x增大而增大．
【解析】(1)根据二次函数的性质进行解答即可；
(2)根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可．
本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)列表：
描点、连线如图；

(2)由图象可知：当y<0时x的取值范围是0【解析】(1)利用列表，描点，连线作出图形即可；
(2)写出函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−h)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
21.【答案】解：(1)图象经过点(2,1)，
∴4−4t+3=1，解得t=32．
(2)y=x2−2tx+3=(x−t)2+3−t2，
∴x=t时，y最小值=3−t2
①t≥3时，对称轴在直线x=3右侧或与x=3重合，
y最小值=32−2t×3+3=−6t+12=−2，解得t=73(舍去)；
②t<3时，对称轴在直线x=3左侧，
y最小值=3−t2=−2，解得t=− 5(舍去)或t= 5；
综上，t= 5．
【解析】(1)将点坐标代入解析式，求解；
(2)分情况讨论：①t≥3时，对称轴在直线x=3右侧或与x=3重合，②t<3时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解．
本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键．
22.【答案】解：(1)把B(3,0)，C(0,3)分别代入y=−x2+bx+c得−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设M(t,−t2+2t+3)(0∵MN//y轴，
∴N(t,−t+3)，
∴MN=−t2+2t+3−(−t+3)=−t2+3t，
∵MN=−(t−32)2+94，
∴当t=32时，MN有最大值，最大值为94．
【解析】(1)把B点和C点坐标分别代入y=−x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式；
(2)设M(t,−t2+2t+3)(0本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(40,300)、(55,150)代入，得：40k+b=30055k+b=150，
解得：k=−10b=700，
则y=−10x+700；
(2)设每天获取的利润为W，
则W=(x−30)(−10x+700)
=−10x2+1000x−21000
=−10(x−50)2+4000，
又∵−10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x<50时，W随x的增大而增大，
∴当x=46时，W取得最大值，最大值为−10×16+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=每件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
24.【答案】(1)0；
(2)描点画出如下函数图象：

(3)①3； ②−1【解析】解：(1)根据函数的对称性，m=0，
故答案为：0；
(2)见答案
(3)①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2−2|x|=0有3个根，
故答案为：3；
②x2−2|x|=a有4个实数根时，即y=x2−2|x|和y=a有4个交点，
从图象看，此时−1故答案为：−1(1)根据函数的对称性即可求解；
(2)描点画出函数图象即可；
(3)①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2−2|x|=0有3个根，即可求解；
②x2−2|x|=a有4个实数根时，即y=x2−2|x|和y=a有4个交点，从图象看，此时−1本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25.【答案】(1)证明：令y=0，则−x2+2mx−m2+3=0，
∵Δ=4m2+4(3−m2)=12>0，
∴函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；
(2)解：∵y=−x2+2mx−m2+3=−(x−m)2+3，
∴抛物线的顶点为(m,3)，
设直线AO的解析式为y=kx，
∴−2k=4，
解得k=−2，
∴y=−2x，
同理可求直线AB的解析式为y=−x+2，
当顶点在直线OA上时，−2m=3，
解得m=−32，
当顶点在直线AB上时，−m+2=3，
解得m=−1，
∴−32(3)解：翻折后的抛物线解析式为y=(x−m)2+3，
当直线y=x+2与抛物线y=(x−m)2+3有一个交点时，x+2=(x−m)2+3，
整理得，x2−(2m+1)x+m2+1=0，
∴Δ=(2m+1)2−4(m2+1)=0，
解得m=34，
当直线y=x+2与y=−(x−m)2+3有一个交点时，x+2=−(x−m)2+3，
整理得，x2−(2m−1)x+m2−1=0，
∴Δ=(2m−1)2−4(m2−1)=0，
解得m=54，
∴当34【解析】(1)利用一元二次方程的判别式Δ>0证明即可；
(2)画出函数图象，当抛物线的顶点在直线OA与直线AB之间时，抛物线的顶点在△ABO内部；
(3)先求出翻折后的抛物线解析式为y=(x−m)2+3，直线y=x+2与抛物线y=(x−m)2+3有一个交点时，此时图象G与直线刚好有两个交点，直线y=x+2与y=−(x−m)2+3有一个交点时，此时图象G与直线刚好有两个交点，再结合函数图象即可求m的范围．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象翻折的性质，数形结合是解题的关键．
26.【答案】3 11
【解析】解：(1)∵1≤1，
∴点(1,5)的1一分点坐标为(−1,−3)；
∵点(1,5)的1一分点在正比例函数y=mx图象上，
∴−3=−1×m，
∴m=3；
分情况讨论：①当a−2>2，即a>4时，点(a−2,6)的2一分点为(2−a,−6)，
∵点(a−2,6)的2一分点在直线y=x+3上，
∴−6=2−a+3，
∴a=11，
②当a−2≤2，即a≤4时，点(a−2,6)的2一分点为(2−a,−4)，
∵点(a−2,6)的2一分点在直线y=x+3上，
∴−4=2−a+3，
∴a=9(舍去)，
故答案为：3，11；
(2)①设N(m,m2−2m−3)，
∵点M为点N的3一分点，
∴当m>3，M(−m,−m2+2m+3)，其中x=−my=−m2+2m+3，
∴点M所在函数的解析式为：y=−x2−2x+3(x<−3)，
当m≤3，M(−m,−m2+2m+5)，其中x=−my=−m2+2m+5，
∴点M所在函数的解析式为：y=−x2−2x+5(x≥−3)，
故点M所在函数的解析式为y=−x2−2x+3(x<−3)或y=−x2−2x+5(x≥−3)；
②由点M所在函数的图象可知：
把y=−12代入y=−x2−2x+3(x<−3)得−x2−2x+3=−12，
解得x1=−5，x2=3(舍去)，
把y=−12代入y=−x2−2x+5(x≥−3)得−x2−2x+5=−12，
解得x1=−1+3 2，x2=−1−3 2(舍去)，
当y=6，代入y=−x2−2x+3(x<−3)得−x2−2x+3=6，此时方程无解，
当y=0，代入y=−x2−2x+5(x≥−3)得−x2−2x+5=0，
解得：x=−1+ 6或−1− 6(舍去)，
∴当−1+ 6≤m≤−1+3 2时，点M所在函数的函数值−12≤y≤6；
综上，当−5≤x≤m时，点M所在函数的函数值−12≤y≤6，其中m的取值范围为−1≤m≤−1+3 2．
(1)根据新定义计算即可，第二小问注意分类讨论，
(2)①分x<−3，x≥−3两种情况，根据变化定义，找到点M坐标，进而找到M点所在解析式，
②根据函数性质即可解答．
本题采取新定义的方式考查坐标变化、一次函数性质、二次函数性质，把握变化规律，结合图象特点，注意分类讨论是解题关键． x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
…