2024届山东省菏泽市菏泽一中八一路校区高三上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2024届山东省菏泽市菏泽一中八一路校区高三上学期11月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先化简复数，再根据共轭复数概念求，最后根据复数虚部概念得结果.
【详解】由，得
所以，则的虚部为：
故选：B
2．设全集，集合则= （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出集合，，进而求出，由此能求出．
【详解】解：全集，集合，
，
，
．
故选：．
3．设复数满足，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，得出的关系，结合其几何意义求解最值.
【详解】设，，，
相当于圆上的点到原点距离的最大值，
即圆心到原点距离加半径：.
故选：B
4．已知表示不超过实数的最大整数，若函数，函数的零点是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用零点存在定理，判断出所在区间，然后根据表示不超过实数的最大整数求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数的定义域、特殊值的正负即可得到答案.
【详解】由函数的定义域是，排除A；
当时有，，故，排除；
由解析式知：随的增大，的增速比快，故当趋向正无穷时会逐渐趋向于0，排除.
故选：.
6．已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0B．2021C．2022D．6
【答案】D
【分析】令，判断、的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答.
【详解】依题意，的定义域为R，令，则，
即是奇函数，有，则，
又，且有，即是偶函数，，
所以.
故选：D
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值可得点，再根据三角函数的定义和三角恒等变换，即可得到答案；
【详解】，，，
，
，
，
故选：B
8．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，平面平面，为上一点，为上一点，直线平面，则的面积为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】作于，作交于，连，证明且，
求出，再代入三角形的面积公式，即可得到答案；
【详解】作于，作交于，连，
，，，
面，面，，
面，，
，四边形为矩形，
且，且，
面，，
为的中点，，
，
故选：C.
二、多选题
9．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．当或时，取得最大值
D．当时，的最大值为21
【答案】BC
【分析】由等比中项的性质和等差数列的通项公式可求得，再运用等差数列的求和公式求得，再逐一判断可得选项.
【详解】解：由，即，，得：，
又，解得，所以B正确；
，所以A不正确；
，
，当或11时，最大，所以C正确；
时，即，解得，所以时的最大值为20，
所以D不正确，
故选：BC.
10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数的最小正周期为
D．函数的一个单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】利用函数图象变换可判断A选项的正误；利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，将函数的图象向右平移个单位，
可得到函数的图象，所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，函数的最小正周期为，C对；
对于D选项，当时，，D对.
故选：ACD.
11．函数，其图象的一个最高点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．时，函数单调递增
C．是函数图象的一条对称轴
D．图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【答案】AB
【分析】对于选项A：结合已知条件求出最小正周期，进而求出；对于选项B：利用点在的图像上，求出，而求出A，然后利用余弦函数的单调区间即可求解；对于选项C：利用代入法即可求解；对于选项D：通过平移变换求出解析式，根据奇函数性质和诱导公式可求得，，然后利用即可求解.
【详解】不妨设的最小正周期为，
由题意可知，，故且，解得，故A正确；
从而，由，
解得，，即，，
因为，所以，
故，
因为函数图象的一个最高点是，
所以，解得，
故，
对于选项B：由余弦函数的单调增区间可知，
由，，解得，，
从而的单调递增区间为，，
从而当时，函数单调递增，故B正确；
对于选项C：因为，
所以不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
对于选项D：由平移变换可知，，
因为是奇函数，所以，，即，，
因为，所以的最小值是，故D错误.
故选：AB.
12．法国数学家柯西（A. Cauchy. 1789-1857）研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为0.对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．在上单调递增
C．D．若恒成立，则的最小值为1
【答案】ACD
【分析】由解析式，由定义判断的奇偶性判断A的正误，利用复合函数的单调性判断的单调性并确定大小关系判断B、C的正误，由分段函数解析式及指数函数性质确定的值域，进而判断D的正误.
【详解】由且，则是偶函数，A正确；
因为在上递减，上递增，而在定义域上递增，所以在上递减，在(0,+)上递增，B错误；
由上可知：，C正确；
因为时；时，综上可知：，由恒成立，则，故的最小值为1，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知向量，，，则 .
【答案】
【分析】由向量间的线性关系及已知模长得，确定、的坐标，再应用向量数量积的坐标运算求
【详解】由题设，，又，
∴，可得，故，
∴.
故答案为：
14．函数在上存在零点，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据零点存在性定理，列出不等式即可求解.
【详解】因为在上存在零点，
所以，即
解得，
故答案为：
四、双空题
15．已知递增的等比数列中，，，成等差数列，前5项和，则 ；数列，⋯的前100项和为 ．
【答案】
【分析】直接利用等比数列的定义的应用和数列的求和公式的应用求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出数列的和．
【详解】设递增的等比数列中，首项为，公比为，
，，成等差数列，
前5项和，
则：，
整理得：，
解得：，
所以；
所以数列1，2，2，2，4，4，4，4，4，8，8，8，8，8，
故，①，
，②，
①﹣②得：，
整理得：，
所以：．
故答案为：；．
五、填空题
16．学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：①可将八个半径为的乒乓球分两层放置在里面；②每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③每个乒乓球与该容器的底面（或上盖）及侧面都相切，则该容器的高为 ．
【答案】
【分析】设、、、是下层四个球的球心，、、、是上层四个球的球心，作出正方形在平面上的射影，由边长关系结合勾股定理即可求解.
【详解】如图：设、、、是下层四个球的球心，、、、是上层四个球的球心，
每个球的球心与其相切球的球心距离等于，
正方形在平面上的射影是一个正方形，相当于把正方形绕其中心旋转所得，设点的射影为点，
则，，
所以，
所以，
所以容器的高为，
故答案为：.
六、解答题
17．如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛相距为5nmile，小岛与小岛相距为nmile，小岛与小岛相距为2nmile，为钝角，且.
(1)求小岛，，围成的三角形的面积；
(2)求小岛与小岛之间的距离.
【答案】(1)
(2)5nmile
【分析】(1) 利用余弦定理求出，再求出，代入面积公式.
(2)由四点共圆可知、互补，由(1)可求出与，再利用求出，利用正弦定理求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
所以
所以
所以小岛、、，围成的三角形的面积为.
（2）因为、、，四点共圆，所以与角互补，
所以，
因为，且为钝角，所以
所以
在，由正弦定理得：
所以
所以小岛与小岛之间的距离为5nmile.
18．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若关于x的不等式对恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用诱导公式，正弦的两角和公式，降次以及辅助角公式将化成，最后套用周期的公式即可；
（2）先求出再的值域，对恒成立，转化为，解出不等式即可.
【详解】（1）



所以，的最小正周期
（2）当时， ，，
所以，，
，
因为对恒成立，
所以，即，解得，
所以m的取值范围是
19．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且 .
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1).
(2)存在，，理由见解析.
【分析】（1）根据所选条件，利用等比中项的性质求基本量，写出通项公式；应用等差数列通项公式，结合已知求基本量，写出通项公式；根据关系求通项公式.
（2）根据所得通项公式可知有，有，由题设讨论确定的值及符号，即可判断存在性.
【详解】（1）是递增的等差数列，若公差为，
选①：，则，可得.
∴.
选②：，可得 ，
∴.
选③：当时，，
又，显然符合通项公式.
∴.
（2）由（1）知：，可得，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
综上，存在，使得取得最大值.
20．为净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中该净化剂释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为，其中，若多次喷洒，则某一时刻空气中净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？
(2)若第一次喷洒4个单位的净化剂，6小时后再喷洒2个单位的净化剂，问能否使接下来的4个小时内起到持续净化空气的作用？请说明理由.
【答案】(1)7
(2)能使接下来的4个小时起到持续净化空气的作用.理由见解析.
【分析】(1)根据题意可得，对x的取值分类讨论，解出对应的不等式即可；
(2)由(1)可知经过6个小时后第二次喷洒净化剂时，空气中仍有的浓度，再求出第二次喷洒在4小时后留存的浓度，加起来即可.
【详解】（1）由题意知，当时，，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以，
综上，，即一次喷洒4个单位的净化剂，净化时间约为7小时；
（2）能使接下来的4个小时内起到持续净化空气的作用.理由如下：
由(1)知，第一次喷洒4个单位的净化剂，净化时间约为7小时，
所以6个小时后，第二次喷洒2个单位的净化剂时，
空气中仍有浓度的净化剂，加上第二次喷洒，在4小时后留存的浓度为：
，
因此这样的操作可以使接下来4个小时起到持续净化空气的作用.
21．在①；②的面积；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在中，它的内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，______．
(1)求的最小值；
(2)若为上一点，且满足，判断的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)任选①②③，结果都是3
(2)直角三角形
【分析】（1）选①，用正弦定理求得，选②，由三角形面积公式求得，选③，由余弦定理求得，然后再由余弦定理求，结合基本不等式得最小值；
（2）设，在中用正弦定理求得，再在中应用正弦定理可得的关系式，从而求得，再得，可判断三角形形状．
【详解】（1）选①，，
由正弦定理得，又是三角形内角，，
所以，而为锐角，所以，
，当且仅当时等号成立，所以．
选②，
，所以，是锐角，所以，
，当且仅当时等号成立，所以．
选③，，
由余弦定理，是锐角，所以．
，当且仅当时等号成立，所以．
（2）设，则，，，
中，，，，
中，，，
，
，，，所以，从而，
是直角三角形．
七、证明题
22．已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；
(3)若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)函数在点处的切线斜率为正．理由见解析．
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得单调区间；
（2）由导数求得的斜率，从而得的斜率为，设的切点坐标为，利用导数几何意义得得出关于的方程，再引入新函数，利用导数证明此方程有正数解；
（3）求出，，由得出用表示的式子，中就消去了，通过设，得到关于的函数，而且，利用不等式的性质和导数的知识确定其正负即可．
【详解】（1）的定义域是，，
时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
（2），，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，
所以的斜率为，于是的斜率为
设的切点坐标为，
由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，递增，而，所以 ，
时，，递减，又，
所以存在，使得，
因此关于的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数；
（3），，
因为函数的图象与轴交于两2点，，且．
所以，两式相减得：，
，
因为，，所以，又，，
所以，
下面考虑即的符号，
令，，
设，，
，
因为，所以，，
所以在上恒成立，
所以在上是增函数，所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以函数在点处的切线斜率为正．
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，导数的几何意义，研究方程根的分布等等，解题关键是掌握转化与化归思想，方程有正数解问题转化为函数有正的零点，这就可结合零点存在定理用导数知识来研究函数的性质，判断函数值的正负，通过换元法，设，化不确定为确定，化二元为一元：，转化为研究函数的正负．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题．