2023-2024学年度初三秋季B版第8讲：相似三角形的模型（二）(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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第8讲：相似三角形的模型（二） 【重要考点目录】 模块3：反“A”模型与反“8”模型 模块4：共角共边模型 模块5：一线三等角模型 【重要考点讲解】 模块1：反“A”模型与反“8”模型 【知识精讲】 【典例精讲】 例题1．如图，把绕点旋转得到，当点刚好落在上时，连接，设、相交于点，则图中不全等的相似三角形共有 　　对． 例题2．如图，在中，、分别是、边上的高，求证：． 模块4：共角共边模型 【典例精讲】 例题3．（1）（2019•淄博）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为　　 A． B． C． D． （2）（2021•南充）如图，在中，为上一点，，则的值为 　　． （3）（2019•贵港）如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为　　 A． B． C． D．5  （4）（2022•杭州）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合），连接，，．设与直径交于点．若，则　　度；的值等于 　　． （5）（2023•济南）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是　　 A． B． C． D． 例题4．（1）（2019•宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则　　． （2）如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是　　 A． B． C． D． （3）如图，在中，，过点作于点，点为线段的中点，连结，过点作于点．设，，则图中可以表示的线段是　　 A． B． C． D． 模块5：一线三等角模型 【知识精讲】  【典例精讲】 例题5．（2017•宿迁）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点、分别在边、上． （1）求证：； （2）当点移动到的中点时，求证：平分． 例题6．（2015•贺州）如图，在中，，点是边上的一动点（不与，重合），，交于点，且，有以下的结论：①；②当时，与全等；③为直角三角形时，为12或；④，其中正确的结论是　　（填入正确结论的序号） 例题7．（2023•东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，．若，，则的长为　　 A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2  例题8．（1）（2019•凉山州）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为　　． （2）（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边的长为 　　． （3）（2022•黑龙江）在矩形中，，，点在边上，且，点是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 　　．  例题9．（2023•青秀三中校一模）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为 　　； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．  第8讲：相似三角形的模型（二）课后巩固 1．（2019•赤峰）如图，、分别是边，上的点，，若，，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，则的值为　　． 3．（2020•贵港）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为　　 A．2 B． C．3 D． 4．（2016•安徽）如图，中，是中线，，，则线段的长为　　 A．4 B． C．6 D．  5．（2018•雅安）已知：如图，在中，，，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，则线段的长为　　 A． B． C． D． 6．（2019•西藏）如图，在中，，点是边上的一点，于，，，则边的长为　　． 7．（2019•泸州）如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则的长为　　． 8．（2017•巴彦淖尔）如图，在正方形中，点，分别在，上，如果，，，那么正方形的边长等于　　． 9．（2015•娄底）一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为　 　． 10．（2014•宿迁）如图，在直角梯形中，，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，点是线段的中点，，下列结论中，①与相似；②与相似；③；④，其中正确的是　　 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 12．（2023•绥化）如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为　　 ① ② ③当时， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个  13．（2023•湘潭）在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 14．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形的边、的延长线相交于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求的值． 基本图形重要结论条件： ①； ②连接、，交于点，则 (ⅰ) ； (ⅱ) ； (ⅲ) ．本质：、、、四点共圆，由此得到的割线定理，相交弦定理条件： ①； ②连接、，则 ．本质：、、、四点共圆，由此得到的相交弦定理基本图形重要结论 “子母”模型 ．射影定理 ①； ②； ③．基本图形重要结论条件： ①； ②当为中点时，则．条件： ①； ②当为中点时，则． 变形