高中数学4.3 等比数列课堂教学ppt课件

这是一份高中数学4.3 等比数列课堂教学ppt课件，共11页。PPT课件主要包含了复习引入，探究新知，当q≠1时，典例分析，＝a1＋qS偶，S奇＝a1＋qS偶，S偶＝qS奇，小试牛刀，课堂练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

4.3.2 等比数列的前n项和公式应用
1.等比数列前n项和公式：
2.等比数列求和要考虑公比是否为 1.
3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.
若等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn，则Sn, S2n－Sn, S3n－S2n成等比数列,其中公比为qn.
4.等比数列的片段和性质：
消元方法：约分或两式相除
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
解: 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
例2 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.
解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80 ∴S奇＝－80，S偶＝－160，
变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.
例4 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
(3)利用(2)的结论可得出解答.
1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x ＋ 2x2 ＋ 3x3 ＋ 4x4 ＋ … ＋ nxn xSn＝ x2 ＋ 2x3 ＋ 3x4 ＋ … ＋ (n－1)xn ＋nxn＋1 ∴(1－x)Sn ＝x ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＋ … ＋ xn －nxn＋1
1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：
2.等比数列的S奇与S偶之间的关系：
分组求和法、错位相减法