人教版高中物理新教材同步讲义选修第二册 第1章　专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析）

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带电粒子在有界匀强磁场中的运动 [学习目标]　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动.2.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题.3.了解多解成因，会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题． 一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示． 2．平行边界 3．圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示． (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示． 4．三角形边界磁场 如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示． 考向1　直线边界的磁场 例1　(多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同，分别带正电和负电的粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后垂直于磁场方向射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则两个粒子在磁场中(　　) A．运动轨迹的半径相等 B．重新回到边界所用时间相同 C．重新回到边界时的速度大小和方向相同 D．重新回到边界时与O点的距离相等 答案　ACD 解析　带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB)，由题知q、m、v、B大小均相等，则r相等，选项A正确；粒子的运动周期T＝eq \f(2πm,qB)，由题知q、m、B大小均相同，则T相同；两粒子的运动轨迹如图所示，带正电的粒子逆时针偏转，带负电的粒子顺时针偏转，重新回到边界时，带正电的粒子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹对应的圆心角也为2π－2θ，运动时间为t＝eq \f(2π－2θ,2π)T＝eq \f(π－θ,π)T；同理，带负电的粒子运动时间为t′＝eq \f(2θ,2π)T＝eq \f(θ,π)T，所用时间不等，选项B错误；两个粒子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据对称性可知，两粒子重新回到边界时的速度大小与方向均相同，选项C正确；根据几何知识得知，两粒子重新回到边界时与O点的距离均为2rsin θ，选项D正确． 考向2　圆形边界的磁场 例2　在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出． (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷eq \f(q,m)； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B′的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t. 答案　(1)负电荷　eq \f(v,Br)　(2)eq \f(\r(3),3)B　eq \f(\r(3)πr,3v) 解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝meq \f(v2,R)， 则粒子的比荷eq \f(q,m)＝eq \f(v,Br). (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝eq \f(r,tan 30°)＝eq \r(3)r，又R′＝eq \f(mv,qB′)，所以B′＝eq \f(\r(3),3)B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝eq \f(1,6)T＝eq \f(1,6)×eq \f(2πR′,v)＝eq \f(\r(3)πr,3v). 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法 二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． (1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长． (3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长． 例3　如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是(　　) A．v>eq \f(Bed,m1＋cos θ) B．v<eq \f(Bed,m1＋cos θ) C．v>eq \f(Bed,m1＋sin θ) D．v<eq \f(Bed,m1＋sin θ) 答案　A 解析　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹与EF相切，如图所示．由几何知识得： R＋Rcos θ＝d，R＝eq \f(mv0,eB)， 解得v0＝eq \f(Bed,m1＋cos θ)，当v＞v0时，即能从边界EF射出，故A正确． 例4　(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae) C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae) 答案　C 解析　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB＝meq \f(v2,r)，联立解得B＝eq \f(3mv,4ae)，故选C. 三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解． 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况． 考向1　临界状态不唯一形成多解 例5　(多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v<eq \f(Bql,4m) B．使粒子的速度v>eq \f(5Bql,4m) C．使粒子的速度v>eq \f(Bql,m) D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)eq \f(mv,3qs) B．垂直纸面向里，B>eq \f(mv,qs) C．垂直纸面向外，B>eq \f(3mv,qs) D．垂直纸面向外，B>eq \f(mv,qs) 答案　BC 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝eq \f(1,2)OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝eq \f(mv2,R2)，所以得B>eq \f(mv,qs)，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转； 负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝eq \f(s,3)，所以当离子运动轨迹的半径小于eq \f(s,3)时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝eq \f(mv2,R1)，所以得B>eq \f(3mv,qs)，选项C正确，D错误． 解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解． 训练1　带电粒子在有界磁场中的运动 1.如图所示，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场力作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，由这些条件可知(　　) A．带电粒子一定带正电 B．不能确定粒子速度的大小 C．不能确定粒子射出此磁场的位置 D．不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间 答案　A 解析　粒子沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故粒子向左偏转，由左手定则可知，粒子带正电，且轨迹半径R＝x0，故粒子射出磁场时的位置在y轴上距原点x0处，由半径R＝eq \f(mv,qB)可得速度v＝eq \f(qBx0,m)，运动时间t＝eq \f(T,4)＝eq \f(πm,2Bq)，选项A正确． 2.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶eq \r(3) D．1∶1 答案　B 解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,R)，又T＝eq \f(2πR,v)，解得T＝eq \f(2πm,qB)，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确． 3.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　) A.eq \f(\r(3)mv0,3qR) B.eq \f(mv0,qR) C.eq \f(\r(3)mv0,qR) D.eq \f(3mv0,qR) 答案　A 解析　粒子的运动轨迹如图所示， 粒子做圆周运动的轨道半径 r＝eq \f(R,tan 30°)＝eq \r(3)R 根据洛伦兹力提供向心力得 qv0B＝meq \f(v02,r)，解得B＝eq \f(\r(3)mv0,3qR)，故A正确． 4.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于(　　) A．1∶(2－eq \r(3)) B．(2－eq \r(3))∶1 C．2∶1 D.eq \r(3)∶1 答案　B 解析　设带电粒子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系可知cos θ＝eq \f(r－d,r) 解得r＝eq \f(d,1－cos θ)，带电粒子做匀速圆周运动 qvB＝eq \f(mv2,r)，v＝eq \f(rqB,m)∝r 联立可得v1∶v2＝(2－eq \r(3))∶1，故B正确． 5.如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质子和α粒子(氦原子核)先后以相同的动能对准圆心O射入磁场，若粒子只受磁场力的作用，已知质子在磁场中偏转的角度为90°，则α粒子在磁场中偏转的角度是(　　) A．30° B．45° C．90° D．120° 答案　C 解析　质子和α粒子的质量之比为1∶4，所带电荷量之比为1∶2，质子和α粒子具有相同的动能，故两者的速度之比为2∶1；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)，可知质子和α粒子在磁场中做圆周运动的半径相等，所以转过的角度相同，即α粒子也偏转90°，故C正确，A、B、D错误． 6．(多选)(2022·信宜市高二月考)如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上．不计重力．下列说法正确的有(　　) A．a、b均带正电 B．a在磁场中运动的时间比b的短 C．a在磁场中运动的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的近 答案　AD 解析　离子要打在屏P上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则可知，离子都带正电，选项A正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，因初速度大小也相同，由qvB＝meq \f(v2,r)可知，它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a在磁场中运动的路程比b的长，选项C错误；由t＝eq \f(l,v)可知，a在磁场中运动的时间比b的长，选项B错误；从图上可以看出，选项D正确． 7.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　) A．从P射出的粒子速度大 B．从Q射出的粒子速度大 C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案　BD 解析　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RPeq \f(2mv0,ae) B．B<eq \f(2mv0,ae) C．B>eq \f(\r(3)mv0,ae) D．B<eq \f(\r(3)mv0,ae) 答案　D 解析　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R＝eq \f(\f(a,2),cos 30°)＝eq \f(\r(3),3)a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于eq \f(\r(3),3)a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)有eq \f(\r(3),3)a<eq \f(mv0,eB)，即B<eq \f(\r(3)mv0,ae)，D项正确． 3.直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力．粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　) A.eq \f(mv,2qB) B.eq \f(\r(3)mv,qB) C.eq \f(2mv,qB) D.eq \f(4mv,qB) 答案　D 解析　带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r＝eq \f(mv,qB).由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D为一直线段，eq \x\to(OD)＝eq \f(\x\to(CD),sin 30°)＝2eq \x\to(CD)＝4r＝eq \f(4mv,qB)，故D正确． 4.(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A.eq \f(qBd,m) B.eq \f(2＋\r(2)qBd,m) C.eq \f(qBd,2m) D.eq \f(2－\r(2)qBd,m) 答案　BD 解析　设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(mv,qB).带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大．若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R＋Rcos 45°＝d， 解得R＝(2－eq \r(2))d， 对应的速率v＝eq \f(2－\r(2)qBd,m). 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R－Rcos 45°＝d， 解得R＝(2＋eq \r(2))d. 对应的速率v＝eq \f(2＋\r(2)qBd,m).故选B、D. 5.如图所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点．在圆心O处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A．粒子一定带正电 B．粒子第一次在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB) C．粒子运动的速度大小为eq \f(\r(3)qBr,2m) D．磁场外边界圆的半径至少为eq \r(3)r 答案　D 解析　根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒子带负电，选项A错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝eq \f(2,3)T＝eq \f(4πm,3qB)，选项B错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝rtan 30°＝eq \f(\r(3),3)r，根据牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \f(\r(3)qBr,3m)，选项C错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋eq \f(r,cos 30°)＝eq \r(3)r，选项D正确． 6．(多选)(2022·寿光市现代中学高二下月考)如图所示，直角三角形的AB边长为L，∠C＝30°，三角形区域内存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从A点沿AB方向以速度v0射入磁场，要使粒子不从BC边穿出磁场，则下列说法正确的是(　　) A．磁感应强度的最小值为eq \f(mv0,qL) B．磁感应强度的最小值为eq \f(\r(3)mv0,2qL) C．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(2πL,3v0) D．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πL,3v0) 答案　AC 解析　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得qv0B＝meq \f(v02,r)，可得B＝eq \f(mv0,qr)，可知半径r越大，磁感应强度越小，要使粒子不从BC边穿出磁场，画出半径r最大时的轨迹，如图所示，由几何关系可知，四边形OABD是正方形，故圆弧轨迹半径为L，可得磁感应强度的最小值Bmin＝eq \f(mv0,qL)，A正确，B错误；粒子从AC边射出时在磁场中转过的圆心角为120°，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝eq \f(2πm,Bq)，可知B最小时，周期最大，粒子运动时间最长，最长时间为t＝eq \f(120°,360°)Tmax＝eq \f(1,3)×eq \f(2πm,Bminq)＝eq \f(2πL,3v0)，C正确，D错误． 7．(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　) A.eq \f(\r(3)qBL,6m) B.eq \f(\r(3)qBL,3m) C.eq \f(\r(3)qBL,2m) D.eq \f(\r(3)qBl,m) 答案　AB 解析　由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝eq \f(\r(3),3)·eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝meq \f(v2,r)，则v＝eq \f(qBr,m)＝eq \f(\r(3)qBL,3m)·eq \f(1,n)(n＝1,2,3，…)，选项A、B正确． 8.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求： (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； (2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02； (3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间． 答案　(1)eq \f(BqL,m)　(2)eq \f(BqL,3m)　(3)eq \f(5πm,3Bq) 解析　(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示， 若粒子速度大小为v0，则 qv0B＝meq \f(v02,R)，解得：v0＝eq \f(qBR,m). (1)设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01 由几何关系得：R1sin θ＝eq \f(L,2)，解得R1＝L 则有：v01＝eq \f(qBR1,m)＝eq \f(qBL,m). (2)设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02 由几何关系得：R2＋R2sin θ＝eq \f(L,2)，解得R2＝eq \f(L,3) 则有：v02＝eq \f(qBR2,m)＝eq \f(qBL,3m). (3)由t＝eq \f(α,2π)T和T＝eq \f(2πR,v0)＝eq \f(2πm,qB)可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长．当在磁场中运动的半径r