专题01 安培力与洛伦兹力-磁场中的临界、极值问题--高中物理同步练习分类专题教案（人教版选择性必修第二册）

第一章 安培力与洛伦兹力

专题01：安培力与洛伦兹力——磁场中的临界、极值问题

一、选择题

1.()(多选)如图，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域，对从右边离开磁场的电子，下列判断正确的是 (　　)

A.从a点离开的电子速度最小

B.从a点离开的电子在磁场中运动的时间最短

C.从b点离开的电子运动半径最小

D.从b点离开的电子速度偏转角最小

2.()如图所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行于纸面的方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是 (　　)

A.粒子一定带正电

B.粒子第一次在磁场中运动的时间为

C.粒子运动的速度大小为

D.磁场外边界圆的半径至少为r

3.()如图所示，边界OM与ON之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界ON上有一粒子源S。某一时刻，从粒子源S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相等，经过一段时间，有大量粒子从边界OM射出磁场。已知∠MON=30°，从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OM射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 (　　)

A.T  B.T               C.T                            D.T

4.()如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆所夹的环状区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对应的圆心角为120°。若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，要求不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则v1∶v2至少为 (　　)

A.  B. 

C.  D.

5.()如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方，距离平板MN为d，P在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做匀速圆周运动的半径大小也为d，则粒子 (　　)

A.打在板上的区域长度为2d

B.打在板上的位置距P点的最远为d

C.到达板上的最长时间为

D.到达板上的最短时间为

6.()(多选)如图所示，等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开磁场区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是 (　　)

A.速度的最大值为

B.速度的最小值为

C.在磁场中运动的最短时间为

D.在磁场中运动的最长时间为

7.()如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在等边三角形ABC内，D是AB边的中点，一群相同的带负电的粒子仅在洛伦兹力作用下，从D点沿纸面以平行于BC边方向、大小不同的速率射入三角形区域内，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知粒子在磁场中运动的周期为T，则下列说法中正确的是 (　　)

A.若某粒子在磁场中经历的时间为T，则它一定从BC边射出磁场

B.若某粒子在磁场中运动的时间为T，则它一定从AC边射出磁场

C.速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动的时间长

D.若某粒子在磁场中运动的时间为T，则它一定从AB边射出磁场

二、非选择题

8.()如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在-x轴上的a点以速率v0沿与x轴负方向成60°角的方向射入磁场，然后经y轴上的b点(0，L)沿垂直于y轴的方向进入电场，并从x轴上x=L处的c点进入第Ⅳ象限，此后粒子做匀速直线运动，进入矩形有界匀强磁场区域(图中未画出)，并从矩形磁场边界上的d点射出，速度沿x轴负方向，不计粒子重力。求：

(1)粒子在第Ⅱ象限的运动时间t；

(2)电场强度E的大小及粒子射出电场时的速度偏转角θ；

(3)矩形有界匀强磁场的磁感应强度B0的大小以及其最小面积Smin。

9.()如图所示，MN为绝缘板，C、D为板上的两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外(图中未画出)，质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点沿平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点)，已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若粒子恰好沿图中虚线做圆周运动，然后从小孔C垂直于MN进入下方磁场。

(1)求粒子运动的速度大小；

(2)粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形有界匀强磁场，并从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少?MN上下两磁场的磁感应强度大小之比为多少?

(3)粒子从A点出发后，第一次回到A点所经历的总时间为多少?

答案全解全析

1.BC　对于从右边离开磁场的电子，从a点离开的轨迹半径最大，从b点离开的轨迹半径最小，根据r=，知轨迹半径大，电子的速度大，则从a点离开的电子速度最大，A错误，C正确。从a点离开的电子速度偏转角最小，则轨迹对应的圆心角θ最小，根据t=T=·=，知运动时间与电子的速度无关，θ越小，运动的时间越短，选项B正确，D错误。

2.D　根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒子带负电，选项A错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t=T=，选项B错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R=r tan 30°=r，根据牛顿第二定律有qvB=m，解得v=，选项C错误；磁场外边界圆的半径至少为r'=R+=r，选项D正确。

3.A　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在直线OM上时，出射点与S点的连线为粒子轨迹对应的一条弦。当从边界OM射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹对应的弦最短，根据几何知识，作ES⊥OM，则ES为最短的弦，粒子从S到E的时间即最短运动时间。

由题意可知，粒子在磁场中运动的最长时间等于T，设OS=d，则DS=OS tan 30°=d，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r==d，由几何知识知ES=OS sin 30°=d，故在△O1ES中，由余弦定理得cos θ==-，则θ=120°，粒子在磁场中运动的最短时间为tmin=T=T，选项A正确，B、C、D错误。

4.A　粒子沿PO方向以速度v1射入磁场时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r1==；洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv1B=m，解得v1=。假设粒子从P点竖直向上射入磁场，如果粒子不能进入小圆区域，则所有粒子都不可能进入小圆区域；粒子从P点竖直向上射入磁场恰好不能进入小圆区域时，轨迹半径r2=，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv2B=m，解得v2=。故v1∶v2=，选项A正确，B、C、D错误。

5.C　打在平板上粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系知，带电粒子打到板上的区域长度l=d+d=(1+)d，选项A错误；由图甲结合几何关系可知，打在板上最远的点与P点间的距离是2d，选项B错误；在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图乙所示，则最长时间t1=T，最短时间t2=T，又知粒子在磁场中运动的周期T=，则t1=，t2=，选项C正确，D错误。

甲

乙

6.AD　粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示，由几何知识可知r1=，=O2c=r2+l，解得r2=(1+)l。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得v=，故粒子的最大速度为vmax==，最小速度vmin==，选项A正确，B错误。由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知，粒子轨迹对应的最大圆心角θmax=180°，最小圆心角θmin>45°，粒子做圆周运动的周期T=，则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=T>，最长时间tmax=T=，选项C错误，D正确。

7.B　若带电粒子刚好从BC边射出磁场，其运动轨迹与BC边相切，可知轨迹对应的圆心角为180°，粒子在磁场中经历的时间为T；若带电粒子刚好从AC边射出磁场，运动轨迹与AC边相切，作图可得切点为C点，由几何关系可知轨迹对应的圆心角为60°，粒子在磁场中经历的时间为T；若带电粒子从AB边射出磁场，可知轨迹对应的圆心角为240°，粒子在磁场中经历的时间为T。由以上分析可知，若某粒子在磁场中经历的时间为T，则它一定从AB边射出磁场，A错误；若该粒子在磁场中运动的时间为T，小于T，则它一定从AC边射出磁场，B正确；若某粒子在磁场中运动时间为T，即大于T且小于T，则它一定从BC边射出磁场，D错误；若这些带电粒子都从AB边射出磁场，其运动轨迹所对的圆心角都为240°，粒子在磁场中经历的时间都为T，选项C错误。

8.答案　(1)　(2)　60°　(3)　

解析　(1)根据题意可知，粒子在匀强磁场中的运动轨迹对应的圆心角α=120°，则得t=T=

而T==

联立得t=

(2)设带电粒子在电场中运动的加速度为a，运动时间为t，离开电场时，沿竖直方向的速度大小为vy，则

在水平方向有：L=v0t

在竖直方向有：a=，L=at2

联立解得E=

tan θ===

得θ=60°

(3)粒子进入矩形有界匀强磁场时的速度v==2v0

在匀强磁场中，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB0=m

由几何关系有r+=L

得r=

联立得B0=

如图，以切点e、d的连线为矩形的一条边，其对边与粒子的运动轨迹相切，则有界匀强磁场区域面积为最小。

则Smin=r×=

9.答案　(1)　(2)R2　　(3)2π

解析　(1)由题可知，粒子进入静电分析器做匀速圆周运动，则有

Eq=

解得v=

(2)粒子从D到A做匀速圆周运动，轨迹如图中实线所示：

由图示知，三角形磁场区域面积最小值为S=

在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=

得r=

设MN下方磁场的磁感应强度为B1，上方磁场的磁感应强度为B2。

若粒子与MN板只碰撞一次，则有R1==

R2=R=

故==

若粒子与MN板碰撞n次，则有R1==

R2=R=

故==

(3)粒子在电场中运动的时间t1==

在MN下方的磁场中运动的时间

t2=×2πR1×=πR=π

在MN上方的磁场中运动的时间t3=×=

总时间t=t1+t2+t3=2π