第19讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）（2类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

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（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义
3能运用拉格朗日中值定理解题
【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习
知识讲解
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；
（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．
2.拉格朗日中值定理的几何意义
如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．
需要注意的地方（逆命题不成立）
拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于
切线斜率,如fx=x3在x=0处的切线斜率为0,但fx不存在割线使割线斜率等于0
拉格朗日公式还有下面几种等价形式
，
，
．
注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．
考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用
1．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
3．（2023·全国·高三专题练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
1．（2023·全国·高三专题练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．（2023·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为 .
考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用
设 ,
求证: 当 时, 对任意 , 有
设 ,
当 时, 若对任意的 成立, 求的取值范围
设 , 若对任意 , 都有 , 求的范围
1．已知函数，若对任意都有恒成立，求的取值范围
设的导函数是,对任意两个不相等的正数,
当时,证明:
3．（2022秋·云南保山·高二校考阶段练习）设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围．
4．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）设,证明.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间内存在导函数，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在区间上的中值点.若关于函数在区间上“中值点”个数为，函数在区间上“中值点”的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）设在可导，且，又对于内所有的点有证明方程在内有唯一的实根．
3．（2023·全国·高三专题练习）试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间．
4．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
5．（2023·全国·高三专题练习）设在上连续，在内可导，且．求证：存在，使．
6．（2023·全国·高三专题练习）验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的．
8．（2023·全国·高三专题练习）设，证明：对任意的实数，当时，关于x的方程在区间上恒有实数解．
9．（高考真题）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
10．（2022·广东·统考一模）已知，为的导函数.
(1)若对任意都有，求的取值范围；
(2)若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立.