第18讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（高阶拓展）（1类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第18讲 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用（高阶拓展）（1类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共60页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数解决函数基本问题
2能求解含参不等式的基本问题
3能利用端点效应解决含参不等式恒成立问题
【命题预测】求解含参不等式恒成立问题中参数的取值范围是高考中的常考题型，解决这类问题的基本方法有三种: 1.分离参数、构造函数求参数取值范围；2.构造含参函数，通过讨论参数取值范围将问题转化为求函数最值问题；3.通过所构造函数在定义域端点处满足的条件，缩小参数的取值范围，求出使不等式恒成立的必要条件，再证明充分条件，得出参数的取值范围，即所谓的“端点效应”，其中端点效应需要学生重点复习掌握，也是高考热点问题
知识讲解
端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，
这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件
利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
(3) 若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
端点效应的类型
1.如果函数在区间上,恒成立,则或.
2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.
3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.
考点一、端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的应用
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）
【法一】设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【法二】端点效应
(2)
由于 , 且的
,
注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减
, 不成立.
另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 .
单调递减, . 特上所述: .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．
只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，
令，
则，
所以当时，单调递减；
当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．
综上．
[方法三]：指数集中
当时，恒成立，
记，
，
①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意；
②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，
所以若满足，只需，即，所以当时，成立；
③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立，
所以时，满足题意.
综上，.
【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；
方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！
一、单选题
1．（全国·高考真题）若函数在上单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
二、填空题
2．（·浙江·高考真题）已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是
【答案】
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
三、解答题
3．（全国·高考真题）已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
4．（全国·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
5．（全国·高考真题）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.
【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间；
（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果.
【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增区间为，减区间为．
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当时，.
设，则.
当时，；
当时，.所以是的最小值点.
故当时，.因此，当时，.
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．
设，则．
所以在区间内单调递减，故，即成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证时，即，则证成立．
令，则．
令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．
所以，而，所以恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．
由，得．
．
当且仅当，即时，，所以．
［方法五］：异构
要证明，即证，
即证明，再证明即可．
令，．
设，则．
若时，在上恒成立，所以；
若时，当时；当时，．
所以为的极小值点，则．
因为，所以，所以．
令．
当时，；当时，，所以为的极小值点．
则，所以，即．
所以．
［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数
．
令，则．
令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立．
【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；
方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；
方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；
方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样；
方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；
方法六：基本类似于方法三．
【能力提升】
1．（2023·江苏南通·高三）已知函数，.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)若关于的不等式对任意的实数恒成立，其中为自然对数的底数，求的取值范围.
【答案】(1)：
(2).
【分析】（1）代入，然后求导，通过导函数来判断原函数单调性，最后简单计算可得结果.
（2）对、进行讨论，然后通过对式子化简变形分离参数，进一步使用不等式，最后简单判断即可.
(1)
当时，，，令，
且当时，，↗；当时，，↘，
∴.
(2)
对任意的恒成立，
即对恒成立，
当时，显然成立.
当时，，
由，
当且仅当，时取“”，∴取不到“”，即，
∴，的取值范围为.
2．（2023·江苏南通·高三）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【详解】（1）时，，，
令，.
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）法一：常规求导讨论
.
①当时，令
且当时，，；当时，，.
注意到，时，符合题意.
②当时，，在上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时只需，显然成立.
④当时，令，，
且当在上，上，上.
此时只需.
综上：实数的取值范围.
法二：参变分离
①时，不等式显然成立.
②当时，，令，
.
令且当时，，；当时，，，
∴，∴.
3．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数（其中是自然对数的底数），.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数进行求导，通过构造函数利用导数可以判断出的导函数的正负性，进而确定函数的单调性；
（2）已知不等式变形为：，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，所以.
令，则，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.所以，
又，所以在定义域上单调递增.
（2）由得，即，所以，
即对任意恒成立，
设，则，所以当时，，函数单调递增，
且当时，，当时，，
若，则，若，因为，
且在上单调递增，所以，
综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.
设，则，
所以在单调递增，所以，
即的取值范围为.
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质进行求解是解题的关键.
4．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据, 求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解.
（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可.
【详解】（1）解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令，
则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
5．（2023·四川·高三期中）已知函数．
(1)证明：
(2)若对任意都有，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令，求导利用导数正负判断单调性可得；
（2）由，只需证对任意的正实数恒成立即可，构造函数，利用导数求解单调性即可判断.
【详解】（1）证明：令，则，
由解得，由解得，
所以在单调递减，在单调递增，
则；
（2）由，下证的最大值为，
即证对任意的正实数恒成立；
令，
则，
当时，；
当时，，，所以；
综上在上恒成立在上单调递增；
由可得，在单调递减；在单调递增．
可得，所以的最大值为．
6．（2023·江苏·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分，讨论研究的正负情况即可；
（2）将原不等式转化为对任意的恒成立，令，利用导数的知识求出的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算的导函数的零点，求出的单调性，进而计算的最小值.
(1)
由已知
当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，令，得，
若，，若，，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
综合得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
(2)
，即
对任意的恒成立，
令
则
令，则
在上单调递增，
又，，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
由得
，
设，，
即在上单调递增，
由得，
，即有
，
.
【点睛】关键点点睛：
1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质；
2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零点，进而可以写出函数的单调性.
7．（重庆市2022届高三上学期第四次质量检测数学试题）已知函数，其中.
(1)当时，讨论在上的单调性；
(2)若对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.
（1）
当时，，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.
所以，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
令，则.
当时，，所以.
当时，，故在上单调递增.
又，故.
当时，令，则，故在上单调递增.
故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，，故不符合 .
综上所述，的取值范围为.
8．（2023·河南新乡·高三原阳一中校考阶段练习）已知，．
(1)求的单调区间；
(2)若时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)在单调递减，在单调递增.
(2)
【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
(1)
，，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
(2)
当时，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在单调递增，且，
在恒成立，在单调递增，，
.
9．（2023·陕西安康·高三）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.
【详解】（1）当时，，，，
易知在单调递增，且，
所以时，，时，
∴在单调递减，单调递增，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
，，易知在单调递增，
且，，
∴，且在单调递减，单调递增，
∴，且，
∴，
易证，
∴，∴，
∴，∴
∴.当时，，
∴实数a的取值范围是.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）先求出，容易得到，对导函数再次求导，进而得到的符号，最后求出原函数的单调性；
（2）讨论和两种情况，当时进行参变分离，进而通过导数方法求出函数的最值，最后求出答案.
(1)
，由题意得，，
设，则，
易知当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，
∴在上单调递减．
(2)
当时，，满足题意；
当时，由题已知．
设，，
则
，
由（1）可知，当时，，即，∴当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴，即．
综上可知，实数a的取值范围是．
【点睛】导数的主要作用是判断函数的单调性，而导数值的符号与原函数的单调区间密切相关，因此判断导数值的符号至关重要，判断导数值的符号的关键在于寻找“零点”、因式分解，本题的难点就是对的因式分解.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国甲卷理数，第21题,12分
端点效应
利用导数求函数的单调区间（不含参）
利用导数研究不等式恒成立问题
2021年全国甲卷文数，第20题,12分
端点效应
用导数判断或证明已知函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
2021年全国Ⅰ卷理数，第21题,12分
端点效应
用导数判断或证明已知函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题