第02讲 幂函数与二次函数（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第02讲 幂函数与二次函数（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共52页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，二次函数解析式的三种形式，二次函数在闭区间上的最值等内容，欢迎下载使用。

（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
【考点预测】
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
O
图2-9
O
图2-8
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【方法技巧与总结】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
2．（全国·高考真题）函数的图象是
A．B．
C．D．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（，且）
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
1．（2023·安徽模拟）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点四、幂函数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
2．（2023·浙江·模拟）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
考点五、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．8D．9
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数的单调减区间为______；
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
9．（2023·全国·高三专题练习）设且满足，则______.
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
2．（江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
3．（山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根