第01讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性，9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第01讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性，9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共52页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，了解周期性的概念和意义等内容，欢迎下载使用。

（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
【考点预测】
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2．函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3．函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【方法技巧与总结】
1.单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2.奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3.周期性技巧
4.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
考点一、根据函数的单调性求参数值
1．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______．
1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
考点二、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京海淀·校考三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
2．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
1．（2021·江苏淮安·统考二模）已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点五、根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则________．
4．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为___________.
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数为偶函数，则______________．
4．（2023·河北·校联考一模）若函数的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.
考点六、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
2．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
1．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．f（1）=3
C．g（x）=-g（x+3）D．
4．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．B．是奇函数
C．在上有最大值D．的解集为
5．（2023·浙江台州·统考模拟预测）（多选）已知定义在上的函数，满足：，，，则（ ）
A．函数一定为非奇非偶函数
B．函数可能为奇函数又是偶函数
C．当时，，则在上单调递增
D．当时，，则在上单调递减
6．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·江苏二模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（ ）
A．B．C．2D．0
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的周期为3B．
C．D．
3．（2023·浙江模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，则=（ ）
A．B．C．1D．
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）已知函数的定义域都为为奇函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）函数，满足，当，，则______.
6．（2023·山东烟台·统考三模）已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为________．
7．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 _____； _____．
考点八、函数对称性的综合应用
1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
3．（2023·广东汕头·统考三模）（多选）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上是减函数
C．为奇函数
D．方程仅有6个实数解
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称B．
C．D．
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数是周期函数
C．
D．
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称B．是的一个周期
C．D．
7．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）（多选）已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点九、函数性质的全部综合应用
1．（全国·高考真题）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
1．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116B．115C．114D．113
2．（2023浙江·统考一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山西临汾·统考二模）已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国模拟）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且.则（ ）
A．40B．32C．30D．36
6．（2023·云南大理·统考模拟预测）（多选）设函数的定义域为R，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．
D．若，则有
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·山西吕梁·统考三模）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
5．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知函数的定义域为，且的图象关于点成中心对称.当时，，则（ ）
A．1B．3C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．的图像关于直线对称D．在[0，10]上有6个零点
8．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．
B．在定义域上单调递增
C．的导函数
D．
三、填空题
9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足：为偶函数；当时，．写出的一个单调递增区间为______．
10．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）定义在R上的奇函数满足R，，且当时，，则_________．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．3
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的周期为3B．
C．D．
二、多选题
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ）
A．关于对称B．
C．D．
4．（2023·河北·校联考一模）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当时，，若方程在上恰有个实数解，则（ ）
A．的周期为4B．在上单调递减
C．的值域为D．
5．（2023·河北·校联考一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·广东汕头·统考三模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上是减函数
C．为奇函数
D．方程仅有6个实数解
7．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是周期为4的奇函数，且当时，.设，则（ ）
A．函数是奇函数也是周期函数
B．函数的最大值为1
C．函数在区间上单调递减
D．函数的图象有对称中心也有对称轴
8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是R上的奇函数D．是R上的奇函数
9．（2023·江苏盐城·校考三模）让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的对称中心
C．
D．
三、双空题
10．（2023·江苏·统考模拟预测）定义在上的函数满足，且函数的图象关于点对称，则______，______.
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·北京·统考高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称
10．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（高考真题）已知是定义在R上的单调函数，实数，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.
14．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第4题,5分
复合函数的单调性
函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分
函数奇偶性的定义与判断
函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分
函数奇偶性的应用
奇偶性求参数
2022年新I卷，第12题,5分
抽象函数的奇偶性
函数对称性的应用
函数与导函数图象之间的关系
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分
函数奇偶性的应用
抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分
由奇偶性求参数
无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分
函数奇偶性的应用
函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分
函数奇偶性的定义与判断
基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分
函数奇偶性的应用
函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分
复合函数的单调性
对数函数单调性
2020年新Ⅱ卷，第8题,5分
函数奇偶性的应用
函数的单调性解不等式
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称