人教版九年级上第22章二次函数精品课堂二次函数与一元二次方程导学案

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【问题探索】
王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．
（1）请求出球飞行的最大水平距离。
（2）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
答案：（1）令，得： 解得：，
球飞行的最大水平距离是8 m．
（2）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m
抛物线的对称轴为，顶点为
设此时对应的抛物线解析式为
又点在此抛物线上， 解得：
【新课引入】
提问：
1、二次函数与轴的交点坐标是什么？
答案：二次函数与x轴的交点坐标。
令，即
解得：
所以二次函数与x轴的交点坐标为和
2、一解元二次方程
答案： 解：
解得，
由此可知：当时，，即，也就是说，是一元二次方程的一个根。
同样，当时，，即，也就是说，是一元二次方程的另一个根。
总结：一般地，如果二次函数的图象与轴有两个公共点、，那么一元二次方程有两个不相等的实数根、。 反之也成立。
【总结归纳】
一、二次函数图象与一元二次方程的关系
一般地，二次函数的图象与一元二次方程的根有如下关系：
1、如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；
2、如果二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程有两个相等的实数根；
3、如果二次函数的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方程没有实数根；
二、二次函数与一元二次方程的关系
决定抛物线与x轴交点的个数
1、 抛物线与x轴有两个交点；
2、 抛物线与x轴只有一个交点；
3、 抛物线与x轴没有交点。
三、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
关系图表所示如下：
【精选例题】
（一）二次函数与一元二次方程的关系
例1、（1）抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为．
（2）关于的二次函数的图象与轴有交点，则的范围是（）
Ａ．Ｂ．且Ｃ．Ｄ．且
解析：
（1）；；没有实数根。
（2）Ｂ
前思后想：在二次函数中，令，就得到一元二次方程的标准形式，所以一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点坐标。
牛刀小试：
1、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时。
2、函数（是常数）的图象与轴的交点个数为（）
Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．1或2
3、已知二次函数
若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。
若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。
4、已知函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；
（2）若函数有最小值，求函数表达式．
答案：
1、一；4 。 2、Ｃ
3、在一元二次方程中，
（1）△=
∴当k<5时，抛物线与x轴有两个不同的交点。
（2）△=，∴k=5时，抛物线的顶点在x轴上。
4、（1），不论为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点．
（2），，或，
所求函数式为或。
（二）二次函数图象和一元二次方程的关系
图1
例2. 二次函数的图象如图1所示，则的取值范围是（ ）
A、＞3 B、＜3
C、0≤＜3D、0＜＜3
解析：
观察图1，抛物线与轴有两个不同的交点．
根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得
一元二次方程有两个不相等的实数根．
∴＝＞0．解得＜3．
又∵抛物线开口向上，∴＞0．x
y
O
1
3
∴的取值范围是0＜＜3，选D．
例3、已知二次函数的部分图象如图2所示，
则关于的一元二次方程的解为＿＿．
解析：
由图象得，①抛物线对称轴是过点（1，0）且平行于轴的直线
②抛物线与轴一个交点的横坐标3．
设抛物线与轴另一个交点的横坐标为．
∵每对对称点到对称轴的距离相等，∴．解得＝-1．
根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得
一元二次方程的解为-1和3．
前思后想：
二次函数的图象与轴的交点个数可转化为一元二次方程的解的个数求解。
牛刀小试：
1、函数的图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ）
A、
B、
C、两根之和为负
图3
Ｏ
D、两根之积为正
2、如图4所示，函数的图象
与轴只有一个交点，则交点的横坐标．
图4
3、函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（）
3
Ｏ
Ａ．有两个不相等的实数根
Ｂ．有两个异号的实数根
Ｃ．有两个相等的实数根
Ｄ．没有实数根
答案：
1、D
2、
3、Ｃ
（三）抛物线与直线的交点
例4、已知关于的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与轴交于A、B两个不同的点。
试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点；
若A点坐标为，试求B点坐标；
在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当取何值时，的值随值增大而减小？
解析：
对于关于的二次函数，
由于，
所以此函数的图象与轴没有交点。
对于关于的二次函数，
由于，
所以此函数的图象与轴有两个不同的交点。
故图象经过A、B两点的二次函数为。
将A（-1,0）代入，得。
整理得，， 解得，或。
当 时，。令，得。解得。
此时B点坐标是B（1，0）。
当时，。令，得。解得。
此时B点坐标是B（3，0）。
（3）时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小；
时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为，所以当时，函数值随的值增大而减小。
前思后想：
由来判断二次函数与轴是否有交点；
把A点坐标代入解析式，求出m，再解方程；
利用二次函数的性质，先找出对称轴。
牛刀小试
1、若抛物线与轴的一个交点是（-2，0），则另一个交点坐标是______。
2、已知抛物线和直线，当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点？
答案：
1、（4，0）
2、令，整理得，，
当抛物线与直线有两个交点时，
即，
所以m取任意实数，抛物线与直线都有两个交点
（四）用图象法求一元二次方程的近似根
例5.根据下列表格的对应值：
判断方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ）.
A．3＜x＜3.23 ＜x＜3.24
＜x＜3.25 ＜x＜3.26
解析：
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以本题实际上确定抛物线与x轴交点横坐标的范围,观察表格的数据变化可知3.24＜x＜3.25时,抛物线与x轴有一个交点,所以方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是3.24＜x＜3.25. 选C。
前思后想：
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察函数值在什么范围内由负变正，这个范围就是对应的方程的根的范围.
例6.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
解析：
作图：作出抛物线和直线；
判断：左边交点横坐标在-1与-2之间，另一个点横
坐标在3与4之间；
利用计算器进行探索：是方程
的近似解；
用求根公式来验证一下：对于方程，整理得，。
因而利用图象求得方程的近似解。
前思后想：
判断一元二次方程的解的范围,实质是判断相应的二次函数的图象与x轴交点的范围，正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键.
牛刀小试：
1、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。（精确到0.1）
2、根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
3、下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）
A、1.6＜＜1.8 B、1.8＜＜2.0 C、2.0＜＜2.2 D、2.2＜＜2.4
答案：
1、画图略，，；
2、本题以图表的形式给出信息，探求一元二次方程的一个解的范围，根据表格提供的信息，在6.18到6.19之间一定有一个x的值，使＝0，因为一元二次方程的解是二次函数图象与x轴交点的横坐标，所以方程的一个解的范围是，故答案为C。
3、C
（五）二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
例7. 解不等式。
解析：解法一：
设，
它大致图象如右图所示，观察图象可知：
当时，抛物线在轴下方，即，
所以不等式的解集时。
解法二：由原不等式得
设，
在同一坐标系中它们的大致图象如右图所示
得交点坐标为A（-1,1），B（2,4）
观察图象可知：当时，
抛物线在直线下发，即，
所以不等式的解集时。
前思后想：
用构造二次函数的方法来解一元二次不等式，需要明确它们之间的内在联系。
若二次函数的图象在x轴的上方（或下方），则（或＞0），此时（或＞0）的解集为全体实数或无解。
牛刀小试：
1、已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、抛物线与直线（m为常数） （ ）
A、没有交点 B、只有一个交点 C、有两个交点 D、至少有一个交点
3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下左图所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A、-1＜x＜3 B、x＞3 C、x＜-1 D、x＞3或x＜-1
第4题
第3题
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如上右图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
例9、如图1，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位长度：m）与水平距离（单位长度：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是 m．
解析：
当y=0时，得，解得 (米)， (舍去)．所以他将铅球推出的距离是10米．
前思后想：
1、在解有关问题时，应结合具体的函数画出相应草图，充分运用数形结合思想求解。
2、这是一道二次函数基本题，利用所学的知识考查了学生的应用能力，难度不是很大．因此，平常要注重问题的研究，以培养学生的分析能力，本题体现了新课标的理念：“人人学必需的数学，人人学有用的数学” ．
牛刀小试：
1、某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为.
（1）若菜农的身高是1.60米，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米？（精确到0.01米）
（2）大棚的宽度是多少？
（3）大棚的最高点离地面几米？
2、某电脑公司开发出一种软件，从研发到年初上市后，
经历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象
（部分）刻画了该公司年初以来累计利润（万元）
与销售时间（月）之间的函数关系（即个月累计
润总和与之间的关系），根据图象提供的信息解
答下列问题：
（1）求累计利润总和（万元）与时间（月）之间的函数关系式．
（2）截止到几月末公司累计利润达到30万元？
答案：
1、（1）令，则，解得.于是菜农横向活动的范围是（米）.
（2）令，则，解得.
则（米）.所以大鹏的宽度是4米..
（3）令，则（米），所以大鹏的最高点离地面2米.
2、图象上已给出顶点以及另外一点的坐标，先用待定系数法确定出函数关系式，再求函数值为30时的自变量的取值.
解:(1)由图象可设,把点代入得:,
解得，,
(2)令，得方程，
解方程得，（舍去），
即：截止到9月末公司累计利润达到30万元．判别式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式或的解集
图象
与轴的交点坐标
抛物线与x轴交于两点，且
一元二次方程有两个不相等的实数根
的解集为
的解集为
的解集为
的解集为
抛物线与x轴相切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程有两个相等的实数根
的解集为的所有实数
不等式无解
不等式无解
的解集为所有实数
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
的解集为所有实数
的解集为所有实数
不等式无解
的解集为所有实数
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=
－0.06
－0.02
0.03
0.09
6.17
6.18
6.19
6.20
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
-0.8.
-0.54
-0.20
0.22
0.72