高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行2 万有引力定律优秀达标测试

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一、行星与太阳间的引力
1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．
2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝eq \f(4π2mr,T2)，结合eq \f(r3,T2)＝k，可知F＝4π2keq \f(m,r2)，即F∝eq \f(m,r2).
3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝eq \f(m太,r2).
4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝eq \f(m太m,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(m太m,r2).
二、月—地检验
1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．
2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝Geq \f(m地,r2).
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝Geq \f(m地,R2).
(3)eq \f(a月,a苹)＝eq \f(R2,r2)，由于r≈60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602).
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量．
四、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
1．判断下列说法的正误．
(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间．( √ )
(2)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大．( × )
(3)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力．( × )
(4)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量．( × )
2．两个质量都是1 kg的物体(可看成质点)，相距1 m时，两物体间的万有引力F＝_______ N，其中一个物体的重力F′＝________ N，万有引力F与重力F′的比值为______．(已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，取重力加速度g＝10 m/s2)
答案 6.67×10－11 10 6.67×10－12
一、对太阳与行星间引力的理解
万有引力定律的得出过程
例1 下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳的距离成反比
答案 A
解析 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，是同一性质的力，遵循牛顿第三定律，大小相等，大小与太阳和行星质量的乘积成正比，与行星和太阳的距离的二次方成反比，选项A正确，B、C、D错误．
二、万有引力定律
导学探究
月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．一切物体间都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？
(1)假若你与同桌的质量均为60 kg，相距0.5 m．粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×
10－11 N·m2/kg2)．
(2)一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N，是你和你同桌之间引力的多少倍？
(3)在对一个人受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？
答案 因为我们与周围物体间的引力很小，所以我们感觉不到．
(1)F万＝Geq \f(m2,r2)＝6.67×10－11×eq \f(602,0.52) N≈1×10－6 N
(2)芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍．
(3)两个人之间的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起．故在进行受力分析时，一般不考虑两物体间的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用．
知识深化
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．
2．万有引力定律公式的适用条件
(1)两个质点间的相互作用．
(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．
(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．
例2 (2021·湖南高二学业考试)关于万有引力及其计算公式F＝Geq \f(m1m2,r2)，下列说法正确的是( )
A．万有引力只存在于质量很大的两个物体之间
B．根据公式知，r趋近于0时，F趋近于无穷大
C．计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球表面的距离
D．卡文迪什测出了引力常量G
答案 D
解析 万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，故A错误；当r趋近于0时，两物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；计算地球对卫星的引力时，r是指卫星到地球球心的距离，故C错误；卡文迪什测出了引力常量G，故D正确．
例3 (2021·南京市高二学业考试)要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
答案 D
解析 根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故A可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故B可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故C可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)，两物体间的万有引力不变，故D不可行．
例4 (2021·山东高二学业考试)如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A．Geq \f(m1m2,R12) B．Geq \f(m1m2,R1＋R2＋R2)
C．Geq \f(m1m2,R1＋R22) D．Geq \f(m1m2,R22)
答案 B
解析 两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝Geq \f(m1m2,R1＋R2＋R2)，故选B.
三、万有引力和重力的关系
导学探究
人站在地球(地球被视为规则的均匀球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置(纬度不同)，什么力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
(3)有人说：重力就是地球对物体的吸引力，对吗？
答案 (1)根据万有引力定律F＝Geq \f(m1m2,r2)可知，人在地球不同的位置，受到的万有引力大小一样．
(2)万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力，在地球的不同位置(纬度不同)，向心力不同，重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受到的重力大小不一样．
(3)不对．重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对物体的吸引力．
知识深化
1．地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示．
(1)当物体在两极时：向心力F′＝0，mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝Geq \f(Mm,R2).
方向与引力方向相同，指向地心．
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小，
mg1＝Geq \f(Mm,R2)－mω2R
方向与引力方向相同，指向地心．
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大．
因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg(4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq \f(Mm,R2).
2．重力与高度的关系
若物体距离地面的高度为h，则mg′＝Geq \f(Mm,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．
例5 地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
答案 A
解析 由F＝Geq \f(Mm,R2)可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错．
例6 火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，火星质量大约是地球质量的eq \f(1,9)，那么质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面最高能跳1.5 m高，那他在火星表面最高能跳多高？
答案 (1)222.2 N (2)3.375 m
解析 (1)在地球表面上有mg＝Geq \f(Mm,R2)
在火星表面上有mg′＝Geq \f(M′m,R′2)
联立解得g′＝eq \f(40,9) m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50×eq \f(40,9) N≈222.2 N.
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝eq \f(v02,2g)
在火星表面宇航员跳起的高度h＝eq \f(v02,2g′)
综上可知，h＝eq \f(g,g′)H＝eq \f(10,\f(40,9))×1.5 m＝3.375 m.
考点一 对太阳和行星间引力的理解、月一地检验
1．(多选)把行星绕太阳的运动看成匀速圆周运动，关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是( )
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律等推导出来的
答案 AD
解析 太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确．
2．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq \f(1,602)
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq \f(1,602)
C．月球表面的自由落体加速度约为地球表面的eq \f(1,6)
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq \f(1,60)
答案 B
考点二 万有引力定律 引力常量
3．(2022·东莞市模拟)下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．两物体间的万有引力不遵循牛顿第三定律
B．两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点
C．只适用于质量半径较小的天体，天体半径大就不能用此公式计算万有引力
D．牛顿总结得出万有引力定律的表达式，同时也测定出了引力常量G的值
答案 B
解析 万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，说明两个物体间的万有引力是相互作用的两个力，因此遵循牛顿第三定律，A、C错误；两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点，公式不再适用，B正确；牛顿总结得出万有引力定律的表达式，公式中引力常量G的值是卡文迪什通过实验测出来的，故D错误．
4．(2022·江苏高二学业考试)2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功．在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,R＋h2) B．Geq \f(Mm,R2)
C．Geq \f(Mm,h2) D．Geq \f(Mm,R＋h)
答案 A
解析 根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,R＋h2)，故选A.
5．(2021·安阳一中高一期中)已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
答案 D
解析 在地面上有F＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处有F′＝Geq \f(Mm,R＋h2)，因为F′＝eq \f(1,2)F，所以eq \f(R＋h2,R2)＝eq \f(2,1)，所以h＝(eq \r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误．
考点三 万有引力和重力的关系
6．(多选)下列关于重力和万有引力的说法正确的是( )
A．重力和万有引力是不同性质的力
B.在不考虑地球自转影响的情况下，可以认为地球表面物体的重力等于地球对它的万有引力
C．由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关
D．在地球两极的物体，物体的重力等于万有引力
答案 BCD
7.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
答案 AC
解析 P、Q两质点所受地球引力都是F＝Geq \f(Mm,r2)，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，故D错误．
8．地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则离地球表面高eq \f(R,2)处的重力加速度为( )
A.eq \f(g,2) B.eq \f(2,3)g C.eq \f(4,9)g D.eq \f(9,16)g
答案 C
解析 地球表面万有引力近似等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，同理离地球表面高eq \f(R,2)处有eq \f(GMm,R＋\f(R,2)2)＝mg′
联立解得g′＝eq \f(4,9)g，故选C.
9．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案 B
解析 万有引力表达式为F＝Geq \f(m1m2,r2)，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为eq \f(F火引,F地引)＝eq \f(M火r地2,M地r火2)＝0.4，故选B.
10.(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
答案 B
解析 悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(m1m2,r2)
可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,R火2)∶Geq \f(M月m玉兔,R月2)＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B.
11．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道均可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，下列说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的引力大小相等
D．月球对不同区域海水的引力大小有差异
答案 AD
解析 根据F＝Geq \f(m1m2,r2)，可得eq \f(F太阳,F月)＝eq \f(M太阳,M月)·eq \f(r月2,r地2)≈169，故A正确，B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确．
12.一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求：(引力常量为G)
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大？
答案 (1)Geq \f(mm2,25r2) (2)Geq \f(41mm2,225r2)
解析 (1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为
F2＝Geq \f(mm2,d－r2)＝Geq \f(mm2,25r2)
(2)将挖去的小球填入空穴中，由V＝eq \f(4,3)πR3、m＝ρV可知，大球的质量为8m，则挖去小球前大球对m2的万有引力为
F1＝Geq \f(8m·m2,6r2)＝Geq \f(2mm2,9r2)
故剩余部分对m2的万有引力为F＝F1－F2＝Geq \f(41mm2,225r2).
13．在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉，最后船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生．已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零．若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为( )
A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
答案 B
解析 设地球的密度为ρ，则在地球表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
联立可得，地表重力加速度表达式为g＝eq \f(4,3)πρGR，由题意可知，地面以下深0.5R处的重力加速度相当于半径为0.5R的球体表面的重力加速度，即g′＝eq \f(4,3)πρG·eq \f(1,2)R，可得g′＝0.5g，故选B.