【期中真题】四川省成都市成都市树德中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

树德中学高2022级高一上学期期中测试数学试题

全卷满分：150分  考试时间：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.

【详解】，

，

故选：A

2. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用作差法可判断CD选项.

【详解】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A错；

对于B选项，由不等式的基本性质可得，B错；

对于C选项，，C错；

对于D选项，，则，D对.

故选：D.

3. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式．已知函数由下表给出，则的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意先求出，然后代入再根据表格求值即可.

【详解】∵，∴，

，

则，

故选：D.

4. 设m，n为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.

【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，

故选：A.

5. 设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.

【详解】因为命题“”是假命题，

所以是真命题，

又可化为，即，

当时，，

所以在上恒成立，

所以其中,，

当时有最小值为，此时有最大值为，

所以，故实数的取值范围是

故选：C

6. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．

【详解】解：，

，

函数是周期为的周期函数，

又当时，，

所以，，，

，

故选：B．

7. 已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据给定的不等式确定的单调性,再保证分段函数的每一段递减和交界处递减即可.

【详解】不等式恒成立，

即，

即时，，

所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），

故每段函数为减函数，应满足，解得，

同时在在上单调递减，对于边界值还需满足，

解得或，

所以．

故选：C.

8. 已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设（），即，结合条件得到：，

再由奇偶性和单调性得到：，即可求解.

【详解】由题意得，函数，

设（），则，

由，得，

 又因为，

所以是上的奇函数，即，

又有，

因为是上的增函数，是上的增函数，

所以是上的增函数；

则，即，

整理得：，解得：或，

所以实数a的取值范围为，

故选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ）

A. 的最大值为1 B. 在区间上单调递减

C. 的解集为 D. 当时，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性逐项判断即可.

【详解】解：函数是定义在R上的偶函数，所以，又当时

所以当时，，故D错误；

当时，，所以在单调递增，单调单调递减，所以，由于偶函数关于轴对称，所以在单调递增，单调单调递减，所以，的最大值为1，故A正确，B正确；

当时，，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故C正确.

故选：ABC

10. 已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A. 的值域是 B. 在定义域上单调递减

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的单调性和对称性分析即可.

【详解】因为，函数的值域为， A正确，

函数的定义域为，故 在 和 上是减函数， B错误；

又因为，所以函数关于点成中心对称，

故，， D正确， C错误；

故选：AD.

11. 设正实数x，y，满足，则（    ）

A.  B. 的最大值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为4

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知等式，利用换元法转化可判断A，C，根据基本不等式的应用判断B，D.

详解】解：选项A，由，可得，所以，故选项A正确；

选项B，由，可得，当且仅当，即时等号成立，故选项B错误；

选项C，，当时，等号成立，故选项C正确；

选项D，由，当且仅当，即时等号成立，故选项D正确.

故选：ACD.

12. 已知符号函数，下列选项正确的是（    ）

A. 方程的解集为

B.

C. 关于的不等式的解集为

D. 函数的值域为

【答案】BC

【解析】

【分析】对分类讨论，确定，根据题意，依次分析求解各选项，即可得答案．

【详解】对于A，当时，方程化为，解得；

当时，方程化为，解得；

当时，方程化为，解得．

综上，方程的解集为，故A错误；

对于B，当时，，，则；

当时，，则；

当时，，，则，

综上可知，B正确；

对于C，，

当即时，不等式可化为，即，解得；

当即时，不等式可化为，不成立；

当即时，不等式可化为，即，解得；

综合可得，不等式的解集为，故C正确；

对于D，，

当时，；当时，；当时，，

综合可得：函数的值域为，故D错误，

故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用有理数指数幂的运算法则和对数运算法则化简求解即可．

【详解】

.

故答案为：-3

14. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据幂函数的定义和性质求出m的值，再结合即可求出函数过定点的坐标．

【详解】由幂函数在上单调递增，所以，

解得，所以，

故令得，所以，所以的图像过定点.

故答案为：

15. 已知函数（）的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．

【答案】4

【解析】

【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，再根据不等式的解集得方程的两个根为和，利用根与系数的关系即可求出c的值．

【详解】∵函数（a，）的值域为，∴有两个相等的实数根，

则，得．

由题意可知方程的两个根为，，由韦达定理可得：

，，

所以，解得．

故答案为：4

16. 已知实数满足，，则___________.

【答案】##10000

【解析】

【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.

【详解】因为，所以是方程的根；又因为，所以是方程的根；

又因为与互为反函数，其图像关于对称，且直线与的交点的横坐标为，

因为直线与垂直，所以，又因为，

所以.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知，．

（1）当时，求；

（2）当时，若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）解不等式求得集合，由并集定义可求得结果；

（2）由并集结果可确定，根据包含关系可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）由得：，则；

当时，由得：，则；

；

（2）若，则，

当时，，又，

则，解得：，实数的取值范围为.

18. 已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．

（1）求函数的解析式；

（2）若，，求的最小值；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先得到对称轴为，利用待定系数法即可求出函数解析式；

（2）首先求出，，然后分，和三类讨论即可.

【小问1详解】

由得，对称轴为，设，

∴，得，

∴．

【小问2详解】

，，对称轴，

①当即时，在单调递增，

，

②即时，在单调递减，在单调递增，

∴，

③当即时，在单调递减，

，

综上：.

19. 已知函数为奇函数

（1）求实数的值及函数的值域；

（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；

（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.

【小问1详解】

函数为奇函数，定义域为，

则，所以，经检验知符合题意；

因为，则

所以函数的值域为.

【小问2详解】

由题知：当恒成立；

则；

令，

所以；

又，当且仅当时等号成立，

而，所以，

则.

20. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳.

（1）试求的函数关系式；

（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由.

【答案】（1）   

（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．

【解析】

【小问1详解】

当，时，设，

将点代入得，

当，时，；

当，时，将点代入，得，

所以；

【小问2详解】

当，时，，

解得，所以，，

当，时，，

解得，所以，，

综上，时学生听课效果最佳，

此时，

所以，教师能够合理安排时间讲完题目．

21. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质．

（1）判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由；

（2）全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质；

【答案】（1）函数①具有性质，②不具有性质P；理由见解析   

（2）函数具有性质；证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质；

（2）分别讨论x为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断；

【小问1详解】

①令，

则，

因为，所以（当且仅当时取等号，由于，故等号取不到），且

所以，

所以，即函数①具有性质．

②不具有性质P，

令

如当时，，不满足题意，故函数②不具有性质P．

【小问2详解】

当x为有理数时，具有性质P，理由如下：

因为x为有理数时，所以，也为有理数，

所以，故具有性质P；

当x为无理数时，具有性质P，理由如下：

因为x为无理数时，所以，也为无理数，

，故具有性质P；

综上：函数具有性质．

22. 已知函数，.

（1）若，求函数在的值域；

（2）若，求证.求的值；

（3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；

（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；

（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解

【小问1详解】

解：若

，

当上函数为增函数，

则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.

小问2详解】

解：若，则，

则，

设

则

两式相加得，即，则

故.

【小问3详解】

，

设，当，则，

则函数等价为，

若函数在区间有零点，

则等价为在上有零点，

即在上有解，

即在上有解，

即，

设，则，则，

则在上递增，

则当时，，当时，，

∴，即，

即实数k的取值范围是.