2023-2024学年四川省成都市树德中学高一上学期期中数学试题含答案

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1. 集合中实数的取值范围是( )
A. 或B. 且C. 或D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且，
所以实数的取值范围为且.
故选：D
2. 下列四组函数中，表示相同函数一组是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据相等函数满足定义域、对应关系相同，逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为或，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，
故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故D错误.
故选：C.
3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（ ）
A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据四种命题的基本关系，利用命题与其逆否命题的真假性可知“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；
【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”为真命题，
其逆否命题为“若，则”为真命题，反之不成立，
所以命题是命题的必要不充分条件，
故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；
故选：B.
4. 杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度随时间变化的下降速度.
【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适.
故选：A.
5. 满足⫋的集合的个数为（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系分析运算即可得解.
【详解】∵，∴，
∵⫋，
∴满足题意的集合有：，共7个.
故选：A.
6. 已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围.
【详解】由，
因为在上的最小值为，
所以时，，
所以，
易知反比例型函数在单调递减.
所以在处取到的最小值为，
即 ，
所以.
故选：D
7. 定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用单调性比较函数值大小即可.
【详解】由函数是偶函数，所以函数图象关于直线对称，
又对任意，当时都有，所以函数在上单调递增，
又，，所以，
所以.
故选：B
8. 已知函数是定义在上的单调函数，且时，都有，则（ ）
A. -4或-1B. -4C. -1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，采用换元法，求出的解析式，从而得到.
【详解】由题意得，设，是一个大于0的常数，
因为，
所以，，则有，
因为，
所以，，
所以，
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据不等式的性质及其利用特例对各项进行判断，从而求解.
【详解】对于A项：因为：，，所以得：，
又因为：，所以得：，故A项错误；
对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误；
对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确；
对于D项：由，，得：，
所以得：，故D项正确；
故选：CD.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A.
B. 定义在上的奇函数在上是增函数，则在上为增函数
C. 函数的最小值为2
D. 一元二次方程的两根都在内的充要条件是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据集合包含关系，函数单调性与奇偶性关系，函数值域求法，一元二次方程根的分布，依次判断即可.
【详解】对于A，根据规定空集是任何集合的子集，所以A正确；
对于B，比如函数，在，上分别递增，但在上不单调，所以B不正确；
对于C，
，当且仅当即时取“=”，显然不成立，故“=”取不到，所以C错误；
对于D，一元二次方程的两根都在，
则，
设，
则对称轴，
且，
综上可知，所以D错误；
故选：BCD
11. 不等式的解集为，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 不等式解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意得方程的两个根分别为，然后利用根与系数的关系，结合，可得的关系，再逐个分析判断.
【详解】因为不等式的解集为，其中，
所以方程，即的两个根分别为，且，
所以，即，
对于A，，所以A正确，
对于B， ，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以由，得，
所以，得，
因为，所以，所以不等式的解集为，
即不等式解集为，所以D正确，
故选：ACD
12. 根据已学函数的图象与性质来研究函数的图象与性质，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，在为增函数
B. 若，，方程一定有4个不同实根
C. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则8
D. 若，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意，类比，通过单调性，奇偶性，恒成立问题逐选项判断即可.
【详解】解：，当，则 ，易知在为增函数，
则在为减函数，故A错误．
设，又为奇函数，则，即是偶函数，当时，的图象如图，
所以，方程一定有4个不同实根，故B正确;
易知在为奇函数，则，
又，所以．故C正确．
由，得，
整理得：，即恒成立．
当时，，因为在上无最大值，因此此时不合题意；
当时，，因为在上的最小值为2，所以，即，解得或舍去．综合可得：．故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 已知，则＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解.
【详解】因为，所以，
所以，其中.
∴.
故答案为：
14. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则函数的值域为____________．
【答案】
【解析】
【分析】分、讨论，结合新函数定义可得答案.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
综上所述，的值域为.
故答案为：.
15. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人．
【答案】135
【解析】
【详解】利用文恩图的辅助求解即可.
【分析】
由文恩图可得；参加培优的人数为，
又不参加其中任何一科培优的有15人，
所以接受调查的高一强基班学生共有
故答案为：.
16. 已知是正实数，且，则最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，结合题意，利用基本不等式求得，再由，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为是正实数，且，
可得，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设全集，集合，．
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合，是否存在实数使得，若存在，求的取值范围．若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合A，B，利用补集、交集的定义结合韦恩图求解即得.
（2）利用给定的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.
【小问1详解】
，，
则，所以图中阴影部分表示的集合为.
【小问2详解】
由（1）知，由，得，
当时，，解得；
当时，，无解，
所以存在实数使得，的取值范围为.
18. 设函数．
（1）命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；
（2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案.
【小问1详解】
为假命题，
，恒成立为真命题，即不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意．
当时，需满足，解得，
综上，．
【小问2详解】
不等式等价于．
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19. 已知 ．
（1）若且在内单调递减，求的取值范围；
（2）函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．当时，求的对称中心．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，作差得到，只需，分和两种情况，得到答案；
（2）利用得到等式，对照系数得到方程组，求出，得到对称中心.
【小问1详解】
设，则
．
∵，，
∴，
∴要使，只需恒成立
若，则当时，不合题意；
若时，恒成立．
综上所述，a的取值范围为．
【小问2详解】
当时，则，
要想为奇函数，
则要，
即，
即，
所以，解得，
即的对称中心为．
20. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
已知小王缴纳的专项扣除：基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是36000元，依法确定的其它扣除是4000元．
（1）设小王全年应纳税所得额（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求；
（2）如果小王全年综合所得收入额为150000元，那么他全年应缴纳多少个税？
（3）设小王全年综合所得收入额为(不超过500000)元，全年应缴纳个税税额为元，求关于的函数解析式．
【答案】（1）
（2）600元 （3）
【解析】
【分析】（1）根据税率与速算扣除数表得到函数解析式；
（2）首先求出小王全年应纳税所得额，再代入（1）中解析式即可；
（3）首先求出小王全年应纳税所得额为，再分四种情况讨论，分别求出所对应的函数解析式.
【小问1详解】
根据税率与速算扣除数表，可得．
【小问2详解】
小王全年应纳税所得额为元．
则小王全年应缴纳个税为元．
【小问3详解】
小王全年应纳税所得额为，
当，即时；
，
则；
，
则；
，
则；
故关于的函数解析式为.
21. 定义在上的函数，对任意，，都有，且，当时，．
（1）证明：在上单调递减；
（2）解不等式．
【答案】（1）证明见解析
（2）且
【解析】
【分析】（1）令，，设，则由已知可得，再结合当时，可证得结论；
（2）令，可求得，令，可求得，令，可证得为偶函数，利用赋值法可得，则原不等式转化为，再利用函数的单调性可求得结果.
【小问1详解】
证明：令，，设，则，且，
所以，即．
又当时，，则 ，即
所以在上单调递减．
【小问2详解】
令，则．
令，则．
令，则，所以为偶函数．
令，则；令，则，
由，则，
又在上单调递减，则，即且，
所以不等式的解集为且.
22. 函数，．
（1）若函数为偶函数，求实数的值并指出此时函数的单调区间；
（2）若时，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1），f(x)单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性求得参数，再利用二次函数的性质即可得解；
（2）先将问题转化为的值域是的值域的子集；法一：分类讨论的取值范围，结合二次函数的性质即可得解；法二：分类讨论的取值范围，结合二次函数的性质与基本不等式即可得解.
小问1详解】
因为函数f(x)为偶函数，则恒成立，
则恒成立，由的任意性，得，
当时，则，易得是偶函数，
当时，，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，结合其奇偶性，可知在上单调递减，
则函数f(x)单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
因为都有，
所以的值域是的值域的子集，
因为，
令，则，
又，
法一：
①当时，易知在上单调递减，在上单调递增，且，
又，，故，，
则
又为减函数，则，
所以，解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
故，，即，
又在为减函数，在为增函数，
则，
所以，则；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，，即，
又在为减函数，在为增函数，
则，
所以，则；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，，即，
又在为增函数，则，
所以，则；
综上，．
法二：当时，易知在上单调递减，在上单调递增，且，
又，，故，，
则
又为减函数，则，
所以，解得；
当时，，
所以对任意恒成立，
则恒成立，
对于，令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则，
对于，令，则，，
所以，易得其上单调递增，
则，
所以，又，故此时；
综上：.级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1
3
0
2
10
2520
3
20
16920
…
…
…
…