高一数学期中备考专题1.均值不等式及应用
展开应用均值不等式的八大策略
一．基本原理
- 二元基本不等式的几个变形：
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
2.n元均值不等式
设均大于零，则记，，
，，
则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.
由均值不等式进一步可得幂平均不等式，设均大于零，实数，则称：
称为的次幂平均.
幂平均不等式：若，则.特别地，取，若，则有
，等号成立当且仅当.
二．典例分析
类型1．和（积）为定
例1.
解析：，∴
，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值
类型2.分式函数
（1） 型.
对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解.
（2） 型.
对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解.
（3）型.
形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域.
（4）型.
形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解.
小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：
① ：换元→分离常数→反比例函数模型.
② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型.
③ ：同时除以分子：→②的模型.
④ ：分离常数→③的模型.
共同点：让分式的分子变为常数
例2. 求函数的值域
解析：设. 于是问题转化为求
的值域，由对勾函数当时取等号，即.
例3：设，求函数的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：.
下面讨论条件极值
类型3.已知（为常数），求的最值，
例4.已知，求的最小值
解：
例5．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
解析：因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C
类型4.型
注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项.
例6．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为，所以，由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.
例7．若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D
类型5.型
注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项.
例8．已知实数满足，则的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.
例9．若实数满足，则的最大值是
A． B． C． D．
解析：,，，
解得，，的最大值是.故选B.
类型6.待定系数法放缩
例10.已知实数满足，求的最小值________.
解析：我们的想法是利用恒等条件来寻找的最小值，那么自然要将放大成平方和的关系来凑出目标函数，于是我们可以将均值不等式改进成：设，来配凑.
解：，令，故的最小值为.
类型7.消元加均值
例11．已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：∵，，
∴，，∵，
∴，∴，∴，∴，故选：C.
类型8.换元
例12．已知正实数，满足，则的最小值是_______．
解析 令，，则，．从而
．
所以的最小值是．
三．习题演练
1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为正数，满足，
对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：因为，所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B
2．已知，均为正数，若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】，均为正数，因为，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为5.故选：C.
3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为正实数、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D.
5．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】，设，则.
于是，
令，则，
当，即，也即时，取到最小值.故选：C
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