高一数学期中备考专题7. 函数性质综合应用（压轴篇）

7函数对称性与周期性及应用

抽象函数由于能够更加直接的刻画很多函数共同的性质，当然颇受命题人的喜爱. 命制抽象函数试题的基本原理就是函数的性质：单调性，奇偶性与对称性，周期性. 所以在我们试图解决抽象函数问题时，其基本要求便是熟练的掌握相关结论，其实你会发现，这些东西就已经足够解决多数问题了.

相关结论在人教A版必修第一册87页，苏教版必修第一册119页均有涉及，读者可自行查阅，这里重点给出它们的后续应用.

一．函数的对称性：

函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.

性质1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.

代数表示: (1).

          (2).

即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.

一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.

特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.

性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.

用代数式表示：(1).

              (2).

一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.

特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.

3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.

(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.

(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.

(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.

二．函数的周期性

1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.

性质3.函数周期性有关结论:

设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，

则函数是周期函数，且是它的一个周期.

(1).                  (2).

(3).                     (4).

3.函数的对称性与周期性

性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.

性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.

性质6. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.

证明：由定理2知均为偶函数，则①

②，由①得， ③，由②得， ④

由③，④得， ⑤，即.令，则

，代入⑤得，是周期函数，且为其一个周期.

性质7. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.

证明：由性质2知与均为奇函数，则①

 ②，由①得，③，由②得，

④，由③，④得，即.令，则. ，即，是周期函数，且为其一个周期.

性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.

证明：由性质2知为偶函数，则①，由定理1知为奇函数，则②

分别由①，②得，故命题得证！

性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.

证明：由条件知，① ，②

由①得，③ ，由②得④

由③，④得，即.令，则

，是周期函数，且为其一个周期.

性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.

证明：由与均为偶函数，得 ① ，

 ②，分别由①，②得③， ④

由③，④得⑤ 即.令，则

，，即，是周期函数，且为其一个周期.

性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.

证明：由条件得 ① ， ②

由①，②得， ③ ， ④

由③，④得，令，则，代入上式得，

，则.是周期函数，且为其一个周期.

性质12.周期性的应用:

(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到

整个函数的性质.

(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.

(3).单调性：

由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).

二．典例分析

例1．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ）

A． B． C． D．

解析：因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.

例2．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（  ）

A． B． C． D．

解析：因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．

例3．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（   ）

A． B． C． D．

解析：因为的图像关于直线对称，所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.

所以故选：D

例4．（2022新高考2卷）已知函数的定义域为R，且，则（  ）

A． B． C．0 D．1

解析：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，

所以．故选：A．

三．习题演练

1.已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则，(     ).

A.              B.                 C.                 D.   

2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是

A． B． C． D．

3．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）

A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数

C． D．

4.（多选题）定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(    )

A．的图象关于对称 B．4是的一个周期

C．  D．

5.定义在R上的函数满足，，若，则__________，__________．

参考答案

1.解析：因为是定义域为的奇函数，结合题意，由前述性质3可得：周期为4.故，再由题意可知：

因为，所以.

另一方面，，从而，选C.

2.解析：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

点评：此题的难点便在于利用类周期性求出解析式

3.解析：因为，所以，又，

则有，因为是奇函数，所以，

可得，即有与，

即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数．

因为，所以，所以为偶函数．故错误；

由是奇函数，则，所以，又，

所以，所以选项错误；

由得，所以选项错误；因为，

，

所以，所以，所以选项正确．故选：.

4.解析：对A：因为关于对称,有，

令，则，的图象关于对称.选项A正确；

对B：由题设条件得，

令，有，则的图象于对称，

因为，有，

即，则的图象关于对称.

所以，又，所以，

所以，所以，

所以4为的一个周期，即，

则.选项B不正确；

对C：由上知图象关于对称，对称，

则令符合题意，而.故C不正确;

对D：因为图象关于对称，所以，

故，有.选项D正确.

故选：AD

5.解析：因为，所以，

所以，则，

所以是以为周期的周期函数，

所以，又，所以，

又，所以，

即且，

由，所以，，，

所以

.