高一数学期中备考专题3.二次函数值域及恒成立问题

3.二次函数值域及恒成立问题研究

   二次函数应该是我们在正式学习导数前用的最多的函数，可也是我们在教学中最易忽视的地方，原因在于我们没有深刻意识到高中的二次函数对于研究函数最大的价值，而仅仅把它当成一个应该是初中老师教的一类函数罢了.这样观念上的认知不足所导致的后果就是：学生在学习导数之前，没有深刻体会到处理函数的一般思路，而学完导数后，我们又认为学生应该掌握了处理函数的思路，于是乎，导数学习就经历从处理意识不足到游刃有余的历程，这样的思维跨度太大，很多学生很难一时接受的，从而最终导致在导数应用时出现以下困难：

1. 求导过程的分类讨论思想不足；
2. 二次以上求导意识不够；
3. 缺乏从导数到值域（最值）的转化意识，特别是稍复杂的情景，难以应对.

   我认为上述现象的出现原因之一便是在导数之前缺少了足够的函数处理经验，对从单调性到函数值域的基本解题思想认识不足，而这恰是二次函数没学好的后果.

   高中阶段学习二次函数最重要的一类题型就是动轴定区间问题，其实质为闭区间上函数值域的计算，而这正是单调性的功效.所以，我们应该要在正式学习导数之前通过二次函数或者指对与二次结合的问题，融入这样的思想：用单调性来分析值域.淡化对称轴的概念，突出轴背后的单调性变化.

   这样的设计就可以再慢慢融入恒成立问题，其实质也在于值域（最值）的计算.我想，如果学生能在导数之前的函数学习中逐渐理解单调性分析值域的基本思想后，他们对导数的理解和把握会更上一层楼!

   基于上面的分析，本节课的设计思路也就很明确了，下来展示具体内容：

一．闭区间上二次函数值域

例1．已知函数，．求的最小值的表达式．

【详解】

（1）当时，，对称轴：，

∴在上单调递减，在上单调递增．

∴，，故函数的值域为．

（2）∵的对称轴：，

①若时，即，在上单调增，∴；

②若时，即，在上单调减，∴；

③若时，即，在上单调减，在上单调增，

∴；

∴综上所述：．

例2．已知二次函数，且满足，.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最小值（用表示）.

【详解】

（1）因为二次函数满足，，

所以，即，

所以，解得，因此；

（2）因为是对称轴为开口向上的二次函数，

当时，在上单调递增，则；

当，即时，在上单调递减，则；

当，即时，；

综上.

例3．已知二次函数满足，且方程有两个相等实根.

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使的定义域是，值域是.若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

【详解】（1）由得：①；由有等根得：有等根，

∴，得，将代入①得：，

∴；

（2），

∴，即，而对称轴为，即在的左边，

∴由二次函数的性质知：在区间上单调递增，

则有，解得，

故存在实数，使的定义域是，值域是.

例4．已知函数的图象与轴的两个不同交点的横坐标分别为，.

（1）求的取值范围；

（2）若函数在上是减函数、且对任意的，，总有成立，求实数的范围．

【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，

由韦达定理得：，，所以，解之得：或；

（2），令，

则当时，，当时，，

所以，所以，即的取值范围为；

（3）函数的对称轴为，在上是减函数，

所以有，即，

又因为对任意的，，总有，

要使成立，则必有，

在区间上，在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，，

所以有，即，解之得：，

综上，实数m的范围是．

二．二次函数恒成立问题

例5．已知函数，，. 若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围.

【详解】

（2）在上能成立，在上能成立，

，，，（当且仅当时取“”），，.

例6．已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的最大值.

解：（1）当时，由得，，即，解得，

所以不等式的解集为，

（2）由，得，所以问题转化为在上恒成立，

即在上恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为5，所以，所以的最大值为5

例7．已知函数，．若对任意，存在，使，求实数的最大值．

解：根据题意，可将问题转化为.

，当，即时，函数在上单调递减，；当，即时，.

而在上单调递增，故.所以或，解得，所以实数的最大值为.

总练习题

1．已知二次函数满足：，且方程有两个相等实根.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值；

（3）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

【详解】

（1）因为，所以的对称轴为，所以，

又因为有两个相等的实数根，所以有两个相等的实数根，所以，

所以，所以，所以；

（2）因为的对称轴为，

当时，在上单调递增，所以；

当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，

综上：当时，的最大值为；当时，的最大值为；

（3）因为在上单调递增，，

所以当时，，

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以在时的值域是在时的值域的子集，

因为在上单调递增，所以当时，，

所以，所以，所以，即.

2．函数，，，．

（1）求函数的单调性：

（2）若，求使恒成立时的取值范围；

（3）若，，，，使得，求实数的取值范围．

【详解】

（1）

当时，任取，且，则

因为，所以，又因为，所以，，

所以，，，

所以，所以在时单调递增．

（2）恒成立，则，

又因为为开口向上二次函数，对称轴为

若，即时，，，与矛盾：

若，即时，，所以

若，即时，，所以；

综上：．

（3）依题意，的值域含于的值域，当时，单调递增，

所以，，

当，时，单调递增，

所以，；

所以，．又，综上：.

3．已知函数，，.

（1）若函数在上有零点，求的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.

（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.

解：（1）因为函数的图象的对称轴是直线，

所以在上为减函数.

又在上存在零点，所以，解得

故的取值范围为

（2）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.

函数图象的对称轴是直线，

所以在上的函数值的取值集合为

①当时，，不符合题意，舍去.

②当时，在上的值域，只需，解得

③当时，在上的值域为，只需，无解.

综上，的取值范围为

（3）

当或时，在上单调递增，

则；

当时，，

解，得，

故当，

综上，

于是的最小值为

4．已知二次函数满足条件，．

（1）求函数的解析式；

（2）设，其中，函数在时的最大值是，求函数；

（3）若（为实数），对于任意，总存在使得成立，求实数的取值范围．

【详解】（1），设，，

，，故，解得：，，；

（2），，分以下情况讨论，的最大值

①当时，在上是减函数，；

②当时，的图象关于直线对称，

，故只需比较与的大小．

当即时，，，

当即时，，；

综上所得；

（3），函数的值域为，在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则，．