2022-2023学年重庆实验外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年重庆实验外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列冬奥会的会徽图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.使得有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，平面直角坐标系中，与关于原点位似，，若四边形的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市某天气温如何随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是(    )

A. 当日时的气温最低
B. 当日最高气温为
C. 从时至时，气温随时间的推移而上升
D. 从时至时，气温随时间的推移而下降

7.估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

8.下列说法错误的是(    )

A. 三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B. 平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C. 矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D. 正边形的各个顶点一定在同一个圆上

9.如图，是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点，若的半径为，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，正方形与正方形的边长分别是和，正方形绕点在平面内旋转，点，，分别是，，的中点，则周长的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

11.若数使二次函数的图象与轴的交点纵坐标为非正数，且使关于的不等式组有解且最多只有三个整数解，则符合条件的所有整数的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

12.对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论：若为正整数，则多项式的值一定是正数；存在实数，，使得的值为；若关于的多项式为常数不含的一次项，则该多项式的值一定不小于；若，则上述结论中，正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.计算： ______ ．

14.小明用、、这三个数字设置了自己旅行箱三位数字的密码，但是他忘记了数字顺序，那么他能一次打开旅行箱的概率是______ ．

15.在四边形中，，，，，以为圆心，之长为半径画弧交于，则图中阴影部分的面积为______ ．

16.“重庆小面”作为重庆的一张独特美食名片，讲述着重庆人爬坡上坎的生活，表达着重庆人的生活态度和文化精神，它不仅具有广泛知名度和美誉度，也已成为一种产业，并带动相关产业发展某“重庆小面”食品加工厂现有小麦若干千克，计划一边将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成“重庆小面”现先安排全部名工人天时间将小麦生产成面粉，再将工人分为甲、乙两组，甲组继续负责将小麦生产成面粉，乙组负责将面粉加工成“重庆小面”生产若干天后，面粉与“重庆小面”的质量之比为：，又生产若干天后，小麦被全部用完，此时面粉与“重庆小面”的质量之比为：已知工人每人每天可将千克小麦生产成千克面粉或将千克面粉加工成千克“重庆小面”若该名工人继续将剩下的所有面粉都加工成“重庆小面”，则这名工人需要继续工作______ 天才能完成．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.计算：
；
．

四、解答题（本大题共8小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
如图，在中，点是的中点，过作．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线保留作图痕迹不写作法；
在的条件下，设的平分线交于点，连接交于点若是的中点，求证：四边形是菱形．
证明：点是的中点，是的中点，
是的中位线， ______ ．
又，四边形是平行四边形．
， ______ ．
平分， ______ ．
， ______ ．
四边形是菱形．

19.本小题分
寒假归来，为检测初三同学假期锻炼的效果并为一个月后的体考做准备，学校组织了一次体育模拟考试，考试后体育王老师为了解所带、两个班的同学立定跳远情况，随机从两个班中各抽取名同学的立定跳远成绩进行整理、描述，分析立定跳远成绩用表示，为整数，共分为个等级：为不合格，为良好，为优秀，下面给出了部分信息：
班名同学立定跳远成绩：，，，，，，，，，；
班立定跳远成绩是“良好”等级的有人，其成绩分别是：，，，．

班立定跳远情况

根据以上信息，解答下列问题：
填空：表中的 ______ ， ______ ；
初三学生共有人，请估计初三年级立定跳远成绩不合格的有多少人？
根据以上数据分析，你认为哪个班级立定跳远成绩更加优秀？请说明理由写出一条理由即可．

20.本小题分

已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．
求一次函数的解析式及点的坐标；
在网格中画出一次函数的图象，并根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若在轴上存在点使得，求的坐标．

21.本小题分
某书城新购进一批图书，先清点整理，再对外销售．
工人甲花了个小时清点整理完这批图书的一半，工人乙再加入清点整理另一半图书的工作，两名工人合作小时清点整理完另一半图书，若由工人乙单独清点整理这批图书需要几个小时？
在销售过程中，书城发现，该批图书每套在成本的基础上提高元销售时，平均每周可以售出套为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，发现每套售价每降低元，平均每周可以多售出套并且为了积极响应习总书记提出的“要提倡多读书，建设书香社会，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量”的号召，书城决定，每售出该批图书一套，就向当地的读书会捐赠元用于推广全民阅读，当该批图书每套降价多少元时，书城每周销售该批图书的利润为元？

22.本小题分
如图，明明在居民楼前面空旷的广场上放飞无人机已知，居民楼高米米，明明站在广场上的点处测得点的仰角为，、、在同一水平线上，然后，明明将无人机竖直向上飞到点处，此时测得点的俯角为不考虑明明的身高
求无人机竖直飞行的高度保留根号
若无人机到达点处后，立即水平向右沿着射线的方向飞行，速度为米秒，请问，无人机在水平方向上飞行多少秒后会进入明明的视线盲区？精确到秒参考数据：，

23.本小题分
材料一：若一个四位数的各个数位数字之和为，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于，百位数字与个位数字之差的绝对值等于，则这个四位数为“差数”．
例如：，，且，是“差数”．
又如：，，不是“差数”．
材料二：若一个四位数的各个数位数字成比例，则这个四位数为“成比例数”．
例如：，各个数位数字由小到大排列后为，，，，满足：：，为“成比例数”．
又如：，各个数位数字由小到大排列后为，，，，：：，不是“成比例数”．
是“差数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由；
若一个四位数既是“差数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的．

24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，其中，．

求抛物线的解析式；
为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
将抛物线沿方向平移个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.本小题分
如图，为等腰三角形，，，延长至点，线段、线段的垂直平分线交于点．

请用含的式子表示出．
如图，若，，点、分别为线段、中点，连接，求证：．
如图，在的条件下，若，将直线沿着直线翻折得到直线，点是直线上一动点，连接、，请直接写出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据倒数的定义得：
，
因此倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为，，则的倒数是．
此题考查的是倒数，关键明确倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．需要注意的是负数的倒数还是负数．

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，解得，
即的取值范围为：，
故选：．
二次根式有意义即根式下的数要大于或等于，据此条件列出不等式，即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件及解不等式的知识，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，故A计算错误；
B.，故B计算正确；
C.，故C计算错误；
D.，故D计算错误；
故选：．
根据积的乘方法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则进行判断便可．
本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，关键是熟记积的乘方法则，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则．

5.【答案】 

【解析】解：与关于原点位似，，
与的相似比为：：，
，
与的相似比为：：，与的相似比为：：，
，，
四边形与四边形的位似比为：：，
四边形与四边形的面积比为：：，
四边形的面积为，
四边形的面积为
故选：．
直接利用位似图形的性质得出与的面积比，得出四边形与四边形的位似比，推出四边形与四边形的面积比，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、由函数图象知气温达到最低是在时前，此选项不合题意；
B、当日最高气温不到，此选项不合题意；
C、从时至时，气温随时间的推移而上升，说法正确，故本选项符合题意；
D、从时至时，气温随时间的推移先上升后下降，此选项不合题意；
故选：．
根据该市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：


，
，
，
，
代数式的值在和之间．
故选：．
先化简计算代数式的值，然后对结果进行估算即可．
本题考查了无理数的估算以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式混合运算的法则正确计算代数式的值．

8.【答案】 

【解析】解：根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意；
B.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意；
C.矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意；
D.正边形的对角线互相平分，所以正边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意；
故选：．
根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上；根据矩形和正边形的对角线互相平分可知矩形的四个顶点和正边形的各个顶点一定在同一个圆上，根据平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，即可得出答案．
本题主要考查三角形的外接圆，圆的认识，三角形、平行四边形、矩形及正多边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：为的切线，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故选：．
首先利用余角的性质得到，证明，然后设，利用勾股定理列方程即可求解．
本题考查切线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是解决问题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，，

点，，分别是，，的中点，
根据三角形中位线的性质有：，，
正方形与正方形的边长分别是和，
，，
则利用勾股定理可得：，，
，
点是正方形的对角线的中点，
，
同理可得：，
在中，，
，
当点在线段上时，有，
当点在的延长线上时，有，
，
同理可得：，，
当点在线段的延长上时，有，
当点在线段的延长上时，有，
，，
，，
当点在线段的延长上时，同时满足：点在线段的延长上，点在线段的延长上，如图，

此时最大值分别为：，，，
，
故选：．
连接，，根据三角形中位线的性质有：，，利用勾股定理可得：，，，点是正方形的对角线的中点，，同理可得：，在中，，即，当点在线段上时，有，当点在的延长线上时，有，即有，同理可得：，，进而有，，当点在线段的延长上时，同时满足：点在线段的延长上，点在线段的延长上，问题随之得解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位的性质，三角形三边之间的关系以及性质的知识，掌握正方形的性质，作出合理的辅助线是解答本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴的交点坐标为非正数，
且，
且，
解不等式组，根据不等式有解集，可得，
不等式组有且最多只有三个整数解，
，
，
结合且，可得：且，
所以符合条件的所有整数有、，共计个，
故选：．
根据二次函数图象与轴的交点纵坐标为非正数可得且，再结合不等式组有且最多三个整数解，求得的取值范围即可求得答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质以及不等式组的求解是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，
当时，故错误；
当，
即，
，
当，时满足要求．故正确．
，
不含的一次项，
，
，
，故正确；
，
，
整理：，
即或，故错误，
综上，只有是正确的，即有个正确．
故选：．
根据整式的混合运算，及完全平方公式为非负的特点，结合特殊值代入法求解．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了绝对值的性质、负整数指数幂、实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：等可能的结果有：，，，，，，
他能一次打开旅行箱的概率是：．
故答案为：．
首先利用列举法可得：等可能的结果有：，，，，，；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，
，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，，
，
，
、是等边三角形，
，，
弓形与弓形的面积相等，
．
故答案为：．
连接，，先后证明、是等边三角形，即可得，则在中，，有，利用勾股定理可得，则有，根据，可得弓形与弓形的面积相等，则有，问题得解．
本题考查了扇形面积的计算，涉及到等边三角形的判定与性质，平行线的性质，圆的基本性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，证明、是等边三角形是解答本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：设有名工人分在甲组，则有名工人分在乙组，生产天后，面粉与“重庆小面”的质量之比为：，
先安排全部名工人天时间将小麦生产成面粉，
则一天后面粉的质量为：千克，
生产天后，
面粉质量为：千克，
面条质量为：千克，
生产天后，面粉与“重庆小面”的质量之比为：，
，
，
、为正整数，且，
为的倍数，
，
，
生产天后，
面粉质量为：，，千克，
面条质量为：，，千克，
设又生产天后，小麦被全部用完，此时面粉与“重庆小面”的质量之比为：，
面粉质量为：，，千克，
面条质量为：，千克，
，
解得：，
一共生产面粉的质量为：千克，
生产过程中加工成“重庆小面”用去的面粉质量为：千克，
剩余面粉的质量为：千克，
名工人继续将剩下的所有面粉都加工成“重庆小面”所需的天数为：天，
故答案为：．
设有名工人分在甲组，则有名工人分在乙组，生产天后，面粉与“重庆小面”的质量之比为：，根据题意列出方程求出及的值；设又生产天后，小麦被全部用完，此时面粉与“重庆小面”的质量之比为：，列出关于的方程，解方程求出的值，进而求出生产面粉的总质量和生产“重庆小面”用去的面粉的质量，即可正确解答．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意在不同条件下分别表示出面粉和面条的质量，从而列出方程是解决问题的关键．

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则计算乘法，再合并同类项；
先通分计算括号里面，再把除法转化为乘法计算乘法，最后化简．
本题考查了整式、分式的混合运算，掌握整式的运算法则、乘法公式及分式的运算法则是解决本题的关键，注意分式运算的结果需化为最简分式．

18.【答案】       

【解析】解：如图，即为的角平分线；

证明：点是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形是平行四边形．
，
．
平分，
．
，
，
平行四边形是菱形．
故答案为：；；；．
根据角平分线的作法即可解决问题；
根据平行四边形的判定和菱形的判定即可证明．
本题考查了作图基本作图及平行四边形与菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．

19.【答案】   

【解析】解：将班成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，
班的众数为：，故，
班优秀的人数为：人，
则班不合格的人数为：人，
将班成绩从小到大排列：不合格人，，，，，优秀人，
则班中位数为：，故．
故答案为：，；
、班中不合格比例为：，
即：人，
答：估计初三年级立定跳远成绩不合格的有人；
班的优秀率高于班的优秀率，
班的成绩更好．
理由：班的优秀率高于班的优秀率答案不唯一．
先求出班“优秀”等级的人数，即可求出班“不合格”等级的人数，在根据中位数、众数的定义即可作答；
统计出、班“不合格”的人数，继而求解出样本中的不合格率，即可估计出全年级不合格人数；
结合众数、平均数、方差、中位数以及优秀率作答即可．
本题考查了中位数、众数、方差、平均数、扇形统计图以及用样本估计总体等知识，注重数形结合，并掌握利用中位数、众数、方差、平均数等参数做决策是解答本题的关键．

20.【答案】解：，则，
，
，
一次函数解析式为，
联立有：，
解得，，
，
点坐标为；
作图如下，直线即为一次函数图象；

的解集，表示一次函数图象在反比例函数图象上面的时候，
即点左侧，或原点到点之间，
的解集为：或；
如图，

当在轴正半轴时，如图，，设交轴于点，作轴于、轴于，，，
则，，
，
化简得，
解得，
当在轴负半轴时，如图，，，
，
解得，
所以点坐标或． 

【解析】先求出点纵坐标，代入一次函数解析式，求解的值，即可求出解析式；然后联立反比例函数解析式组成方程组，求解另一个的值，代入反比例函数即可求得点坐标；
连接、点所在直线即是一次函数图象；的解集，可以看图中一次函数图象在反比例函数图象上方部分，根据、点的横坐标即可写出对应解集；
这样的点有两个，分别在轴的正半轴和负半轴各一个，设，交轴于点，转化成，根据、点坐标可以求出、的高，用的式子分别表示它们的底，即可求解的值，从而求得点坐标．
本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．

21.【答案】解：设工人乙单独清点整理这批图书需要小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
工人乙单独清点整理这批图书需要小时．
设每套应降价元，则，
解得：，舍，
该批图书每套降价元时，书城每周销售该批图书的利润为元． 

【解析】先设工人乙单独清点整理这批图书需要小时，根据工人甲花了个小时清点整理完这批图书的一半，两名工人合作小时清点整理完另一半图书，列方程，求出的值．再进行检验，即可得出答案；
设每套应降价元，则根据题意列出方程，解方程即可得出答案．
本题主要考查分式方程和一元二次方程的实际应用，理清题意，找到题目中的等量关系式是解题的关键．

22.【答案】解：延长，交于点，如图，

根据题意可知：，，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，，
米，
米，
米，
答：无人机竖直飞行的高度为米；
延长，交于点，如图，

结合图形可知：当无人机飞过点后，即进入明明的视野盲区，
在求得米，，，
，
，
米，
飞行时间为：秒，
答：无人机在水平方向上飞行秒后会进入明明的视线盲区． 

【解析】延长，交于点，根据题意可知：，，先证明四边形是矩形，即有，，证明，即有，则，，问题随之得解；
延长，交于点，结合图形可知：当无人机飞过点后，即进入明明的视野盲区，在求得，证明，即有，则问题得解．
本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角、俯角的含义是解答本题的关键．

23.【答案】解：，且，
是“差数”，
各个数位数字由小到大排列后为，，，，
且：：，
不是“成比例数”；
设有四个小于的正整数：、、、，
且，
即、、、的平均数为，
显然当时，组成的数字不是“差数”，
当、、、，有三个数大于时，这四个是必为：、、、，
则、、、组成的数既无法是“差数”，也无法是“成比例数”；
当、、、，有三个数小于时，这四个是必为：、、、，
则、、、组成的数既无法是“差数”，也无法是“成比例数”；
结合“差数”和“成比例数”的特点，
设、、、满足，
当，时，
，
，
，
，，
，，
将、、、从小达到排列为，，，，且：：，
，，，，无法组成“成比例数”，故此种情况舍去；
当，时，
，
，
，
，，
，，
得到四个数字：、、、，组成的数字必定是“成比例数”，
此时可以组成的“差数”有：、、、；
综上：满足条件的有：、、、． 

【解析】根据“差数”和“成比例数”的定义直接判断即可；
设有四个小于的正整数：、、、，且，即、、、的平均数为，结合“差数”和“成比例数”的特点，设、、、满足，当，时，可得，即有，，此时依据“成比例数”的定义判断即可；当，时，可得，即有，，则，，此时依据“成比例数”的定义判断即可作答，问题随之得解．
本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“成比例数”和“差数”．

24.【答案】解：抛物线交轴于、，交轴于点，其中，，
，
，
抛物线的解析式为：．
设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，如图所示：

，
顶点，
，，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：；
在中，令，得，
，
，
，
设，则，，
，，
，，
，
，
，
，
，，，，
当时，最大，此时；

存在，理由如下：
，，
，
抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，，
，
，
，
交点，
设，
则，，，
当为斜边时，即，如图，

，
，
，
或舍，
；
当为斜边时，即，如图，

，
，
，
与重合，舍去或与重合，舍去，或或，
或；
当为斜边时，即，如图，

，
，
或与重合，舍去，
，
综上所述：或或或． 

【解析】将，代入抛物线，列方程，即可求得抛物线的解析式；
设与轴交于点，连接，过作轴平行线，交于，交延长线于，先求出，设，则，，求出，由，得，从而，即可得到当时，最大，此时；
由，，得，抛物线沿方向平移个单位，相当于抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，即可求出点，设，则，，，直角三角形按直角分类，利用勾股定理列方程即可求得点的坐标．
本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象中三角形，四边形面积问题，关键在于面积的转化，以及直角三角形的存在性问题，注意要分类讨论，利用勾股定理逆定理来求解．

25.【答案】解：，
，
，
点是线段、的垂直平分线的交点，
，
，，
；
证明：如图，连接，，过作的平行线交的延长线于点，连接则，

，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
点为线段中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点为线段中点，，
，
，
，
，
，
，
点为线段中点，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
；

解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，连接并延长交于点，
则，，，
直线沿着直线翻折得到直线，且，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点与点重合时，最大，且最大值为线段的长，
，，
，
而，
，
，
，
最大值为线段的长．
如图，在的内部作交于点，过点作于点，

，
，
，
，
由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得，
，
的最大值为． 

【解析】由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，再由线段垂直平分线的性质及四边形内角和定理即可求得；
连接，，过作的平行线交的延长线于点，连接由已知易得为等边三角形，则，则可得；可证明≌，则可得，从而可得四边形是平行四边形，则有；由等腰三角形的性质及前面所求，可得，再由可得，从而可得，则由勾股定理得，从而问题得证；
作点关于直线的对称点，则，连接、、，连接并延长交于点，则可得是等边三角形，，结合，则；由，即当点与点重合时，最大，且最大值为线段的长；由题意易得；在的内部作交于点，过点作于点，则可得，从而可求得，，则，从而可得的最大值．
本题是几何的综合问题，考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，翻折及对称的性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键与难点．