2023-2024学年河南省地区联考高二（上）段考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年河南省地区联考高二（上）段考数学试卷（一）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.空间四边形中，，，，且，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.已知点在直线的上方，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5.在正三棱锥中，是的中心，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知点在直线上运动，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.设为函数图象上一点，点，为坐标原点，，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是(    )

A. 平面平面
B. 线段的最小值为
C. 当，时，点到直线的距离为
D. 当，分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，设直线，，的斜率分别为，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.若，，与的夹角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.下列说法正确的是(    )

A. 已知直线与直线垂直，则实数的值是
B. 直线必过定点
C. 直线在轴上的截距为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

12.如图，已知正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是(    )

A. 平面
B. 点到平面的距离为
C. 正方体的内切球半径为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知空间向量，，满足，，，，则向量与的夹角为          ．

14.直线：与直线：之间的距离为______ ．

15.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：
当点是中点时，直线平面；
平面截正方体所得的截面图形是六边形；
不可能为直角三角形；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______ ．

16.已知实数、、、满足：，，，则的最大值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知向量
求；
求夹角的余弦值．

18.本小题分
已知直线：和直线：．
Ⅰ当时，求的值；
Ⅱ当时，求的值．

19.本小题分
如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
以、、为一组基底表示向量；
若，，，求．
 

20.本小题分
已知的三个顶点分别为、、求：
边上的中线所在直线的方程；
的面积．

21.本小题分
已知直线：．
证明：直线过定点；
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．

22.本小题分

如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
求点到平面的距离；
点在棱上，当二面角为时，求

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：直线的一个方向向量为，
则直线的斜率为，
直线过点，
则，即．
故选：．
根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
本题主要考查直线的点斜式公式，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又

，
所以，
则．
故选：．
根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果．
本题考查利用空间向量数量积运算求线段的长，属中档题．

4.【答案】 

【解析】解：若点在直线的上方，
则，
解得：．
故选：．
若点在直线的上方，点代入等式左侧小于，解得答案．
本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域，确定不等号的方向是解答的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由图所示，取中点，连接，，
因为正三角形边长为，为中心，
所以，，
又，为中点，
，
，，


．
故选：．
本题是立体几何与空间向量的结合，基本思路是将转化为，再结合图形，求出两向量的模及夹角余弦，用数量积的定义求解即得．
本题主要考查正三棱锥里面的线段关系，空间向量数量积的运算，属基础题．

6.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了点到直线的距离公式的应用，熟练掌握距离公式是解本题的关键．

表示点与距离的平方，求出到直线的距离，平方即可得到最小值．

【解答】

解：表示点与距离的平方，
点到直线的距离，

的最小值为．

故选A．

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可设，，
，
，，又，
，，又，，
，，
．
故选：．
先根据题意可设，再根据建立方程，从而得点坐标，最后根据向量的数量积的坐标运算，即可求解．
本题考查向量数量积的坐标运算，方程思想，属基础题．

8.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，
在菱形中，，
，又，
，所以，
又易知，，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故A正确；
以为原点，，，分别为，，轴建立坐标系，

则，
当，时，，
，
所以点到直线的距离为，故C错误；
设，设，可得，
，
当时，，故B正确；
当，分别为线段，的中点时，
，
设与所成的角为，
则，
所以与所成角的余弦值为，故D正确；
故选：．
取的中点，易知，，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断；建立坐标系，利用向量法可判断．
本题考查了点到直线的距离和异面直线所成的角，属于中档题．

9.【答案】 

【解析】解：直线，，的斜率分别为，，，
由图可得，直线的斜率为正值，即，倾斜角为锐角；
而直线、的斜率为负值，倾斜角为钝角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故有，
，故B、C正确，且A错误．
由于减去直线的倾斜角小于直线的倾斜角，故，故D错误，
故选：．
由题意，根据直线的倾斜角和斜率的定义，数形结合，得出结论．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查实数值的求法，考查向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量夹角公式直接求解．

【解答】
解：，，与的夹角为，
，
解得或．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：若直线与直线垂直，则，
解得或，A错误；
由可得，
当时，，即直线过定点，B正确；
直线在轴上的截距为，C正确；
直线经过且在轴和轴上截距都相等，D错误．
故选：．
由已知结合直线垂直的条件检验选项A；
结合直线系方程检验选项B；
结合直线截距的概念检验选项C；
结合直线方程的截距式检验选项D．
本题主要考查了直线垂直的条件及直线的基本概念，属于基础题．

12.【答案】 

【解析】解：对于，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，由于，，平面，

所以平面，A正确；
对于，由可知，平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，B正确；
对于，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
所以正方体的内切球半径为，C错误；
对于，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，D错误．
故选：．
对于，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于，利用面面角的向量法求解即可判断．
本题考查线面垂直的判定，考查二面角，考查点到面的距离，考查向量的应用，属于中档题．

13.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的夹角公式，属于中档题．
根据已知条件，先求出，再结合平面向量的夹角公式求解即可．

【解答】
解：设向量与的夹角为，，
，，
，
即，解得，
，
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：直线：，即，
则所求距离为．
故答案为：．
根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．

15.【答案】 

【解析】解：对，如图所示，因为是中点，，
所以点是的中点，连接，
显然也是的中点，连接，所以，
而平面，平面，
所以直线平面，正确；

对，如图直线与的延长线分别交于，
连接，，分别交，连接，
则五边形即为所得的截面图形，故错误；

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
对，设，则，
则，，
由，即，
解得，
由，故存在点，使得，故可能为直角三角形，错误；
对，由得在的投影为，
故到的距离，
面积为，
当时，取得最小值为，正确．

故答案为．
由线面平行的判定定理可判断；
作辅助线得到图形即可判断；
建立空间直角坐标系，由题中条件和向量知识可判断；
通过三角形的面积公式计算即可判断．
本题考查线面平行的判定与利用空间向量解决空间中的相关问题，属于中档题．

16.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查直线与圆的位置关系，属于较难题．
设，，为坐标原点，，，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，，的几何意义为点，两点到直线的距离与之和，设中点为，则距离与之和等于到直线的距离的两倍，接着求出点到直线的距离的最大值，由此可求的最大值．

【解答】
解：设，，为坐标原点，
，，
由，，，
可得，两点在圆上，
且，
即有，
即三角形为等边三角形，，
的几何意义为点，两点到直线的距离与之和，
设中点为，则距离与之和等于到直线的距离的两倍，
圆心到线段中点的距离，圆心到直线的距离，
到直线的距离的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：．

17.【答案】解：因为，所以．
，，
所以夹角的余弦值为． 

【解析】利用空间向量的模长公式求模长．利用空间向量的数量积的应用求两个向量的夹角的余弦值．
本题主要考查空间向量的模长公式以及空间向量的数量积的应用．

18.【答案】解：由，解得或经过验证时两条直线重合，舍去．．
时，两条直线不垂直，舍去．
时，由时，，解得． 

【解析】由，解得或经过验证即可得出．
时，两条直线不垂直，舍去．时，由时，，解得．
本题考查了相互平行垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19.【答案】解：为线段的中点，，
，，


；




． 

【解析】直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
本题考查空间向量的数量积运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：设边上的中点为，则，即，
故AC边上的中线所在直线的方程的斜率为，
故为：，即；
边所在直线的方程为：，
且，
点到直线的距离为：，
故的面积：． 

【解析】由题可得中点坐标，结合中线过点，可得答案；
由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高．
本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题．

21.【答案】证明：将直线整理成，
令，解得，，
直线恒过定点．
解：直线的方程为，在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则，解得，
所以的取值范围为．
解：由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为，，
所以，，
因为，，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，此时直线的方程为． 

【解析】将直线整理成关于的方程，再构造和的方程组，解之即可；
写出直线的斜率和在轴上的截距，对其进行限定，即可得关于的不等式组，解之即可；
易知，，结合和基本不等式，即可得解．
本题考查直线的方程，利用基本不等式求最值，熟练掌握直线的斜率和截距，直线方程的表达形式，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

22.【答案】证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
所以，且，不在一条直线上，
所以．
解：设平面的一个法向量为，
因为，
所以，设，则，，
所以，
又因为，
所以点到平面的距离；
设，
，
设平面的法向量为，
则，
令，，，所以，
所以，
可得，解得或，
因为，，
所以，
所以． 

【解析】利用空间向量的坐标表示证明；
利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；
利用空间向量与二面角的关系求解．
本题主要考查了点面距离，空间角的求解，空间向量的应用是求解问题的关键，属于中档题．