2022-2023学年河南省商丘第一高级中学等校联考高一（下）段考数学试卷（五）（含解析）

2022-2023学年河南省商丘第一高级中学等校联考高一（下）段考数学试卷（五）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  为了解高三年级个班共名学生的高考填报志愿的情况，决定在个班中每班随机抽取人的志愿进行分析，这个问题中样本量是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，，若与垂直，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从，，三个数中任选个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点为的边上靠近点的三等分点，，设，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球上和一个圆台下的组合体，其中半球的半径为米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为米，若圆台的体积是半球的体积的倍，则圆台的高约为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件不相互独立的是(    )

A. 甲与丙 B. 乙与丙 C. 乙与丁 D. 丙与丁

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知复数满足，则下列说法错误的是(    )

A. 的虚部为 B. 的共轭复数
C.  D.

10.  某高中一年级共有甲、乙、丙个班级，其中甲班人，乙班人，丙班人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则(    )

A. 若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取人，则甲班应抽取人
B. 若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取人，则丙班应抽取人
C. 这次一年级数学月考的平均及格率为
D. 若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽人，则该学生来自丙班的概率最大

11.  小张于年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了年期的等额本息的还贷方式每月还款数额相等，年底贷款购置了一辆小汽车，且截至年底，他没有再购买第二套房子如图是年和年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图根据以上信息，判断下列结论中正确的是(    )

 

A. 小张一家年的家庭收入比年增加了倍
B. 小张一家年用于娱乐的支出费用为年的倍
C. 小张一家年用于饮食的支出费用小于年
D. 小张一家年用于车贷的支出费用小于年用于饮食的支出费用

12.  如图，在四棱锥中，，，，，平面，设，，，的中点分别为，，，，则(    )

A. ，，，四点共面
B. 平面平面
C. 四棱锥的表面积为
D. 异面直线与所成角的正切值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______ ．

14.  已知，一组数据，，，，的方差为，则 ______ ．

15.  根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为，数学成绩及格的概率为，语文和数学同时及格的概率为，则至少有一科及格的概率为______ ．

16.  如图，菱形的边长为，，，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，满足，，且和的夹角为．
Ⅰ求；
Ⅱ求在上的投影向量的长度．

18.  本小题分
某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩满分分按照，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．
Ⅰ求测试成绩的分位数；
Ⅱ按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩都在内的概率．

19.  本小题分
甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工个零件．
Ⅰ求这个零件均质检合格的概率；
Ⅱ若一等品的价格为元，二等品的价格为元，废品的价格为元，求这个零件的价格之和不低于元的概率．

20.  本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，为棱的两个三等分点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．

21.  本小题分
已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．
Ⅰ求；
Ⅱ设为边上一点，是的角平分线，且，，求的面积．

22.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离；
Ⅲ求直线与平面所成角的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在复平面内对应的点为，在第三象限．
故选：．
由复数的四则运算法则求出复数，再由其几何意义即可得．
本题考查复数的运算及其几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个问题中样本量是人．
故选：．
问题中样本量是参加分析的总人数．
本题考查随机抽样的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
则，
，与垂直，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题．
由已知条件推导出，再由，推导出．

【解答】

解：互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，
或或与相交，，
，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：从，，三个数中任选个，分别作为圆柱的高和底面半径，则有，
圆柱的体积，
由，得，得，
当时，，此时不存在，
当时，，此时或，共种，
当时，，此时或或，共种，
综上合计种．
则对应的概率，
故选：．
根据圆柱的体积公式，结合古典概型的概率公式进行计算即可．
本题主要考查概率的计算，根据圆柱的体积个，利用古典概型进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，，又，




．
故选：．
根据向量的线性运算，将分解，用和表示出来即可．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由圆台的体积公式，以及球体的体积公式，
，
解得．
圆台的高约为米．
故选：．
利用圆台的体积公式与球体的体积公式可求圆台的高．
本题考查圆台的体积公式与球体的体积公式，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，将骰子抛掷两次向上的点数记为数对，则样本空间有个样本点，
其中，甲，乙，丙，丁，
则甲丙甲丙，即甲与丙相互独立；
乙丙乙丙，即乙与丙相互独立；
乙丁乙丁，即乙与丁相互独立；
丙丁丙丁，即丙与丁不相互独立．
故选：．
分别将事件的概率求出，再与各选项中两个事件的积事件概率做比较，根据相互独立事件的定义进行判断．
本题考查相互独立事件的判定，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，
，
则，即，即，解得，，
故，
对于，的虚部为，故A错误；
对于，的共轭复数，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：项，应为分层随机抽样法，从一年级所有学生中抽取人，
则甲班应抽取人，A错误；
项，：：：：，
则按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取人，
丙班应抽取人，B正确；
项，一年级数学月考的平均及格率为，C正确；
项，一年级数学月考及格的学生人数为，
则随机抽人，则该学生来自甲班的概率为：，
则随机抽人，则该学生来自乙班的概率为：，
则随机抽人，则该学生来自丙班的概率为：，
则该学生来自乙班的概率最大，D错误．
故选：．
分层随机抽是按比例抽取，由此可判断，项；，项需先算出一年级数学月考及格的人数，由此可得．
本题考查分层抽样，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，设一年房贷支出费用为，年收入为，则年的收入为，比年增加了一倍，正确；
对于，年的娱乐支出费用为，年的娱乐支出费用为，相较于年，为年的倍，错误；
对于，用于饮食费用的支出为，年的饮食费用支出为，显然年高，错误；
对于，车贷的支出费用为，饮食支出费用为，所以年用于车贷的支出费用小于年用于饮食的支出费用，正确．
故选：．
根据统计图表所给信息，即可判断正误．
本题考查对统计图表的分析，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：选项A，因为，，，分别为，，，的中点，
则，，，，，，四点共面，故A正确；
选项B，因为平面，平面，
所以，又，，
则平面，又平面，
所以平面平面，选项B正确；
选项C，由题意，四棱锥的表面积为


，选项C错误；
选项D，因为、为、的中点，所以，
则即为异面直线与所成角，
在中，，，
所以，
即异面直线与所成角的正切值为，选项D正确．
故选：．
根据空间中点，直线，平面的位置关系，可判定选项A，，利用三角形及梯形的面积公式，判定选项C，用异面直线所成角的定义及求法，判断选项D．
本题考查了平面垂直，四点共线，以及异面直线所成角的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，
所以由正弦定理，可得．
故答案为：．
由已知利用三角形的内角和定理可求的值，进而利用正弦定理即可求解的值．
本题考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：；
，
，解得或，又因为，
故答案为：．
根据方差定义，即可求出的值．
本题考查方差的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：至少有一科及格的概率为．
故答案为：．
根据和事件的公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：设的夹角为，
，，
，
，




，
，，

由平面向量的线性运算将，用表示出来，再由平面向量的数量积运算和三角函数的有界性即可求．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，三角函数的有界性，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意知，，设，，
；
，，
，
所以，
在上的投影向量的长度为． 

【解析】利用，结合数量积的定义计算即可；
求出两向量的夹角的余弦值，然后套用公式计算即可．
本题考查模的计算以及投影向量的概念及性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图可知，可得，
由题可得，
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
则分位数，且．
Ⅱ成绩在和内的人数之比为：，
故抽取的人中成绩在内的有人，设为，，，成绩在内的有人，设为，
再从这人中选人，这人的所有可能情况为，，，，，，共种，
这人成绩均在内的情况有，，，共种，
故这人成绩都在内的概率为． 

【解析】根据频率分布表百分位数的求法可求出第一问；根据古典概率模型可求得第二问．
本题考查频率分布直方图的性质，属于基础题．
 

19.【答案】解析  Ⅰ设事件表示“甲加工的零件质检合格”，，
设事件表示“乙加工的零件质检合格”，，
所以．
Ⅱ设甲加工的零件的价格为随机变量，乙加工的零件的价格为随机变量，
，，，
，，，
这个零件的价格之和低于元的概率，
这个零件的价格之和不低于元的概率为． 

【解析】Ⅰ根据相互独立事件的乘法公式计算即可；
Ⅱ分别求得甲、乙加工零件价格对应的概率，根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查离散型随机变量的分布列，是中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ证明：如图，连接交于点，连接．
因为在中，为的中点，为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ连接，，．
因为在正方体中，，，，
所以平面，
又因为，均在平面内，
所以，，
所以是二面角的平面角，
因为正方体的棱长为，所以，，，
由勾股定理得，，，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】解：Ⅰ连接交于点，连接，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得答案．
Ⅱ连接，，，由正方体的几何特征可得平面，推出是二面角的平面角．由勾股定理得，，F.在中，由余弦定理得，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角的计算，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

21.【答案】解Ⅰ由，利用正弦定理得，
化简得，
由余弦定理得，
又，
所以；
Ⅱ由题意得，
由，
得，
因为，，
所以，即，
故． 

【解析】Ⅰ由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而可求；
Ⅱ已知结合三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解析  Ⅰ连接．
，且，，

又和都垂直底面，即且，
四边形是正方形，．
三棱柱是直三棱柱，
平面，
，
又，，
平面，平面，
．
又，所以平面．
Ⅱ连接，，如图所示．
，且三棱柱是直三棱柱，
平面，
又平面，
点到平面的距离即为．
不妨设点到平面的距离为．
由，得，
即，
得，
解得，
所以点到平面的距离为．
Ⅲ如图，设与相交于点，连接．
由Ⅰ知，平面，所以是直线与平面所成的角．
由勾股定理得，，
则，得，
故直线与平面所成的角为． 

【解析】线面垂直；点面距；线面角．
本题主要考查空间中的线面关系，考查推理能力，属于基础题．