13.1 命题、 定理与证明 华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)

第13章　全等三角形

单元大概念素养目标

13.1　命题、定理与证明

基础过关全练

知识点1　命题及相关概念

1.【新独家原创】下列语句属于命题的是                  (　　)

A.车站每天的客流量是多少?

B.流动中国的活力

C.中国前行的脚步

D.三角形的三边的垂直平分线的交点在三角形的内部

2.(2023广东深圳福田期末)下列命题中,属于真命题的是 (　　)

A.如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角

B.三角形的一个外角大于任何一个内角

C.两直线平行,同旁内角相等

D.等角的余角相等

3.【教材变式·P55T1】把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果……,那么……”的形式:　　　　　　　　　　　　　　. 

4.命题“互为相反数的两个数的和为0”的条件是　　　　　　　　,结论是　　　　　　　　. 

知识点2　证明命题的一般步骤

5.【跨学科·物理】(2023甘肃天水期末)如图所示的是一个潜望镜模型示意图,AB,CD代表镜子摆放的位置,并且AB与CD平行,光线经过镜子反射时,满足∠1=∠2,∠3=∠4.

证明离开潜望镜的光线MN平行于进入潜望镜的光线EF.

请补全下述证明过程:

∵AB∥CD,

∴∠2=　　　　. 

∵∠1=∠2,∠3=∠4,

∴∠1=∠2=∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+　　　　=180°, 

∴∠5=　　　　. 

∴MN∥EF(　　　　　　　　　　　　　). 

6.(2023广东深圳福田期末)已知:如图,△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,EF交DC于点F,∠3+∠2=180°,∠1=∠B.

(1)求证:DE∥BC;

(2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2的度数.

能力提升全练

7.(2020四川雅安中考改编,5,★☆☆)下列四个选项中不是命题的是                                                                        (　　)

A.三角形的内角和为180°

B.过直线外一点作直线的平行线

C.三角形任意两边之和大于第三边

D.如果a=b,a=c,那么b=c

8.(2020湖北宜昌中考,6,★★☆)能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是                                          (　　)

A           B           C           D

9.(2023河南南阳第一完全学校期末,11,★☆☆)命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是　　　　　　　　　　　　　　,结论是　　　　　　　　. 

10.【新考法】(2022福建中考,15,★★☆)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.

例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:

设任意一个实数为x,令x=m,

等式两边都乘x,得x2=mx.①

等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.②

等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③

等式两边都除以(x-m),得x+m=m.④

等式两边都减m,得x=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是　　　　. 

素养探究全练

11.【推理能力】问题情境:

(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小颖同学的解题思路如下:如图2,过P作PE∥AB,……

请你接着完成解答;

问题迁移:

(2)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系,并说明理由(提示:过P作PE∥AD);

(3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动(点P与点A、B、O三点不重合),请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.

图1      图2          图3        备用图

答案全解全析

基础过关全练

1.D　根据命题的定义判断,只有D符合命题的定义.

2.D　A.对顶角出现的前提条件是两直线相交,相等的角不一定是对顶角,故原命题是假命题;B.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,故原命题是假命题;C.两直线平行,同旁内角互补,故原命题是假命题;D.等角的余角相等,正确,是真命题,符合题意,故选D.

3.答案　如果一个数不能被2整除,那么这个数是奇数

4.答案　两个数互为相反数;这两个数的和为0

解析　命题可改写为“如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0”,故条件是“两个数互为相反数”,结论是“这两个数的和为0”.

5.解析　∠3;∠6;∠6;内错角相等,两直线平行.

6.解析　(1)证明:∵∠DFE+∠2=180°,∠3+∠2=180°,

∴∠DFE=∠3,

∴BD∥EF,

∴∠1=∠ADE,

∵∠1=∠B,

∴∠ADE=∠B,

∴DE∥BC.

(2)由(1)知∠ADE=∠B,BD∥EF,

∴∠2=∠ADC,

∵DE平分∠ADC,

∴∠ADC=2∠ADE=2∠B,

∵∠3+∠ADC=180°,∠3=3∠B,

∴3∠B+2∠B=180°,解得∠B=36°,

∴∠ADC=72°,

∴∠2=72°.

能力提升全练

7.B　由题意可知,A、C、D都是命题,B项没有作出判断,不是命题.故选B.

8.C　A.如图(1)所示,∠1是锐角,且∠1=∠α+∠β,所以此图无法说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意;B.如图(2)所示,∠2是锐角,且∠2=∠α+∠β,所以此图无法说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意;C.如图(3)所示,∠3是钝角,且∠3=∠α+∠β,所以此图能说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题,故本选项符合题意;D.如图(4)所示,∠4是锐角,且∠4=∠α+∠β,所以此图无法说明“锐角α,锐角β的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意.故选C.

图(1)　　          图(2)

图(3)　                　图(4)

9.答案　两条直线平行于同一条直线;这两条直线平行

解析　命题可改写成“如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线平行”,故命题的条件是两条直线平行于同一条直线,结论是这两条直线平行.

10.答案　④

解析　④的依据为等式的基本性质2,但是用法出错,证明过程中给出的条件是x=m,所以x-m=0,所以不能直接除.

素养探究全练

11.解析　(1)∵AB∥CD,

∴PE∥AB∥CD,

∴∠APE=180°-∠A=50°,∠CPE=180°-∠C=60°,

∴∠APC=50°+60°=110°.

(2)∠CPD=∠α+∠β.理由如下:

如图,过P作PE∥AD交CD于E,

∵AD∥BC,

∴AD∥PE∥BC,

∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.

(3)当P在BA延长线上时,∠CPD=∠β-∠α,

理由:如图,过P作PE∥AD交ON于E,

∵AD∥BC,

∴AD∥PE∥BC,

∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,

∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α.

当P在B、O之间时,∠CPD=∠α-∠β,

理由:如图,过P作PE∥AD交CO于E,

∵AD∥BC,

∴AD∥PE∥BC,

∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.