【期中知识点归纳】（人教版）2023-2024学年高二上学期数学 必修1 第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+6类题型突破）

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第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）

1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用;
2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;
3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;
4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.

一、空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 
共面向量
平行于同一个平面的向量
二、空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：

（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．


或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
三、空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.
（2）范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
2、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
3、向量的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．

4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积.
5、数量积的运算：
（1），.
（2）(交换律)．
（3）(分配律).
四、空间向量的坐标表示及其应用
设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
数量积

共线（平行）

垂直
（均非零向量）
模
，即
夹角

五、直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即

2、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．

3、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
六、空间位置关系的向量表示
设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量．
线线平行
，使得
注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合
线面平行
注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；
面面平行
，使得
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
线线垂直

线面垂直
，使得
面面垂直


七、向量法求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①；②
2、直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②.
3、平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．

（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）

八、向量法求距离
（1）点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为.

（2）两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离.
（3）求点面距
①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
即：点A到平面α的距离 ，其中Q∈α，是平面的一个法向量.

（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解
直线与平面 之间的距离：=，其中，是平面 的一个法向量.
两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量.


题型一 空间关系的证明
【例1】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．
  
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；
（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.
【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，，
由三角形中位线性质可得且，
又因为且，所以且，
所以是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
  
解法二：证明：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
如图，以为原点，以，， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
．
因为，易知为平面的一个法向量．
    
因此，所以．
又平面，所以平面．
（2）解法一：证明：因为，，，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以．
又，平面，所以平面．
解法二：由（1）可得，，．
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
因此，所以平面．
反思总结
证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。
利用空间向量证明平行、垂直关系的方法:
(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可。
(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内存在一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理，即证明平面内存在两个不共线向量来线性表示直线的方向向量。
(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行;②转化为线面平行、线线平行的问题。
(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直。
(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题。
(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题。

巩固训练：
1.如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面，，，E是PD的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可证明.
【详解】因为在底面 内，，所以，
连接，因为为的中点，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以，
因为底面，底面，所以，
所以以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，
因为侧面PAD为等边三角形，，
所以，，，，，
因为E是PD的中点，所以，

所以，，，
设平面的法向量为，则
，令，得，
因为，所以，
又因为平面，所以平面.


2.如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.
  
【答案】证明见解析
【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论.
【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
  
则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面与平面平行．
3.如图，在正方体中，，分别为，的中点.证明：
  
(1)平面平面；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量来证明平面平面.
（2）通过直线的方向向量和平面的法向量来证明平面.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，，.
设平面的法向量为，
∵，，，，
∴，∴令，则，
设平面的法向量为，
∴，∴令，则，
∴，
∴平面平面.
  
（2）∵，分别为，的中点，∵，，
∴，∴，
∴平面.
题型二　利用空间向量求线面角
【例2】如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.
    
(1)若过三点的平面，交棱于点，求的值；
(2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）延长交延长线于点，连接交于点，然后结合三角形的中位线定理可求得结果；
（2）解法一：取中点连接，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，解法二：设点到平面的距离为，连接，易证平面，然后利用等体积法求出，设与平面所成角为，则可得答案.
【详解】（1）延长交延长线于点，连接交于点，连接，则过三点的截面就是平面四边形，
因为是中点，∥且，
所以是的一条中位线，
所以∥且，
所以；
  
（2）解法一：取中点连接，因为正三棱柱为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
  
所以，
所以，
，
设平面的法向量，则，
即，
令，则，所以，
设与平面所成角为，则
，
与平面所成角的正弦值为；
解法二：设点到平面的距离为，连接，
因为，是中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为等边三角形的边长为2，所以，
所以，
所以等腰三角形的底边上的高为，
所以的面积为，又的面积为，
因为，所以，得，又，
设与平面所成角为，
则，
故平面所成角的正弦值为.

反思总结

巩固训练
1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.
  
(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面平面，
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由题意可得两两垂直，
设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
  
因为点是的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令可得，所以平面的一个法向量.
，设，
即，所以.
又，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
所以，
设直线与平面所成的角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
2.如图四棱锥，点在圆上，，顶点在底面的射影为圆心，点在线段上.
  
(1)若，当//平面时，求的值；
(2)若与不平行，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）做辅助线构建平面和平面平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；
（2）通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出是直径，然后建立空间直角坐标系处理.
【详解】（1）过作//交线段于，连接.
//，平面,平面，//平面，
又//平面，，平面，
平面//平面，
平面平面，
平面平面，根据面面平行的性质定理，//
又//，四边形是平行四边形，
，而
，
故，得，得.

（2）  
，（为四边形的面积），得.
由，得，
由余弦定理，，则，
根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为，则，
作直径，由圆内接四边形对角互补，则，
故，，
根据圆的对称性，作直径,也满足,但此时，
故重合，
此时为直径，直径为，以为原点，射线为轴，
过垂直于的方向为轴，如图建立空间直角坐标系.
  
则，
所以，
设平面的法向量为，则即
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则.
直线与平面所成角的正弦值为.
3.如图，在四棱柱中，平面，，，，， 为的中点.
  
(1)求四棱锥的体积；
(2)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）证明出平面，平面，可知点到平面的距离等于，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积；
（2）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，可得出向量的坐标，进而可求得线段的长.
【详解】（1）解：因为平面，平面， 所以，，
又因为，，、平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以，平面，
故点到平面的距离等于，
所以，.
（2）解：由平面，，以点为坐标原点，
分别以、、所在直线为轴、轴、轴，如图建立空间直角坐标系，
  
则，，，，.     
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，                         
设，其中，则，
记直线与平面所成角为，
则，
整理可得，解得（舍）或.   所以，
故线段的长度为.
题型三　利用空间向量求二面角
[例3]如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点.
  
(1)证明：.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由平面，得，结合可得平面，则，再由等腰三角形三线合一可得，再由线面垂直的判定可得平面，从而可得，
（2）由题意可证得两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以.
又，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
因为为的中点，，所以.
由，平面，得平面.
因为平面，所以.
（2）解：因为平面，平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
  
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弘值为.

反思总结
利用向量法确定二面角平面角大小的常用方法。
(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，结合实际图形通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小。
(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角等于二面角的平面角。
确定二面角的平面角的大小,方法有:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角;②依据“同进同出互补,一进一出相等”求解;③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P做另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内,则所求二面角为锐二面角,若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角。

巩固训练
1．如图，在三棱锥中，为的中点.
  
(1)证明：平面；
(2)点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在中，根据等腰三角形的性质可得，，在中，结合勾股定理可得，进而得到，，在中，根据勾股定理得到，从而求证即可；
（2）以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，进而求出平面与平面的一个法向量，进而列出方程求解即可.
【详解】（1）证明：在中，，
因为是的中点，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为为的中点，连接，
所以，且.
在中，因为，所以.
因为，平面，
所以平面.
（2）以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设，则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，，
所以.
取平面的一个法向量，
又平面与平面的夹角为，
所以，
整理得，即或，
因为，所以，
所以.
  

2．如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．
  
(1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心；
(2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)当时，点在平面内的射影恰好是的重心.
(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证得平面，过点作，得到，进而证得平面，得到是在平面内的射影，结合恰好是的重心，得到，在直角中，即可求解；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：取的中点，连接，
可得，且，平面，所以平面，
过点作，交于点，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
即是在平面内的射影，
因为恰好是的重心，所以，
在直角中，，，
所以，所以，解得，
所以时，点在平面内的射影恰好是的重心.
（2）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
作，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
由图象可得平面与平面所成二面角的平面角为锐角，
所以，
即平面与平面所成二面角的余弦值为．
  
3.如图①所示，在中，，，，D，E分别是线段，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图②．
  
(1)若点N在线段上，且，求证：平面；
(2)若M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定证明即可；
（2）解法一：建立如图所示直角坐标系，利用向量法证明即可；解法二：由几何法得出为平面与平面夹角，再结合直角三角形的边角关系求解即可.
【详解】（1）证明：在中，过N作交于点F．
因为，所以，
在三角形中，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面
  
（2）解法一：
因为，，所以，所以，．
因为，，平面，所以平面，
所以平面．又由，可建立如图所示直角坐标系，则
，，，，，，
  
则：，，
设平面的法向量为，则
，即，
令得，
可取平面的法向量，
设平面与平面所成角为，则
，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
解法二：如图所示，因为，，所以，所以，，
因为，，平面，所以平面，
所以，又，，，平面
所以平面
在中，过M作，交于点G，在平面中，过G作交直线于点H，由平面可得平面，
所以即为平面与平面夹角．
    
在中，由M为中点可得：，G为中点，在中，，所以，．
所以，所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
题型四　应用空间向量求空间距离
[例4]如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点．
  
(1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值；
(2)求D到平面APM的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，
  
，
，设平面APM的法向量为，
，，于是有，
，
所以直线BD与平面APM所成角的正弦值为；
（2）由（1）可知平面APM的法向量为，，
，D到平面APM的距离为.

反思总结

巩固训练
1.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 .
【答案】
【分析】根据空间中点到直线的距离公式求解即可.
【详解】∵，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴点P到直线l的距离为.
故答案为:.
2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：

(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
3．如图，在三棱锥中，，平面平面.
  
(1)求异面直线与间的距离；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，，根据线面垂直的判定定理得面，在面中，作，知为异面直线与间的距离可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，且可得，由异面直线与间的距离向量求法可得答案；
（2）方法一：在平面内作，则平面，在平面内作，则，得为二面角的平面角，法一：设点到平面的距离为，利用得可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）法一：取中点，连接，由知，
又平面平面，平面平面，故平面，
连接，则，
又因为为中点，故，
面，故面，
在面中，作，则由知为异面直线与间的距离，
由，知，
即异面直线与间的距离为；
  
法二：取中点，连接，由知，
又平面平面，平面平面，故平面
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
则，
设，且，
则，令，则，
又，则异面直线与间的距离为；
  
（2）由（1）知平面，可得平面平面，
如图，在平面内作，垂足为，则平面，
在平面内作，垂足为，联结，
平面，所以，且，平面，
所以平面，平面，所以
  
故为二面角的平面角，即，
设，则，在Rt中，，
在Rt中，由知，得，
法一：设点到平面的距离为，由，得，即，
又，
解得，则与平面所成角的正弦值为；
法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系如图，
则，
，
设平面的法向量为，则由，
知，令，则，
则与所成角的余弦值为，
则与平面所成角的正弦值.
  

4.如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．

(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值；
（2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离．
【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以，
所以，即，又，所以，
在图②中，，即，又平面
所以平面，即平面，
又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
所以，故，
则异面直线与所成的角的余弦值为；
（2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量，
所以，令，则
所以异面直线与之间的距离为.
题型五　平行或垂直的探索性问题
[例5]如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点．

(1)在B1B上是否存在一点P，使平面？
(2)在平面上是否存在一点N，使平面？
【答案】(1)不存在
(2)存在

【分析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案；
（2）设，由可得答案.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则点A(1，0，0)，E，，
，＝．
假设存在点满足题意，于是，
所以 ，所以，
解得与矛盾，
故在上不存在点使平面．
（2）假设在平面上存在点N，使平面．
设，
则，因为，
所以，解得，
故平面AA1B1B上存在点N，使平面．

反思总结
涉及线段上的动点问题,先设出动点分线段的某个比值入,根据两个向量共线的充要条件得数乘关系,从而用入表示动点的坐标,再进行相关计算,这样可以减少未知量,简化过程。值得注意的是,应给出入的取值范围。另外,建系时最好用右手直角坐标系且使几何元素尽量分布在坐标轴的正方向上。

巩固训练
1.如图，直三棱柱中，，D是的中点．

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)异面直线与所成角的大小为；
(2)二面角的余弦值为；
(3)存在点，使得平面，此时.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；
（2）求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论；
（3）设，再求的坐标，由条件列方程求，由此可得结论.
【详解】（1）以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系；
由已知，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角的大小为，则，
又，所以，
所以异面直线与所成角的大小为；

（2）因为，，，
则，，
设平面的法向量为，则
，故，
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
平面的一个法向量为，
所以，
观察图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
（3）假设存在点，使得平面，
设，
因为，，，
则，所以，又
所以，
向量为平面的一个法向量，
由已知，所以，
所以，
所以存在点，使得平面，此时.

2.如图，在中，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且，线段上是否存在一点（不包括端点），使得锐二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，

【分析】（1）由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面；
（2）证明平面，建立空间直角坐标系，，求平面，平面的法向量，由条件列方程求即可.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
所以，又因为，
，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）因为，，∴，
又∵，，平面，
∴平面，
∴、、两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以.
则，，，，
平面的一个法向量为，
，设，
，
，
设平面法向量为，
则，所以，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
所以，
解得，符合题意
即，∴.


题型六　空间向量中的最值问题
[例6]如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．

(1)若为中点，求证：；
(2)若平面，求线段长度的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件先求，，，再证明，由此完成证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量和直线的方向向量，由条件列方程确定的关系，再求的最小值即可.
【详解】（1）由已知，，，，
所以，
，
，
因为为中点，
所以，
又，
所以，
所以
所以

（2）连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
由正方形的性质可得三点共线，为的中点，
所以，
由第一问，
平面，，
所以平面，
以为坐标原点， 所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
、、、、

，
设平面法向量为，，
则，所以，    
∴，
令，则，．
∴为平面的一个法向量，
因为点在平面内，
故设点的坐标为，
因为，
所以，
，则，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为.

反思总结
对于面积、点面距离或体积的最值,一般有两个思考方向:一是从图中直接观察﹐先分清哪些量是定值,哪些量是变量,通过,点或线的变化情况寻找最值二是直接根据目标函数的关系﹐转化为函数的最值或值域问题来处理,如果是求空间角的三角函数的最值,可直接利用数量积及模的计算公式写出三角函数的表达式﹐再转化为二次函数来处理。
对于距离、体积或空间角的逆向存在性问题,其求解思路是先假设条件存在,把假设当作新的已知条件进行推理,通过构造方程求解。若得到合理的数据﹐则假设成立﹔若出现矛盾,则假设不成立。对于翻折问题，关键是抓住翻折前后几何量的变与不变进行相关计算。
巩固训练
1.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 .
【答案】
【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值.
【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且
则，设平面的法向量为，又
则，令，则
因为平面，所以，即，
则，所以
则，
由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为.
故答案为：.
2.已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)在线段上靠近点的处，

【分析】（1）由题可得平面，故.根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（2）根据题干数据结合即可求解；
（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时，从而可求解.
【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形为菱形，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
所以，.
所以.
因为，所以.
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得.
故点到平面的距离为.
（3）设直线与平面所成的角为，平面，
∴到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，

此时，要使最大，则需使最小，此时.
由题意可知：，因为平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
由面积相等，
即，经计算得，
，则，
此时在线段上靠近点的处.
3.如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若底面为边长为的正方形，且，为上的动点（包含端点），求当直线与平面所成角的正弦值最大时点的位置．
【答案】(1)证明见解析
(2)点与重合

【分析】（1）连接交于点，连接，得到为的中点，进而得，最后利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的函数关系式，利用换元法结合二次函数的基本性质可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值及其对应的的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，，
因为平面，平面，平面.
（2）解：因为底面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设，其中，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，因为，
所以，
令，则，
所以，，
当时，；
当时，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值最大时.