【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第四章+指数与对数（知识归纳+题型突破）试卷

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第四章 指数与对数（知识归纳+题型突破）

1．理解n次方根，n次根式的概念及运算．
2．会进行根式及分数指数幂的化简求值．
3．通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
4．理解对数的概念．知道自然对数和常用对数．
5．会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．
6．理解对数的运算性质．会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算．
7．理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算．
8．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．

1．n次方根、n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根．
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数

R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
2．根式的性质
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0．
(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
3．分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
①asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；
②(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；
③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
(2)拓展：＝as－t(a>0，s，t∈Q)．
5．无理数指数幂
一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
6．对数的概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．
7．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg__N．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2．718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N．
8．对数的概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．
9．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg__N．另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2．718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N．
10．对数运算性质
loga(MN)＝logaM＋logaN，
logaMn＝nlogaM，
loga＝logaM－logaN
(以上各式中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R)
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)

11．换底公式
logaN＝，其中a>0，a≠1, N>0，c>0，c≠1．
特别地logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)．

题型一　n次方根的概念
【例1】(1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________．
(2)若有意义，求实数x的取值范围．
(1)【答案】　7或－11
【解析】81的平方根为－9或9，即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7．
(2)【解析】　∵有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，即x的取值范围是[2，＋∞)．

思维升华
(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．
①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；
②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．

巩固训练：
1．已知x7＝8，则x等于(　　)
A．2 B． C．－ D．±
【答案】　B　
【解析】析因为7为奇数，8的7次方根只有一个．
2．16的4次方根是________，有意义，则x的取值范围是________．
【答案】　±2　R
【解析】4是偶数，则偶次方根有两个；3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义．

题型二　利用根式的性质化简或求值
【例2】化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋．
【解析】　(1)＝|3－π|＝π－3．
(2)＝|a－b|＝a－b．
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1．原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1．

思维升华　
n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；
n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|．
巩固训练
1．求下列各式的值：
(1)；(2)(a≤1)；
(3)＋．
【解析】　(1)＝－2．
(2)＝|3a－3|＝3－3a．
(3)＋＝a＋|1－a|＝

题型三　有限制条件的根式的化简
【例3】设－3 【解析】　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．
∵－3 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．
∴原式＝
思维升华　
当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
巩固训练
1．设x≤－3，化简－．

【解析】　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4．
2．　(1)已知x∈[1，2]，化简()4＋＝________．
(2)求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
(1)【答案】　1
【解析】∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1．
(2)【解析】　＝＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，需【解析】得a∈[－3，3]．

题型四　根式与分数指数幂的互化
【例4】1.用根式的形式表示下列各式(x>0)．
(1)x；(2)x－．
【解析】　(1)x＝；(2)x－＝．
2.把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【解析】　(1)＝a．
(2)＝＝a－．
(3)＝＝ba－＝a－b．
(4)＝＝a＝a3．

思维升华　
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为分数指数的分母，
被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质【解析】题．
巩固训练
1．用分数指数幂表示下列各式：
(1)(a>0，b>0)；
(2)(a>0，b>0)．
【解析】　(1)＝＝1．
(2)＝＝＝＝a－b．

题型五　有理数指数幂的运算
【例5】计算下列各式：
(1)＋0．1－2＋－3π0＋；
(2)－＋＋－π0．
【解析】　(1)原式＝＋102＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100．
(2)原式＝－＋
＋－1＝－＋＋－1＝3．

思维升华　
1．有理数指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则．
2．根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算法则求【解析】．
3．对于化简或求值结果的要求
对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序．

巩固训练
1．(1)＝________．
(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：
①··；
②0．064－－＋＋16－0．75．
(1)【答案】　
【解析】＝＝＝＝．
(2)【解析】　①原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y．
②原式＝0．4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝．

题型六　用乘法公式化简含指数幂的代数式
【例6】(1)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________．
(2)化简：÷·．
(1)【答案】　3　7
【解析】将x－x－＝1两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3．
将x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7．
(2)【解析】　原式＝÷·a＝··a
＝··a＝a·a·a＝a．
思维升华
引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式，被赋予了新的活力，如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)这两个公式用分数指数幂表示就是a±b＝，再如a－b＝·，a±2ab＋b＝等，巧用这些公式的变形，可将所求代数式恰当地变形构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入”巧妙地求出代数式的值．

巩固训练
1．　(1)已知a＝－，b＝，则÷＝________．
(2)已知x＋x－＝3，求的值．
(1)【答案】　
【解析】原式＝÷＝
÷＝·＝．由题意得a＝－，∴a＝．∴原式＝．
(2)【解析】　由x＋x－＝3，得＝9，即x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7．
两边平方得x2＋2＋x－2＝49，∴x2＋x－2＝47．∴＝＝9．

题型七　对数的概念
【例7】(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫作常用对数
D．以e为底的对数叫作自然对数
【答案】　ACD
【解析】A，C，D正确，B不正确，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可以化为对数式，这是对数的定义，如(－5)2＝25就不能写成log(－5)25＝2．

思维升华　
在对数式b＝logaN中，b叫作以a为底N的对数，底数a>0，a≠1，真数N>0．
巩固训练
1．在对数式log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
【答案】　(2，3)∪(3，4)
【解析】由题意可知【解析】得2

题型八　指数式与对数式的互化
【例8】将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)64－＝；
(5)log39＝2；(6)logxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．
【解析】　(1)log2＝－2．
(2)log10100＝2，即lg 100＝2．
(3)loge16＝a，即ln 16＝a．
(4)log64＝－．
(5)32＝9．
(6)xz＝y．
思维升华　
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

巩固训练
1．将下列指数式、对数式互化：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1 000＝3．
【解析】　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为＝n，所以logn＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000．

题型九　利用对数式与指数式关系求值
【例9】求下列各式中x的值．
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log(－1)＝x．
【解析】　(1)x＝64－＝(43)－＝4－2＝．
(2)因为x6＝8，又x＞0且x≠1，所以x＝8＝(23)＝2＝．
(3)10x＝100＝102，于是x＝2．
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2．所以x＝－2．
(5)因为log(－1)＝x，所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1．

思维升华
对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中字母参数的值，要注意利用方程思想求【解析】．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．

巩固训练
1．利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4．
【解析】　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝．
(2)由logx25＝2，得x2＝25．∵x>0，且x≠1，∴x＝5．
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5．
(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9．

题型十　对数的运算性质
【例10】用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg．
【解析】　(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z．
(2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．
(3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z．
(4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z．

思维升华　
对数的运算性质是【解析】决此类问题的关键，熟记运算性质，要注意底数是相同的．
巩固训练
1．下列各等式正确的为(　　)
A．log23·log25＝log2(3×5) B．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4)
C．log2＝log2x－log2y D．lg＝lg m(m>0，n>1，n∈N*)
【答案】 D　
【解析】 A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义．
2．已知a>0，且a≠1，x>y>0，则下列结论正确的是(　　)
A．loga(x－y)＝logax－logay B．＝logax－logay
C．loga＝logax－logay D．loga＝
【答案】 C
【解析】 logax－logay＝loga，故A，B错误，D错误．



题型十一　利用对数的运算性质化简求值
【例11】求值：(1)；(2)log535－2log5＋log57－log51．8．
【解析】　(1)原式＝＝＝．
(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2．

思维升华　
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

巩固训练
1．计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．
【解析】　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝．
法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(×)＝lg＝．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5×lg 2＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．


题型十二　对数中的求值(用代数式表示)问题
【例12】设lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示下列各对数：
(1)lg 45；(2)lg；(3)lg．
【解析】　(1)lg 45＝lg(32×5)＝2lg 3＋lg 5＝2lg 3＋1－lg 2＝2b－a＋1．
(2)lg＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3b－2a．
(3)lg＝lg 50－lg 27＝lg －lg 33＝2－lg 2－3lg 3＝2－a－3b．


思维升华　
依据对数的运算性质，将真数化为“底数”“已知对数的数的幂”的乘、除，再展开，要注意常用对数中lg 2＋lg 5＝1．
巩固训练
1．已知log189＝a，18b＝5，求log18(用a，b表示)．
【解析】　因为18b＝5，所以b＝log185，
而log18＝log1845－log1836＝log18(5×9)－log18(18×18÷9)
＝log185＋log189－log18182＋log189＝b＋a－2＋a＝2a＋b－2．

题型十三　换底公式的直接应用
【例13】(1)log29·log34＝(　　)
A． B． C．2 D．4
(2)＝(　　)
A．log54 B．3log52 C．2 D．3
【答案】　(1)D　(2)D
【解析】(1)原式＝·＝·＝4．
(2)原式＝log28＝3．

思维升华　
换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数．在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数．

巩固训练
1．计算：(log43＋log83)log32＝________．
【答案】　
【解析】原式＝log32＝log32＝＋＝．

题型十四　有附加条件的对数式求值问题
【例14】(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z．
【解析】　(1)法一　由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1．
法二　由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，∴＋＝log63＋log62＝log66＝1．
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56．

思维升华　
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．

巩固训练
1．已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________．
【答案】　　
【解析】由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝．
2．若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　)
A．＋＝2 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝
【答案】　B
【解析】∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝lg 2，
＝lg 5，∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故选B．
题型十五　用代数式表示对数
【例15】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645．
【解析】　∵18b＝5，∴log185＝b．又log189＝a，于是log3645＝＝＝．
思维升华　
换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算．可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．

巩固训练
1．若ln 2＝a，ln 3＝b，则log418＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】　D
【解析】log418＝＝＝＝．
2．　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256．
【解析】　∵log23＝a，∴＝log32，又log37＝b，
∴log4256＝＝＝＝＝．