【期中单元知识点归纳】苏教版2019 2023-2024学年高一数学 必修1 第一章+集合（知识归纳+题型突破）试卷

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第一章 集合（知识归纳+题型突破）

1．通过实例了【解析】集合的含义；理【解析】元素与集合的属于关系．
2．记住常用数集的表示符号，并会应用．
3．掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法．
4．学会选择合适的方法表示集合，理【解析】集合的相等、有限集、无限集等概念．
5．理【解析】集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
6．理【解析】全集、补集的概念，会求给定子集的补集.
7．理【解析】两个集合之间的并集和交集的含义，能求两个集合的并集与交集.

1．集合与元素
(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，常用大写字母A，B等表示集合．
(2)集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元，常用小写字母a，b等表示元素．
(3)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于A

“a属于A”
集合的关系
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A

“a不属于A”
3．常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
4．集合的常用表示方法
(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．其中x为集合的代表元素．p(x)指元素x具有的性质．
①竖线前写清代表元素的符号，竖线后用简明、准确的语言描述元素的共同特征．
②同一个集合可以有不同的表述形式，如{x|x≥0}，{y|y≥0}，{y|y＝x2，x∈R}表示同一个集合．
(3) Venn图法：为了直观地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图．
5．集合的分类
含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作∅．
6．集合间的基本关系
　　 表示
关系　　
文字语言
符号表示
集合间的基本关系
子集
如果集合中任意一个元素都是集合中的元(若a∈A，则a∈B)，，那么集合A称为集合B的子集
或
读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.

相等
集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素
且
真子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，
或
读作“A真包含于B”或“B真包含A”.

空集
空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集
且
7．子集、真子集的性质
(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A；空集是任意一个非空集合B的真子集，即∅B.
(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.
(4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC.
8．用维恩图表示非空集合的基本关系
(1)A⊆B表示为：或
(2)AB表示为：
(3)A＝B表示为：
9．全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.全集通常记作U.
10．集合的三种基本运算

自然语言
图形语言
符号语言
集合的交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).


，且
集合的并集
所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合


，或
集合的补集
设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)


∁U，且
11．交集的运算性质
①A∩B＝B∩A；②A∩B⊆A，A∩B⊆B；③A∩∅＝∅；④A∩A＝A.
12．并集的运算性质
A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.
13．区间
设a，b∈R，且a (1)
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a 开区间
(a，b)

{x|a≤x 左闭右开区间
[a，b)

{x|a 左开右闭区间
(a，b]

(2)特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
14．常用结论和注意点
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个．
(2)子集的传递性：，．
(3)∁U∁U．
(4)∁U∁U∁U，∁U∁U∁U．
(5)对并集的理【解析】
①A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
②“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥.“x∈A或x∈B”包括三种情况，如图所示.

(6)是集合，不含任何元素；含有一个元素；含有一个元素，且和都正确．
(7)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若，则要考虑和两种可能．

题型一　集合概念的理解【解析】
【例1】考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的【解析】；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
【解析】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
思维升华
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
巩固训练：
1．下列说法中正确的有________(填序号)．
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
【答案】②
【解析】①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．
②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c互不相等，它们构成的三角形三边互不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
2．下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
【答案】B
【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．

题型二　元素与集合的关系
【例2】用符号“∈”或“∉”填空：
(1)设集合A是由正整数的全体构成的集合，则0________A，________A，
(－1)0________A；
(2)设集合B是由小于的实数的全体构成的集合，则2________B，1＋________B．
【答案】(1)∉　∉　∈　(2)∉　∈
【解析】(1)0不是正整数，不是整数，(－1)0＝1是正整数，故依次填∉，∉，∈．
(2)2＝>，∵(1＋)2＝3＋2<11，∴1＋<，故依次填∉，∈．
思维升华　
符号“∈”“∉”仅可用来表示元素与集合的关系，有且只有其中的一种情况成立，a∈A还是a∉A取决于a是不是集合A中的元素．

巩固训练
1．给出下列关系：①∈R；②|－3|∉N；③|－|∈Q；④0∉N．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①正确；②③④不正确．
(2)集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2∉M．点(－2，1)是第二象限内的点，故(－2，1)∈M．而(1，3)在第一象限，∴(1，3)∉M．
2．已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；(－2，1)________M；(1，3)________M．(填“∉”或“∈”)
【答案】 ∉　∈　∉
【解析】 集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故2∉M．点(－2，1)是第二象限内的点，故(－2，1)∈M．而(1，3)在第一象限，∴(1，3)∉M．

题型三　集合中元素的性质及应用
【例3】已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x．
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？
【解析】　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1．
经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1．
(2)由x2∈B，得x2＝0或x2＝1或x2＝x，∴x＝0，1，－1．
但考虑到集合元素的互异性，x≠0且x≠1，故x＝－1．
(3)显然a2＋1≠0．由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0．
若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同．
若2a－1＝0，则a＝，A包含的元素为0，－，，与集合B中元素不相同．
故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．
思维升华　集合中的元素是确定的、互异的、没有顺序的．其中互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．元素的无序性主要体现在：给出元素属于某集合，它可能表示集合中的任一元素．

巩固训练
1．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合中的元素相同，求a2 021＋b2 021的值．
【解析】　由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1．
由题意可得或【解析】得或(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋0＝－1．
2．已知集合A中的元素x满足ax2－3x＋1＝0，a∈R．
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若A为单元素集合，求实数a的值；
(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)∵1∈A，∴a·12－3×1＋1＝0，∴a＝2．
(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋1＝0变为－3x＋1＝0，【解析】得x＝，满足题意；
当a≠0时，要使A为单元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝．∴a＝0或a＝时A为单元素集合．
(3)若A为双元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝(－3)2－4a＞0，∴a<且a≠0．

题型四　列举法表示集合
【例4】用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝2x的所有实数【解析】组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
【解析】　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝2x的【解析】是x＝0或x＝2，所以方程的【解析】组成的集合为{0，2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
思维升华　用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
巩固训练
1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合C．
【解析】　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以B＝{－3，3}．
(3)由得
所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以C＝{(1，3)}．
2．集合A＝用列举法表示为(　　)
A.{－2} B.{－2，2}
C.{－2，2，4} D.{－2，2，4，5}
【答案】D
【解析】因为x∈Z，∈N，所以6－x＝1，2，4，8.此时x＝5，4，2，－2，即A＝{5，4，2，－2}.

题型五　描述法表示集合
【例5】用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【解析】　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
思维升华　利用描述法表示集合应关注三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}，且要分清是点集还是数集．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号，即{x|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．


巩固训练
1．试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－2图象上的所有点组成的集合．
【解析】　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，
因此，用描述法表示为{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10且小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10 (3)二次函数y＝x2－2图象上的所有的点用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－2}．

2．试用描述法表示下列集合．
(1)大于3的全体偶数构成的集合；
(2)平面直角坐标系中，x轴上的所有点.
【解析】　(1)所求集合为{x|x＝2k，k>1，且k∈N*}.
(2)所求集合为{(x，y)|y＝0，x∈R}.

题型六　集合关系的判断
【例6】　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1 (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
【解析】　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.

(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM.
思维升华　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
巩固训练
1．设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　)
A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P
C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P
【答案】B
【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
2．设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　　)
A.A∈B B.B∈A C.A⊆B D.B⊆A
【答案】C
【解析】∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.


题型七　集合的子集、真子集
【例7】　集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
【答案】∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7
【解析】集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
思维升华　
1.假设集合A中含有n个元素，则：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
巩固训练
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
【解析】　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
2．写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P.
【解析】　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.

题型八　子集关系的应用
【例8】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
【解析】　(1)当B≠∅时，如图所示.

∴或【解析】这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
思维升华　
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况.
巩固训练
1．已知集合A＝{x|－2 　【解析】　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示.

∴【解析】得即2≤m<3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<3}.
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围.　
【解析】　当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

∴即∴m∈∅，即实数m的取值范围为∅.

题型九　简单的补集运算
【例9】　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM＝(　　)
A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2 C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________.
【答案】(1)A　(2){2，3，5，7}
【解析】(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}.

(2)A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，则U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}.
思维升华　求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
巩固训练
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁UA＝(　　)
A.{1，2} B.{3，4，5}
C.{1，2，3，4，5} D.∅
【答案】B　
【解析】 ∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁UA＝{3，4，5}.
2．若全集U＝R，集合A＝{x|1 A.{x|x<1或x≥3} B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|x≤1或x≥3}
【答案】B
【解析】U＝R，∁UA＝{x|x≤1或x>3}.

题型十　由全集与补集的关系求参数
【例10】　设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁UA＝{5}，求实数m.
【解析】　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且|3－2m|＝3，
即
由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，
∴m＝－2或m＝3.
由|3－2m|＝3，得m＝0或m＝3.
∴m＝3.
思维升华　集合A与∁UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求【解析】，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析法求参数.
巩固训练
1．设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5，7}，则实数a的值为________.
【答案】2或8
【解析】由U＝{1，3，5，7}，M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5，7}知M＝{1，3}.
∴|a－5|＝3，∴a＝8或2.
2．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若∁UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
【答案】7
【解析】∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴∁UA＝{x|xb}.
又∵∁UA＝{x|x<3或x>4}，∴a＝3，b＝4，a＋b＝7.