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考点02 分式方程及其应用-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）
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这是一份考点02 分式方程及其应用-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版），文件包含考点02分式方程及其应用原卷版docx、考点02分式方程及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
考点02 分式方程及其应用
知识框架
基础知识点
知识点1-1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
1．（2021·陕西九年级专题练习）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
知识点1-2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
1．（2021·陕西莲湖·八年级期末）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．（2021·福建三明·八年级期末）解分式方程时，去分母后可得（ ）
A．2x﹣3﹣4＝﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）＝5 C．1﹣4（2x﹣3）＝﹣5 D．2x﹣3﹣4＝5（2x﹣3）
3．（2021·湖南广益实验中学九年级月考）分式方程的解是______．
4．（2021·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
5．（2021·河北安国·）解下列分式方程：（1）；（2）．
知识点1-3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
1．（2020·四川新都·初三三模）下列结论正确的是（ ）
A．是分式方程 B．方程＝1无解
C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
2．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是 ；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
3．（2021·山东鄄城·八年级期末）关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
4．（2021·四川开江·八年级期末）如果关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）若关于x的方程＝3的解为非负数，则m的取值范围是 ___．
7．（2021·重庆巴蜀中学）若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点1-4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
1．（2021·铜仁一中实验学校）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
3．（2021·四川宣汉·八年级期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·贵州初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
5．（2021·上海市卢湾中学期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比骑车的速度慢．如果他骑车从城到城，再步行返回城共需要两小时，那么小王跑步从城到城需要__________分钟．
6．（2021·四川成都·八年级期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就4000元购进一批这种衬衫，这种衬衫面市后果然供不应求，商家又8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．（1）该商家购进的两批衬衫数量分别是多少件？（2）商家销售这种衬衫时每件定价都是60元，经过一段时间后，根据市场销售情况，商家决定对最后剩余的20件衬衫进行打折出售，要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，则最后剩余的20件衬衫出售至多可打几折？
7．（2020·南通市八一中学八年级月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
重难点题型
题型1分式方程识别
1．（2021·铜仁一中实验学校）下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021·广东八年级专题练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C．，为常数） D．
3．（2021·广东八年级专题练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·佛山市南海石门实验中学初二月考）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是分式方程的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
题型2解分式方程
解题技巧：分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
1．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）方程 的根为________________．
2．（2021·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
3．（2021·江苏扬州市·八年级期末）（1）化简分式：；
（2）判断方程是否有解？_____（填“是”或“否”）
4．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：
（1） （2）
5．（2021·福建晋江·八年级期末）解方程：＝1．
6．（2021·四川成都·八年级期末）解方程：．
7．（2020·射阳外国语学校八年级月考）解方程：
（1） （2）
8．（2020·南通市启秀中学八年级月考）解方程：
（1） （2）
题型3根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（一）有增根
解题技巧：方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
1．（2021·四川省乐至实验中学）若关于的分式方程有增根，则的值为________．
2．（2021·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________．
3．（2020·山东昌乐·初二期末）若解关于的方程时产生增根，那么的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．-1
4．（2021·江苏九年级专题练习）方程的增根为（ ）
A．1 B．1和 C． D．0
5．（2021·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
6．（2021·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
题型4根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（二）无解与有解
解题技巧：当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
1．（2021·日照市田家炳实验中学九年级）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
2．（2020·南通市新桥中学）若关于x的分式方程无解，求m 的值．
3．（2021·西安·陕西师大附中）若关于的分式方程无解，则的值是________．
4．（2021·江苏九年级专题练习）如果关于的分式方程无解，那么的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
6．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
7．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
题型5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（三）解为正或负数等
解题技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·四川渠县·八年级期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
2．（2021·陕西商州·八年级期末）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
4．（2021·河南八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（2021·辽宁丹东·八年级期末）关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围______．
6．（2021·四川省乐至实验中学）已知关于的分式方程
（1）若分式方程的解为，求的值（2）若分式方程有正数解，求的取值范围
题型6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（四）整数解问题
解题技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
2．（2021·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（ ）
A．6 B．12 C．14 D．20
3．（2021·沙坪坝·重庆一中）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程解为整数，则符合条件的所有整数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ___．
6．（2021·重庆北碚·西南大学附中）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式： . ．
（2）解分式方程：；（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
题型7 列分式方程解应用题
1）工程问题
解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
1．（2021·江苏泗阳·）小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做个，则可列方程得（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
5．（2021·海南海口·八年级期末）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前40天完成了这一任务．求原计划每天绿化多少万平方米？
6．（2021·吉林铁西·八年级期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______．（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
7．（2021·湖北武汉·八年级期末）现有甲、乙两个搬运工作小组来完成一种特殊材料的搬运工作．甲组比乙组每小时多搬运30 kg，甲组搬运900 kg所用时间与乙组搬运600 kg所用时间相等．
（1）求甲组每小时可搬运多少这种材料？（2）若甲组搬运900 kg与乙组搬运300 kg所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费和为9800元，求甲、乙两个小组每小时的搬运费分别为多少元？（3）在（2）的条件下若甲组搬运 m kg这种材料与乙组搬运 n kg 这种材料所需的搬运费和不超过1 万元，请直接写出m与n满足的关系式．
8．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
2）行程问题
解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离
1．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
2．（2021·江西中考模拟）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
3．（2021·河南汝州·）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，张老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，张老师的家距学校的路程是8千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，张老师每天上班要比开车早出发一小时，才能按原驾车时间到达学校．
（1）求张老师骑自行车的平均速度；
（2）据测算，张老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为12千克，这样张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克？
4．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程( )
A．＝15 B． C． D．
6．（2020·重庆南岸·一模）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是_____米．
3）销售问题
解题技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率=
1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京海淀·清华附中八年级月考）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
4．（2021·吉林铁西·八年级期末）某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
5．（2021·四川宣汉·八年级期末）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购、两种型号电脑．已知每台种型号电脑价格比每台种型号电脑价格多840元，且用25200元买种型号电脑的台数与用21000元买种型号电脑的台数一样多．（1）求、两种型号电脑每台价格各为多少元？（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买种型号电脑多少台？
6．（2021·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
4）方案问题
解题技巧：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
1．（2020·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元； 超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
2．（2020·江西寻乌·初二期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟（1）由此估算这段路长约____千米；（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
3．（2020·长沙市中雅培粹学校初二月考）雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：(1)学校规定的期限是多少天？(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
4．（2020·河南渑池·初一期末）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．
（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
5．（2020·江苏盐城·初三一模）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共34棵，已知A种树苗的单价是B种树苗的43．
（1）若购进A种树苗用去1600元、B种树苗用去840元，问A、B两种树苗每棵各多少元？
（2）若A、B两种树苗的单价为（1）中的价格，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
6．（2020·西安市铁一中学初二期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
考点02 分式方程及其应用
知识框架
基础知识点
知识点1-1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
1．（2021·陕西九年级专题练习）下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
知识点1-2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
1．（2021·陕西莲湖·八年级期末）已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．（2021·福建三明·八年级期末）解分式方程时，去分母后可得（ ）
A．2x﹣3﹣4＝﹣5 B．1﹣4（2x﹣3）＝5 C．1﹣4（2x﹣3）＝﹣5 D．2x﹣3﹣4＝5（2x﹣3）
3．（2021·湖南广益实验中学九年级月考）分式方程的解是______．
4．（2021·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
5．（2021·河北安国·）解下列分式方程：（1）；（2）．
知识点1-3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
1．（2020·四川新都·初三三模）下列结论正确的是（ ）
A．是分式方程 B．方程＝1无解
C．方程的根为x＝0 D．解分式方程时，一定会出现增根
2．（2020·山西忻州·初二期末）阅读理解，并解决问题.
分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：
（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是 ；
（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；
（3）解方程
3．（2021·山东鄄城·八年级期末）关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
4．（2021·四川开江·八年级期末）如果关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）若关于x的方程＝3的解为非负数，则m的取值范围是 ___．
7．（2021·重庆巴蜀中学）若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的a的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点1-4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
1．（2021·铜仁一中实验学校）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山西期末）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至处时，与鹿所在的处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着追去，追了50步至处与鹿所在的位置处还差10步（点、、在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
3．（2021·四川宣汉·八年级期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·贵州初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
5．（2021·上海市卢湾中学期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比骑车的速度慢．如果他骑车从城到城，再步行返回城共需要两小时，那么小王跑步从城到城需要__________分钟．
6．（2021·四川成都·八年级期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就4000元购进一批这种衬衫，这种衬衫面市后果然供不应求，商家又8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．（1）该商家购进的两批衬衫数量分别是多少件？（2）商家销售这种衬衫时每件定价都是60元，经过一段时间后，根据市场销售情况，商家决定对最后剩余的20件衬衫进行打折出售，要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，则最后剩余的20件衬衫出售至多可打几折？
7．（2020·南通市八一中学八年级月考）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
重难点题型
题型1分式方程识别
1．（2021·铜仁一中实验学校）下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021·广东八年级专题练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C．，为常数） D．
3．（2021·广东八年级专题练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·无锡市第一女子中学八年级期中）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·佛山市南海石门实验中学初二月考）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是分式方程的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
题型2解分式方程
解题技巧：分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
1．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）方程 的根为________________．
2．（2021·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
3．（2021·江苏扬州市·八年级期末）（1）化简分式：；
（2）判断方程是否有解？_____（填“是”或“否”）
4．（2021·盐城市初级中学八年级期末）解方程：
（1） （2）
5．（2021·福建晋江·八年级期末）解方程：＝1．
6．（2021·四川成都·八年级期末）解方程：．
7．（2020·射阳外国语学校八年级月考）解方程：
（1） （2）
8．（2020·南通市启秀中学八年级月考）解方程：
（1） （2）
题型3根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（一）有增根
解题技巧：方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
1．（2021·四川省乐至实验中学）若关于的分式方程有增根，则的值为________．
2．（2021·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________．
3．（2020·山东昌乐·初二期末）若解关于的方程时产生增根，那么的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．-1
4．（2021·江苏九年级专题练习）方程的增根为（ ）
A．1 B．1和 C． D．0
5．（2021·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程(其中a为常数)有增根，则增根为_____．
6．（2021·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．
题型4根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（二）无解与有解
解题技巧：当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
1．（2021·日照市田家炳实验中学九年级）已知关于x的方程无解，则m的值是___．
2．（2020·南通市新桥中学）若关于x的分式方程无解，求m 的值．
3．（2021·西安·陕西师大附中）若关于的分式方程无解，则的值是________．
4．（2021·江苏九年级专题练习）如果关于的分式方程无解，那么的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．（2020·南通市八一中学八年级月考）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值；
6．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．且
7．（2021·石家庄市第二十一中学八年级期末）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
题型5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（三）解为正或负数等
解题技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·四川渠县·八年级期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
2．（2021·陕西商州·八年级期末）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（ ）
A．﹣7＜k＜14 B．﹣7＜k＜14且k≠0 C．﹣14＜k＜7且k≠0 D．﹣14＜k＜7
4．（2021·河南八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（2021·辽宁丹东·八年级期末）关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围______．
6．（2021·四川省乐至实验中学）已知关于的分式方程
（1）若分式方程的解为，求的值（2）若分式方程有正数解，求的取值范围
题型6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（四）整数解问题
解题技巧：（1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围
1．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
2．（2021·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（ ）
A．6 B．12 C．14 D．20
3．（2021·沙坪坝·重庆一中）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程解为整数，则符合条件的所有整数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
5．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ___．
6．（2021·重庆北碚·西南大学附中）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式： . ．
（2）解分式方程：；（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
题型7 列分式方程解应用题
1）工程问题
解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。
1．（2021·江苏泗阳·）小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做个，则可列方程得（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产、两种型号的扫地机器人．型机器人比型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
5．（2021·海南海口·八年级期末）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前40天完成了这一任务．求原计划每天绿化多少万平方米？
6．（2021·吉林铁西·八年级期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______．（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
7．（2021·湖北武汉·八年级期末）现有甲、乙两个搬运工作小组来完成一种特殊材料的搬运工作．甲组比乙组每小时多搬运30 kg，甲组搬运900 kg所用时间与乙组搬运600 kg所用时间相等．
（1）求甲组每小时可搬运多少这种材料？（2）若甲组搬运900 kg与乙组搬运300 kg所需的搬运费和为10500元；甲组搬运540 kg与乙组搬运600 kg所需搬运费和为9800元，求甲、乙两个小组每小时的搬运费分别为多少元？（3）在（2）的条件下若甲组搬运 m kg这种材料与乙组搬运 n kg 这种材料所需的搬运费和不超过1 万元，请直接写出m与n满足的关系式．
8．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
2）行程问题
解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追击问题
相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离
1．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
2．（2021·江西中考模拟）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
3．（2021·河南汝州·）为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，张老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，张老师的家距学校的路程是8千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，张老师每天上班要比开车早出发一小时，才能按原驾车时间到达学校．
（1）求张老师骑自行车的平均速度；
（2）据测算，张老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为12千克，这样张老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少千克？
4．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．
5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学初二期末）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程( )
A．＝15 B． C． D．
6．（2020·重庆南岸·一模）某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是_____米．
3）销售问题
解题技巧：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 利润率=
1．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京海淀·清华附中八年级月考）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
4．（2021·吉林铁西·八年级期末）某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
5．（2021·四川宣汉·八年级期末）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购、两种型号电脑．已知每台种型号电脑价格比每台种型号电脑价格多840元，且用25200元买种型号电脑的台数与用21000元买种型号电脑的台数一样多．（1）求、两种型号电脑每台价格各为多少元？（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买种型号电脑多少台？
6．（2021·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
4）方案问题
解题技巧：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。
1．（2020·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元； 超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
2．（2020·江西寻乌·初二期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟（1）由此估算这段路长约____千米；（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
3．（2020·长沙市中雅培粹学校初二月考）雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：(1)学校规定的期限是多少天？(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
4．（2020·河南渑池·初一期末）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有座和座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比座的贵元．
（1）会务组第一天在这家公司租了辆座和辆座的客车，一天的租金为元，求座和座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案：若只租用座的客车，会有一辆客车空出个座位；方案：若只租用座客车，正好坐满且比只租用座的客车少用两辆①请计算方案的费用； ②如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？
5．（2020·江苏盐城·初三一模）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共34棵，已知A种树苗的单价是B种树苗的43．
（1）若购进A种树苗用去1600元、B种树苗用去840元，问A、B两种树苗每棵各多少元？
（2）若A、B两种树苗的单价为（1）中的价格，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
6．（2020·西安市铁一中学初二期中）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
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