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考点01 轴对称与等腰三角形-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）
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这是一份考点01 轴对称与等腰三角形-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版），文件包含考点01轴对称与等腰三角形原卷版docx、考点01轴对称与等腰三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共114页， 欢迎下载使用。
考点01 轴对称与等腰三角形
知识框架
基础知识点
知识点1-1 轴对称图形与轴对称的概念
1）轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
注：①对称轴必须是一条直线 例：太极图不是对称图形
②对称图形是一幅图 例 不是 是
③轴对称，对称轴可将图形分为两个全等部分，但被对称轴分为全等两个部分的图形不一定是对称图形。（即仅翻折，平移、旋转不可）
例：
3）轴对称：将一个图形沿某一条直线折叠，它能与另一图形重合。我们称这两个图形关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫作对称轴。折叠后重合的点叫作对应点
注：①对称轴必须是直线；②对称图形是两幅图形；③轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定轴对称
1．（2021·重庆八中七年级期末）下列各城市地铁标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·扬州中学教育集团树人学校九年级三模）横撇竖捺，构架成一个个文字，在下列表示生肖的方块字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏九年级二模）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北七年级期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．费马螺线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
5．（2021·四川成都市·七年级期中）下列图形中,是轴对称图形的有（ ）个．
①角;②线段;③等腰三角形;④等边三角形;⑤一般三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
知识点1-2 图形轴对称的性质
1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
2）中垂线的画法：（尺规）
原理：AC=BC=BD=AD△ACD≌△BCD∠ACO=∠BCO△ACO≌△BCO
AO=OB且∠COA=∠COB=90°CD为AB的中垂线
3）画2个轴对称图形，连接对应点，寻找规律
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线
4）确定对称轴的方法：找出一组对应点，连线后作中垂线即为对称轴（轴对称图形或抽对称的两个图形都适用）
1．（2021·四川石室初中八年级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ）
A．38° B．48° C．50° D．52°
3．（2021·河南七年级期末）如图，点P在内部，点E，F分别是点P关于直线，的对称点，若，则______．
4．（2020·河南郑州市·八年级月考）如图所示，在四边形中，边与关于对称，则下面结论错误的是（ ）
A．平分 B． C．平分 D．平分
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形
6．（2021学年七年级数学下学期期末专项复习）如图，△ABC中，C、C′关于AB对称，B、B′关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于点F，若∠BFD＝α，∠BAC＝β，则α与β之间的关系为（ ）
A．2β＋α＝180° B．α＝2β C．α＝ D．α＝180°﹣
知识点1-3 线段的垂直平分线的性质和判定
1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
PA=PB
2）判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点
外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等
1．（2021·河北保定市·八年级期末）内一点到三边距离相等，则点一定是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
4．（2021·江西八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．
①；②；③；④点到点和点的距离相等．
6．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．AD平分
知识点1-4 画轴对称图形
1）关于对称轴l成轴对称图形的性质：
①两个图形完全相等（全等）；②对应点的连线组成的线段被对称轴l垂直平分
2）画一个与已知图形关于对称轴对称图形步骤：
①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端对为对应点
③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线
注：①折线部分：特殊点之间直线连接即可；②曲线部分：选取曲线中的特殊点，找出这些特殊点，再用曲线连接。
例： 以圆心为特殊点
1．（2021·浙江九年级一模）如图，己知图形X和直线l．以直线l为对称轴，图形X的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·广东九年级其他模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他将其中四个小正方形涂成灰色的情形．若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线对称图形，则此小正方形的位置为何？（ ）.
A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行
3．（2021·石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
4．（2021·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
5．（2021·湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2020·无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为____．
7．（2021·湖北八年级期末）如图，的顶点，，都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画，使它与关于直线成轴对称；（2）在直线上找一点，使点到点，点的距离之和最短；（3）在直线上找一点，使点到边，的距离相等．
知识点1-5对称点的坐标特征
1)P（x，y）
①关于x轴对称（y=0） Q1（x，-y）;②关于y轴对称（x=0） Q2（-x，y）;③关于原点对称 Q3（-x，-y）
2) 规律 P（x0，y0）
①关于x=m对称 Q1（2m-x，y） ②关于y=n轴对称 Q2（x，2n-y）
1．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北大冶·）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东沂水初二期末）已知点与点关于直线对称，那么等于______．
4．（2020·黑龙江甘南初二期末）若点M（m，﹣1）关于原点的对称点是N（2，n），则m+n的值是_____．
知识点1-6 等腰（等边）三角形的概念、性质定理和判定
1）等腰三角形：有两条边相等的三角形
腰：相等的两边 底边：不相等的那条边
顶角：两腰的夹角 底角：腰与底边的夹角
注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性质都满足；②等腰三角形是轴对称图形
2）性质一：等腰三角形的两个底角相等。
证明：作中线、作高、作角平分线皆可证明
注：涉及等腰三角形的角或边时，一般要指出顶角、底角，底边、腰。若未指出，会存在多解情况。
例：等腰三角形，一边长7cm，另一边长8cm，则三角形周长为：
3）等腰三角形的判定
4）等边三角形的性质与判定：
性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°；等边三角形是轴对称图形，有 三 条对称轴.
判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
1．（2021.江苏八年级期中）有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合； ④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·山东九年级一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·江苏中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·福建九年级二模）如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东九年级一模）如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·重庆八年级期末）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．（2021·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形？
知识点1-7 等腰三角形“三线合一”
1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
注：①“三线合一”仅指等腰三角形中的一条线、另外两条线无此规律；
②利用“三线合一”，可判断等腰三角形；
③只要“两线合一”，则必定“三线合一”（用全等易证）
1．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·上饶市第二中学初二期中）如图，在中，为的中点，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·广东广州·绿翠现代实验学校初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC， AD是BC边上的高，BD=4cm，则BC=_____ cm．
4．（2020·福建中考真题）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
5．（2021·上海风华初级中学初二月考）如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,∠B=∠E，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD．
6．（2021·成都市初二月考）如图是等腰的顶角的平分线，E点在上，F点在上，且平分，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型
题型1 判断轴对称图形
方法技巧：掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2021·云南师大附中初二期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北武汉初三二模）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东高州·初二期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南师大附中高新实验中学初三二模）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山东东明·初二期末）如图，我国四大银行的商标图案中，为轴对称图形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
6．（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型2 轴对称性质的应用（折叠）
方法技巧：常见应用为折叠问题。折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
1．（2021·江苏七年级期末）如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，交边于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）如图，将长方形沿折折叠后，与交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏七年级期末）如图，在长方形纸片中，，，把纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
4．（2021·重庆七年级期末）如图，为等腰直角三角形，、将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·江苏七年级期中）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝___°．
6．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．
题型3 线段垂直平分线性质的应用
方法技巧：掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
1．（2021·河南八年级期末）如图，在中，连接，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．（2021·广东七年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，连接AD，则∠BAD的度数为___．
4．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
5．（2021·河北九年级二模）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．
步骤1：以为圆心，长为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，长为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交的延长线于点．
则下列说法不正确的是（ ）
A．是中边上的高 B． C．平分
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
6．（2021.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
7．（2021·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．
8．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．
（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
题型4 等腰三角形的性质
方法技巧：掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
1．（2021·广东清远市·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠ABD＝_______°．
2．（2021·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，则AC的长＝________．
4．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
5．（2021·重庆八中八年级期末）如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时，_____________度．
6．（2021·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
7．（2021·陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
题型5 复杂的尺规作图
方法技巧：熟悉尺规作图的五种基本做法，结合题设要求解题即可
1．（2021·成都市初二月考）某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）
2．（2021·浙江九年级一模）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条髙速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
3．（2021·北京七年级期末）已知：点P是三角形ABC内一点．
（1）过点P作AC的平行线交AB于点E，交BC于点F；（2）过点P作AB的垂线，垂足为点Q；
（3）测量∠EPQ= °；（4）测量线段BF= cm．
4．（2021·广东八年级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，∠A＝80°，∠C＝40°．
（1）作BC边上的高AD，求∠BAD的度数；（2）作∠BAC的平分线AE，分别交BC，BF于点E，O，求∠AOB的度数．（要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）
5．（2021·重庆八年级期末）在中，，，．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，过作直线的垂线交于点；
（2）求的周长．
6．（2020·江阴初级中学初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE分Rt△ABC面积为1﹕2两部分，请探究AC与BC的数量关系．
题型6 利用轴对称性质求最值
1．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
2．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=__________（度）．
3．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
4．（2021·清远市清新区凤霞中学）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．
5．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）
6．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，在四边形中，是的中点，，，，若，则线段的最大值为___________．
8．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
题型7 等腰三角形与全等三角形综合题
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）
2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 ．A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．
7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．
8．（2021·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．
考点01 轴对称与等腰三角形
知识框架
基础知识点
知识点1-1 轴对称图形与轴对称的概念
1）轴对称图形：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁部分折叠后能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。
注：①对称轴必须是一条直线 例：太极图不是对称图形
②对称图形是一幅图 例 不是 是
③轴对称，对称轴可将图形分为两个全等部分，但被对称轴分为全等两个部分的图形不一定是对称图形。（即仅翻折，平移、旋转不可）
例：
3）轴对称：将一个图形沿某一条直线折叠，它能与另一图形重合。我们称这两个图形关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫作对称轴。折叠后重合的点叫作对应点
注：①对称轴必须是直线；②对称图形是两幅图形；③轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定轴对称
1．（2021·重庆八中七年级期末）下列各城市地铁标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·扬州中学教育集团树人学校九年级三模）横撇竖捺，构架成一个个文字，在下列表示生肖的方块字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏九年级二模）二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北七年级期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．费马螺线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
5．（2021·四川成都市·七年级期中）下列图形中,是轴对称图形的有（ ）个．
①角;②线段;③等腰三角形;④等边三角形;⑤一般三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
知识点1-2 图形轴对称的性质
1）垂直平分线（中垂线）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
2）中垂线的画法：（尺规）
原理：AC=BC=BD=AD△ACD≌△BCD∠ACO=∠BCO△ACO≌△BCO
AO=OB且∠COA=∠COB=90°CD为AB的中垂线
3）画2个轴对称图形，连接对应点，寻找规律
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线
4）确定对称轴的方法：找出一组对应点，连线后作中垂线即为对称轴（轴对称图形或抽对称的两个图形都适用）
1．（2021·四川石室初中八年级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
2．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ）
A．38° B．48° C．50° D．52°
3．（2021·河南七年级期末）如图，点P在内部，点E，F分别是点P关于直线，的对称点，若，则______．
4．（2020·河南郑州市·八年级月考）如图所示，在四边形中，边与关于对称，则下面结论错误的是（ ）
A．平分 B． C．平分 D．平分
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形
6．（2021学年七年级数学下学期期末专项复习）如图，△ABC中，C、C′关于AB对称，B、B′关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于点F，若∠BFD＝α，∠BAC＝β，则α与β之间的关系为（ ）
A．2β＋α＝180° B．α＝2β C．α＝ D．α＝180°﹣
知识点1-3 线段的垂直平分线的性质和判定
1）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
PA=PB
2）判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3）三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点
外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等
1．（2021·河北保定市·八年级期末）内一点到三边距离相等，则点一定是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线的交点
2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
4．（2021·江西八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．
①；②；③；④点到点和点的距离相等．
6．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．AD平分
知识点1-4 画轴对称图形
1）关于对称轴l成轴对称图形的性质：
①两个图形完全相等（全等）；②对应点的连线组成的线段被对称轴l垂直平分
2）画一个与已知图形关于对称轴对称图形步骤：
①描出图形关键点；②过关键点画对称轴垂线，并截取对应长度线段，端对为对应点
③按上述步骤确定所有关键点的对应点；④连线
注：①折线部分：特殊点之间直线连接即可；②曲线部分：选取曲线中的特殊点，找出这些特殊点，再用曲线连接。
例： 以圆心为特殊点
1．（2021·浙江九年级一模）如图，己知图形X和直线l．以直线l为对称轴，图形X的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·广东九年级其他模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他将其中四个小正方形涂成灰色的情形．若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线对称图形，则此小正方形的位置为何？（ ）.
A．第一列第四行 B．第二列第一行 C．第三列第三行 D．第四列第一行
3．（2021·石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
4．（2021·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
5．（2021·湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2020·无锡市积余实验学校八年级月考）小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为____．
7．（2021·湖北八年级期末）如图，的顶点，，都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画，使它与关于直线成轴对称；（2）在直线上找一点，使点到点，点的距离之和最短；（3）在直线上找一点，使点到边，的距离相等．
知识点1-5对称点的坐标特征
1)P（x，y）
①关于x轴对称（y=0） Q1（x，-y）;②关于y轴对称（x=0） Q2（-x，y）;③关于原点对称 Q3（-x，-y）
2) 规律 P（x0，y0）
①关于x=m对称 Q1（2m-x，y） ②关于y=n轴对称 Q2（x，2n-y）
1．（2020·湖南茶陵·初二期末）如果点与关于y轴对称，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北大冶·）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东沂水初二期末）已知点与点关于直线对称，那么等于______．
4．（2020·黑龙江甘南初二期末）若点M（m，﹣1）关于原点的对称点是N（2，n），则m+n的值是_____．
知识点1-6 等腰（等边）三角形的概念、性质定理和判定
1）等腰三角形：有两条边相等的三角形
腰：相等的两边 底边：不相等的那条边
顶角：两腰的夹角 底角：腰与底边的夹角
注：①等腰三角形是三角形，三角形的一切性质都满足；②等腰三角形是轴对称图形
2）性质一：等腰三角形的两个底角相等。
证明：作中线、作高、作角平分线皆可证明
注：涉及等腰三角形的角或边时，一般要指出顶角、底角，底边、腰。若未指出，会存在多解情况。
例：等腰三角形，一边长7cm，另一边长8cm，则三角形周长为：
3）等腰三角形的判定
4）等边三角形的性质与判定：
性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°；等边三角形是轴对称图形，有 三 条对称轴.
判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
1．（2021.江苏八年级期中）有下列说法：①等腰三角形的腰相等；②等腰三角形的两底角相等，③等腰三角形的中线、高线和角平分线互相重合； ④等腰三角形两底角的平分线相等；⑤等腰三角形的腰一定大于腰上的高线其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·山东九年级一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·江苏中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·福建九年级二模）如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东九年级一模）如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·重庆八年级期末）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．（2021·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形？
知识点1-7 等腰三角形“三线合一”
1）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
注：①“三线合一”仅指等腰三角形中的一条线、另外两条线无此规律；
②利用“三线合一”，可判断等腰三角形；
③只要“两线合一”，则必定“三线合一”（用全等易证）
1．（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·上饶市第二中学初二期中）如图，在中，为的中点，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·广东广州·绿翠现代实验学校初二期中）如图，在△ABC中，AB=AC， AD是BC边上的高，BD=4cm，则BC=_____ cm．
4．（2020·福建中考真题）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
5．（2021·上海风华初级中学初二月考）如图所示，已知在五边形ABCDE中，AE=AB,BC=DE,∠B=∠E，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD．
6．（2021·成都市初二月考）如图是等腰的顶角的平分线，E点在上，F点在上，且平分，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型
题型1 判断轴对称图形
方法技巧：掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2021·云南师大附中初二期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，危难时刻，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北武汉初三二模）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广东高州·初二期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·湖南师大附中高新实验中学初三二模）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·山东东明·初二期末）如图，我国四大银行的商标图案中，为轴对称图形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④① D．④①②
6．（2020·江苏新沂初三一模）剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型2 轴对称性质的应用（折叠）
方法技巧：常见应用为折叠问题。折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
1．（2021·江苏七年级期末）如图，在长方形纸片中，，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，交边于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）如图，将长方形沿折折叠后，与交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏七年级期末）如图，在长方形纸片中，，，把纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
4．（2021·重庆七年级期末）如图，为等腰直角三角形，、将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与、交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·江苏七年级期中）如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝___°．
6．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．
题型3 线段垂直平分线性质的应用
方法技巧：掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
1．（2021·河南八年级期末）如图，在中，连接，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，交于点．若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．（2021·广东七年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，连接AD，则∠BAD的度数为___．
4．（2021·山东八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
5．（2021·河北九年级二模）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．
步骤1：以为圆心，长为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，长为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交的延长线于点．
则下列说法不正确的是（ ）
A．是中边上的高 B． C．平分
D．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
6．（2021.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．
（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
7．（2021·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．
8．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．
（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
题型4 等腰三角形的性质
方法技巧：掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
1．（2021·广东清远市·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠ABD＝_______°．
2．（2021·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，则AC的长＝________．
4．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
5．（2021·重庆八中八年级期末）如图，在中，，M、N为边AB、BC上的两个动点，将沿MN翻折，翻折后点B的对应点D落在直线BC上方，连接CD，，且，则当是等腰三角形时，_____________度．
6．（2021·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
7．（2021·陕西交大附中分校九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
题型5 复杂的尺规作图
方法技巧：熟悉尺规作图的五种基本做法，结合题设要求解题即可
1．（2021·成都市初二月考）某小区为方便M、N两幢住宅楼的住户投放分类后的垃圾，拟在小区主路的交叉区域内设置一个垃圾投放点P，现要求P点到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一P点（不写作法，保留作图痕迹）
2．（2021·浙江九年级一模）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条髙速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．
3．（2021·北京七年级期末）已知：点P是三角形ABC内一点．
（1）过点P作AC的平行线交AB于点E，交BC于点F；（2）过点P作AB的垂线，垂足为点Q；
（3）测量∠EPQ= °；（4）测量线段BF= cm．
4．（2021·广东八年级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，∠A＝80°，∠C＝40°．
（1）作BC边上的高AD，求∠BAD的度数；（2）作∠BAC的平分线AE，分别交BC，BF于点E，O，求∠AOB的度数．（要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法）
5．（2021·重庆八年级期末）在中，，，．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，过作直线的垂线交于点；
（2）求的周长．
6．（2020·江阴初级中学初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，AC＜BC．
(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE分Rt△ABC面积为1﹕2两部分，请探究AC与BC的数量关系．
题型6 利用轴对称性质求最值
1．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
2．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=__________（度）．
3．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．
4．（2021·清远市清新区凤霞中学）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．
5．（2021·山东菏泽市·八年级期末）下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）
6．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，在四边形中，是的中点，，，，若，则线段的最大值为___________．
8．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
题型7 等腰三角形与全等三角形综合题
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）
2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 ．A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝时，求CE的值．
7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．
8．（2021·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．
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