必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性课文内容课件ppt

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知识点1　函数的零点1.代数定义:使得f(x0)=0的数　　　　称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. 2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的　　　　　　. 
名师点睛1.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.2.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
过关自诊1.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.f(x)>0的解集为(-5,-3)∪(2,4)∪(4,6).f(x)≤0的解集为[-6,-5]∪[-3,2]∪{4,6}.
2.[人教B版教材例题]利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-x-6<0;(2)x2-x-6≥0.
解 设f(x)=x2-x-6,令f(x)=0,得x2-x-6=0,即(x-3)(x+2)=0,从而x=3或x=-2.因此,3和-2都是函数f(x)的零点,从而f(x)的图象与x轴相交于(3,0)和(-2,0),又因为函数图象是开口向上的抛物线,f(0)=-6,所以可以作出函数图象的示意图,如图所示.由图可知:(1)所求解集为(-2,3);(2)所求解集为(-∞,-2]∪[3,+∞).
知识点2　零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. f(a)·f(b)<0是在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点的充分但不必要条件
名师点睛1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.2.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但f(-1)·f(1)>0.3.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
过关自诊1.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点.
证明 因为f(0)=2>0,f(-2)=-8+4+2=-2<0,所以f(-2)f(0)<0,因此∃x0∈(-2,0), f(x0)=0,即结论成立.
2.[人教A版教材例题]求方程ln x+2x-6=0的实数解的个数.
解 设函数f(x)=ln x+2x-6,利用计算工具,列出函数y=f(x)的对应值表,并画出图象.
由表和图可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理可知,函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内至少有一个零点.容易证明,函数f(x)=ln x+2x-6,x∈(0,+∞)是增函数,所以它只有一个零点,即相应方程ln x+2x-6=0只有一个实数解.
探究点一　求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+lg3x;(3)f(x)=4x-16.
(3)存在.令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.
规律方法　因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=lgn(mx+1)的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.所以函数y=lgn(mx+1)的解析式为y=lg2(-2x+1).令lg2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=lg2(-2x+1)的零点为0.
探究点二　函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)lg2x;(2)f(x)=x2- ;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)lg2x=0,因此x2-4=0或lg2x=0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令f(x)=x2- =0,得x2= ,设g(x)=x2,h(x)= (x≠0),在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
规律方法　判断函数零点个数的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(　　)A.0B.1C.2D.1或2
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
解 (方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln <0,所以f(3)·f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三　已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2]B.[1,+∞)C.[1,2)D.[1,2]
【例4】 已知a是实数,函数f(x)=2·|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
规律方法　已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
变式训练3已知关于x的函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)内存在零点,则(　　)
解析 显然a≠0,∴f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)内单调,且存在零点,∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,∴a>1或a<-
探究点四　判断函数零点所在的区间
【例5】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是(　　)A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1) =6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(-3,-1)内有根,同理,方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(2,4)内有根.故选A.
(2)已知函数f(x)= -lg2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)
规律方法　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
变式训练4(1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(　　)A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)
解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)在(0,1)内有零点.又函数f(x)为单调增函数,∴C选项符合条件.
(2)若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(　　)A.-2B.1C.-2或1D.0
解析 由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)= ,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y= 的图象,如图所示.由图象可知原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(1,2)内,所以k=-2或k=1.故选C.
1.知识清单:(1)求函数的零点;(2)判断零点个数;(3)由零点个数求参数范围;(4)确定函数零点所在的区间.2.方法归纳:转化法、数形结合法.3.常见误区:误将零点当作点,零点是数,是图象与x轴交点的横坐标.
1.下列四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的是(　　)
解析 只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为(　　)A.(0,1)B.(-1,0)C.(2,3)D.(1,2)
解析 由f(-1)= <0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为　　　　　. 
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.∴Δ=1+4a=0,即a=- .综上可知,a的值为0或- .
5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];(2)f(x)=x2+2x+1- ,x∈(0,+∞).