北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》教案

这是一份北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》教案，共32页。

第七章 平行线的证明
1 为什么要证明

1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.
2.发展学生的推理意识.
3.通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.
4.让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.
【教学重点】
体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.
【教学难点】
感受证明的必要性.

一、创设情境，导入新课
教材第162页“做一做”上方的问题.
【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.
二、思考探究，获取新知
验证结论的正确性.
做一做：
教材第162页“做一做”.
【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.
【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
三、运用新知，深化理解
1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是 的.（填“正确”或“不正确”）
2.下列说法不正确的是（ ）
A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.
B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.
C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.
D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.
3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（ ）
A.甲先到 B.乙先到 C.甲乙同时到 D.不确定

4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？
5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-,b=-3时，（-）2+（-3）2>2×(-)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由.
【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.
【答案】1.不正确； 2.A; 3.C
4.EF∥AD∥BC.EF= (AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.
证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E是AB的中点，∴AE=BE,∴EF=BG=(BC+CG)= (BC+AD).
5.解：不正确.当a=b时，a2+b2=2ab,找得到实数a、b，如a=b=1,使得a2+b2=2ab成立，因为对于任意的实数a、b都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0成立，所以a2+b2≥2ab成立，而不是a2+b2>2ab.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.
【教学说明】让学生大胆发言，进行知识的提炼和归纳总结，与同学交换意见相互补充，利于共同提高.


1.布置作业：习题7.1中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

学生的直观判断、实验操作得出的结论可能带有极大的片面性.数学是一门科学，讲究的是周密的计算和合乎逻辑的推理证明，不能想当然，让学生在学习过程中不断去体会.
2 定义与命题
第1课时 定义与命题

1.了解定义、命题的概念.
2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，学会用反例说明一个命题是假命题.
3.通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.
4.在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.
【教学重点】
命题的概念及真假的判断.
【教学难点】
对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”形式.

一、创设情境，导入新课
（1）阅读新华社酒泉2013年6月11日这篇报导：
神舟十号载人飞船于6月11日上午发射，……神舟十号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务.按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°，近地点高度为200千米，远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道.
要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？
（2）什么叫做平行线？（在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线）.
什么叫做物质的密度？（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）.
【教学说明】用熟悉的背景和提出的两个问题引入，为下面给出定义的概念得以顺理成章.
二、思考探究，获取新知
1.定义
问题1：从以上两个问题中，你能得出什么是定义吗？并举例说明.
【教学说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用学生举例的形成加深对概念的理解与掌握.
【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
2.命题
问题2：下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
【教学说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排了不是命题的问题参入，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断.
【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a2=b2;
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
【教学说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深了命题的理解.
【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
问题4：指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b,b≠c,那么a≠c;
（3）全等三角形的面积相等；
（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.
【教学说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自己学的知识对命题做出正确的判断.
【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
三、运用新知，深化理解
1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是 ，结论是 .
2.若a2=b2,则a=b.这个命题是 命题（填“真”或“假”）.
3.下列语句不是命题的有（ ）个
①相等的角是直角；②两点之间线段最短；③煤球是白色的；④连线A、B两点.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.下列句子哪些是命题？是命题的判断真假.
①对顶角相等；②画一个角等于已知角；③两直线平行，同位角相等；④a，b两直线平行吗？⑤鸟是动物；⑥若a2=4，求a的值；⑦若｜a｜=｜b｜，则a=b.
【教学说明】由学生自主完成，通过练习，使学生对知识的理解由浅入深，从感性上升到理性，及时反馈，便于发现问题、解决问题、提高课堂效率.提高45分钟的质量.
【答案】1.两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行；2.假；3.B;4.命题有：①③⑤⑦；真命题有：①③⑤；假命题有：⑦.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾定义、命题、条件、结论、真命题、假命题和反例的概念等知识点.
2.谈谈你对本节课的收获.
【教学说明】使学生对本节课的知识有一个完整的认识，进一步形成知识网络.不断对知识进行提炼和归纳，有助于概念的理解.


1.布置作业：习题7.2中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课概念比较多，千万不要死记硬背，在教学中要利用实例帮助理解记忆.对于命题中的条件和结论不很明显的改写成“如果……那么……”的形式有些困难，这方面有待今后不断强化提升.
第2课时 定理与证明

1.了解公理、定理、证明的含义.
2.体验、理解证明的必要性.
3.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.
4.通过书写完整的证明过程培养学生的逻辑思维能力和体验证明的方式方法.
5.利用证明的过程培养学生科学严谨的学习习惯.
【教学重点】
证明的含义和表述格式.
【教学难点】
按规定格式表述证明的过程.

一、创设情境，导入新课
我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？
【教学说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据.
二、思考探究，获取新知
1.公理、定理的概念
问题1：什么是公理？什么是定理？
问题2：我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？
【教学说明】给出概念，直入主题.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理.
【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则.等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
2.证明
问题3：什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？
【教学说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备.
例 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.

由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（外角的定义）.
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）
定理：对顶角相等.
注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配.
三、运用新知，深化理解
1.关于直线的公理的内容是.
2.如果a=b，b=c，那么，这一结论的根据是.
3.命题“无论a取任何实数，式子a2-4a+7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由.
4.已知：如图∠AOB=∠COD.求证：∠1=∠2.

5.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别是点D、E.求证：PD=PE.
【教学说明】学生独立完成，加深对所学知识的理解和检查跟证明有关的掌握情况，特别是对于证明过程的表述教师要及时指导.
【答案】1.两点确定一条直线；2.a=c，等量代换；
3.是真命题.∵a2-4a+7=a2-4a+4+3=(a-2)2+3,无论a为任何实数，（a-2)2≥0,(a-2)2+3>0,即式子a2-4a+7的值是正数.
4.证明：∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，即∠1=∠2.
5.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB（已知）.∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）.
∵OC平分∠AOB（已知）.
∴∠AOC=∠BOC（角平分线定义）.
又∵OP=OP（公共边）.
∴△PDO≌△PEO（AAS).
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共回顾公理、证明的概念和证明的步骤与格式.
2.本节课你掌握了哪些知识？还存在什么疑问？与大家交流.
【教学说明】通过回顾本课知识点，学生之间相互交流，对知识不断总结归纳，特别是对于几何证明要结合图形加以训练.


1.布置作业：习题7.3中的第1、2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课从已学的八条基本事实出发，利用这些结论进行有关几何问题的证明，培养学生逻辑思维能力和严密的推理能力，这是本节课教学的重点，也是难点.
3平行线的判定

1.理解并掌握平行线的判定方法.
2.经历探索直线平行的条件的过程，并能运用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”进行简单的证明.
3.经过观察、想象、推理、交流等活动，进一步加强学生空间观念、推理能力和有条理的表述能力.
4.在活动中培养学生良好的习惯、与他人合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时也能够认同他人.
【教学重点】
探索两直线平行的条件.
【教学难点】
运用直线平行的判定方法解决问题.

一、创设情境，导入新课
前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看.
【教学说明】通过复习旧知识的形式，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备.
两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角.同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？
【教学说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望.
二、思考探究，获取新知
1.内错角相等，两直线平行.

问题1：如右图，∠1与∠2是什么位置关系？
问题2：当∠1=∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？
【教学说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的.
为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：
证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）.
∴∠3=∠2（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
2.同旁内角互补，两直线平行.
问题1：如右图，∠2与∠3是什么位置关系？

问题2：当∠2+∠3=180°时，直线a、b有什么关系？为什么？
【教学说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写.
【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
三、运用新知，深化理解
1.已知：如图，∠1=76°，要使a∥b,则∠3= .

2.若a∥b,b∥c,则a c ;若a⊥b,a⊥c，则b c.
3.如图，直线a、b被直线c所截，以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的是（ ）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
4.如图，直线EF交AB、CD于N、M，且∠EMC=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是（ ）

A.AE∥DF B.AB∥CD C.∠A=∠D D.∠E=∠F.
5.如图，填空.

（1）由∠A+∠ADC=180°,可得 ∥ .
（2）由∠DBC=∠BCE,可得 ∥ .
（3）由∠A=∠CBE,可得 ∥ .
【教学说明】学生自主完成，加深对所学两个定理的理解与记忆和检测学生对知识的掌握情况，有困难的学生教师及时给予点拨和强化指导.
【答案】1.104°；2.∥，∥；3.A；4.B；
5.（1）DC AE；（2）BD CE;（3）AD BC
四、师生互动，课堂小结
1.到目前为止，你有多少种判定两条直线平行的方法？与大家共享.
2.学习过程中你有哪些疑惑？请与同学们交流.
【教学说明】通过小结的形式让学生在大脑中对平行线的判定方法形成知识体系，培养学生归纳总结的能力和综合运用的能力.


1.布置作业：习题7.4中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

学生对于三线八角的掌握比较牢固.根据角之间的关系判断哪两条直线平行很准确.由于刚学书写证明过程，还有不少学生的逻辑推理能力不强，在今后的训练中不断完善.
4平行线的性质

1.经历探索平行线的性质的过程，初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和计算.
2.在学习过程中进一步培养学生的推理能力.发展学生的空间观念.
3.培养学生的唯物主义观点，使学生逐步养成言之有据的习惯.
【教学重点】
平行线性质的探索及性质的理解.
【教学难点】
运用平行线的性质和判定结合去解决问题.

一、创设情境，导入新课
现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？
【教学说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
平行线的性质及其证明.
问题1：我们已经探索过平行四边形的性质，两直线平行，同位角相等，那它如何证明呢？
【教学说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的.此题的证明可以让学生感受反证法.
问题2：利用上面的定理，你能证明其他两条性质吗？试一试！
【教学说明】培养学生的逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心.
问题3：
例 已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.

【教学说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力.发展他们的数学思维和空间观念.
【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行.
讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流.
【教学说明】通过学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=105°,则∠4= .

2.如图，AB∥CD∥EF，则∠A+∠ACE+∠E= .
3.如图BD平分∠ABC，ED∥BC,则图中相等的角共有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

4.如图，已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，∠1=40°.求∠2的度数.
5.如图，已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一条直线上，且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关系，并说明理由.

【教学说明】通过对练习的处理，培养学生的口语表达能力和逻辑推理能力.使学生逐步学会运用推理的方法去证明问题，在具体的问题情境中能自觉地运用转化的思想去解决问题.对学习有困难的学生教师及时给予指导和点拨.
【答案】1.105°；2.360°；3.D.
4.解：∵AB∥CD,∴∠BEF=180°-∠1=180°-40°=140°.
又∵EG平分∠BEF,∴∠3=∠BEF=×140°=70°.
∵AB∥CD,∴∠2=∠3=70°.
5.AE∥BF.
证明：∵∠C=∠D,∴DF∥AC.∴∠A=∠1,
∵∠A=∠F,∴∠1=∠F.∴AE∥BF.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾平行四边形的三条判定性质以及由例题得出的一个结论.
2.谈谈你对本节课的收获与不足.
【教学说明】通过引导学生回顾平行线的判定与性质.加强它们之间的区别和联系，进一步体会综合运用过程中的方法思路.


1.布置作业：习题7.5中的第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课主要是平行线性质定理的推理，重在培养学生的逻辑思维能力和规范的推理过程的表述.再到平行线的性质与判定的综合运用，加深对所学知识的认识，提高运用知识解决实际问题的能力.在证明的过程中，图形有着至关重要的辅助作用.
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理的证明

1.学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理重新研究证明，并能利用三角形的内角和解决有关问题.
2.感受探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生有条理地思考问题和合乎情理地表达问题的能力.通过渗透“化归”的数学思想，培养学生解决数学问题的基本方法.
3.通过师生共同探究活动确认“三角形内角和是180°”，培养学生的概括、总结能力，激发学生探索问题的兴趣和体会学习数学的价值.
【教学重点】
三角形内角和定理的证明和利用三角形内角和进行有关的证明与计算.
【教学难点】
用不同的方法证明三角形内角和定理.

一、创设情境，导入新课
我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？
【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备.
二、思考探究，获取新知
三角形内角和定理的证明.
思考：（1）如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？

(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流.
【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤.
【归纳结论】三角形的内角和等于180°.
思考：
（1）你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？
（2）如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流.

【教学说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理能力和证明方法再次得到深化.
运用所学的知识，你能解决下面的问题吗？
例 如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.

【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用.注意向学生分析解决问题的思路和方法.
三、运用新知，深化理解
1.在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C= .
2.∠A=∠B+∠C,则这个三角形是 .
3.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为（ ）
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.都不对
4.若△ABC的一个内角是另一个内角的23，也是第三个内角的45，则它的三个内角的度数为（ ）
A.30°，60°，90°
B.40°，60°，80°
C.48°，52°，80°
D.48°，72°，60°
5.如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.

【教学说明】让学生自主完成，加深对三角形内角和定理的理解和检验学生运用的情况，第5题教师可以引导，对有困难的学生及时帮助、纠正强化.
【答案】1.30°；2.直角三角形；3.C；4.D.
5.解：在△ABC中，∠B=35°,∠C=45°,∴∠BAC=180°-(35°+45°)=100°.又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°.在△ACD中，∠ADC=90°,∠C=45°,∴∠CAD=90°-45°=45°.∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-45°=5°.
四、师生互动，课堂小结
你掌握了哪些证明三角形内角和定理的方法？在证明的过程中遇到了哪些困难？请与大家共同交流.
【教学说明】帮助学生回顾本节课的证明方法、加深对三角形内角和定理的理解和掌握，便于灵活熟练的运用.


1.布置作业：习题7.6中的第1、2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

通过让学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式，教师的主导作用和学生的主体作用得到充分的展示，学生感受到学习的快乐，体会到探究与发现带来的乐趣.特别是证明方法的多样性让不同的学生有不同的发展，交流更是一种互补.
第2课时 与三角形外角有关的定理

1.了解三角形的外角.
2.知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
3.学会运用简单的道理来计算三角形相关的角.
4.培养学生的实践能力和观察总结能力.
5.在学习的过程中，体验主动探究的成功与快乐.
【教学重点】
三角形外角的性质.
【教学难点】
运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理.

一、创设情境，导入新课
（1）什么是三角形的内角？它是由什么组成的？
（2）三角形的内角和定理的内容是什么？
【教学说明】为本节课进一步学习与三角形有关的角做准备.
二、思考探究，获取新知
三角形内角和定理的推论.

△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图,∠1是△ABC的外角.
问题1：你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？
【教学说明】结合图形，学生通过观察、
思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力.
【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
你能运用所学的知识解决下面的问题吗？
问题2：（1）已知：在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.

（2）已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.
你们的证明方法一样吗？与大家共同交流.
【教学说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定势的影响，可以自由发挥学生的思维灵活性.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知AB∥CD,∠C=75°,∠A=30°,则∠E= .

2.如图，△ABC中，∠B=∠C,FD⊥BC,∠AFD=158°,则∠EDF的度数等于 .
3.一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
4.如图所示，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（ ）
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A
B.∠2=∠5-∠A
C.∠5=∠1+∠4
D.∠1=∠ABC+∠4

5.如图，△ABC的外角平分线与BA的延长线交于D点.
求证：∠BAC>∠B.
6.已知△ABC中，D是BC上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=78°，求∠DAC的度数.
【教学说明】独立完成有助于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况，根据实际有针对性地进行矫正强化.同时也培养了学生自主学习的习惯.
【答案】1.45°；2.68°；3.C; 4.C.
5.证明：∵∠BAC为△ADC的外角，
∴∠BAC>∠1.又∵∠1=∠2，
∴∠BAC>∠2.
又∵∠2为△BCD的外角，
∴∠2>∠B.
∴∠BAC>∠B.
6.解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵∠4=∠3，
∴∠4=2∠2.
设∠2=x°,则∠4=2x°,
在△ABC中，x°+2x°+78°=180°,
解得x°=34°.
∴∠3=∠4=68°.
∴∠DAC=180°-(∠3+∠4)=180°-136°=44°.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾三角形外角的概念及三角形内角和定理的两个推论等知识.
2.谈谈你的收获，还存在哪些不足？
【教学说明】引导学生回顾所学知识，加深概念和定理的理解，还可以帮助学生形成知识体系，前后联系，领悟方法.


1.布置作业：习题7.7中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课学习了三角形内角和定理的两个推论，学生可能对第一个推论在理解上出现偏差，教师可以适当强调.在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到了三角形内角和定理及推论，在遇到证明角不等的时候常用到推论2，为学生的计算和证明指明了方向.
本章归纳总结

1.掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题.
2.通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力.
3.借助生活实际和思考探究、合作交流等形式，培养学生积极探索、多动手、多动脑的良好学习习惯.
【教学重点】
回顾本章知识点，构建知识结构.
【教学难点】
利用本章有关定理解决实际问题.

一、知识框图，整体把握

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.教学时，边回顾边引导学生画结构图.
二、释疑解惑，加深理解
1.平行线的性质和判定
在运用的时候要注意：（1）判定是不知道两直线平行，是根据某些条件来判断两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系.
2.三角形内角和定理及推论
三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段.同时三角形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据，必要时，可以通过添加辅助线来构造内、外角的位置关系，从而确立数量关系.
三、典例精析，复习新知
例1在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）

A.∠A+∠2=180° B.∠A=∠3 C.∠1=∠4 D.∠1=∠A
【分析】判定的是AB与DF平行，则把这两条直线看做被截的两直线，去找成同位角、内错角和同旁内角关系的两角，其中D选项∠1和∠A是AC、DE被截形成的同位角，由∠1=∠A得到的应是AC∥DE，故选D.
例2把下列命题改写成：“如果……那么”的形式，并分别指出它们的条件和结论.
（1）整数一定是有理数；
（2）同角的外角相等.
（3）两个锐角互余.
【分析】本题考查命题的概念、叙述简单的命题.要善于分辨条件与结论，这是改写成“如果……那么……”的形式的基础.
解：（1）如果一个数是整数，那么它一定是有理数.条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数.
（2）如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等.条件：两个角是同一个角的外角；结论：这两个角相等.
（3）如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角.条件：两个角是锐角；结论：这两个角互为余角.
例3 如图所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.

【分析】此题由同旁内角∠3+∠4=180°知AB∥CD，故∠2=180°-∠1.
解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），所以∠4+∠3=180°，所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.
例4一零件的形状如图所示，按规定∠BAC=90°,∠B=21°,∠C=20°，检验工人量得∠BDC=130°，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由.
【分析】这是一个三角形知识的实际应用问题，解决此类问题的关键是如何把实际问题转化到三角形知识上来.

解：连接AD并延长到点E，
则∠CDE=∠C+∠1,∠BDE=∠B+∠2,
所以∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2,
即∠CDB=∠C+∠B+∠CAB.
若零件合格，则有∠CDB=90°+20°+21°=131°,
而量得∠BDC=130°，故此零件不合格.
【教学说明】回顾本章主要知识点，教师根据复习情况给予总评，交待哪些地方是同学们需要注意的，帮助学生加深印象，便于理解.
四、复习训练，巩固提高
1.下列命题是假命题的是（ ）
A.若两个相等的角有一组边平行，则另一组边也平行；
B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直；
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
2.如图，∠ABC=35°,∠1=∠2,则∠3= .

3.如图，已知AB∥CD,AD∥BC,∠A的2倍与∠C的3倍互补，求∠A和∠D的度数.
4.如图，△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC,△BDE是正三角形，求∠C的度数.

5.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C，试探究ED与FB的位置关系，并说明理由.
【教学说明】这部分设置了本章几个重点知识，主要是考查学生综合运用能力.前四题由学生自主完成，最后一题可以由学生讨论得出结果.
【答案】1.A; 2.35°;
3.解：∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°,
∴∠D=∠B,同理∠A=∠C,
由题意得2∠A+3∠C=180°，
解得∠A=∠C=36°.
∴∠D=180°-∠A=180°-36°=144°.
4.解：设∠C=∠x°,则∠ABC=x°,因为△BDE为正三角形，所以∠ABE=60°，所以∠EBC=x°-60°,在△BCE中，根据内角和定理得：90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75°.
5.解：∵∠3=∠4，∴FC∥BD.
∴∠5=∠EAG,又∵∠C=∠5,
∴∠EAG=∠C,∴AB∥CD,
∴∠2=∠BGD.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠BGD,
∴BF∥ED.
五、师生互动，课堂小结
本节课你能完整地回顾本章所学的有关知识吗？你掌握了哪些证明角相等或不等以及两条直线平行的方法？你遇到了哪些困难？觉得哪些地方不足？
【教学说明】引导学生回顾本章知识，放手让学生交流、讨论形成共识，对于学生的困难和不足，教师应及时给予帮助.

1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册中本课时相应练习.

通过归纳本章知识结构图，以平行线的性质与判定以及三角形内角和定理及推论为重点，讲练结合，对于学生出错的地方及时纠正并进行强化，让学生达到熟练并且能够综合多方面的知识解决实际问题的能力.