北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》教案

这是一份北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》教案，共40页。

第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组

1.弄懂二元一次方程，二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
2.学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.
3.通过对二元一次方程（组）的概念的学习，感受数学与生活的联系,感受数学的乐趣.
【教学重点】
二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义.
【教学难点】
弄懂二元一次方程组解的含义.

一、创设情境，导入新课
1.有这样一段对话:老牛说:“累死我了！”小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮了2个.”老牛接着说：“我从你背上拿出1个，我的包裹数就是你的2倍！”小马说：“真的？！”，究竟它们各驮了多少包裹呢？你会做吗？
设老马驮了x个包裹，小马驮了y个包裹.
老牛驮的包裹数比小马驮的多2个,由此你能得到怎样的方程?
若老牛从小马背上拿来1个包裹,这时它们各有几个包裹?由此你又能得到怎样的方程?
【教学说明】从上面的对话入手,激发学生的学习兴趣,让学生体会到我们的生活无处不在的数学问题.
2.昨天,我们8个人去江山公园玩,买门票花了34元.每张成人票5元,每张儿童票3元,他们到底去了几个成人,几个儿童呢?
设他们中有x个成人,y个儿童,由此你能得到怎样的方程?
【教学说明】前面的第1个问题已经给学生指明了方向,帮助学生进一步理解题中各数量之间的关系,为下面的学习奠定了基础.
二、思考探究，获取新知
1.二元一次方程（组）的概念.
思考上面两个问题中,我们分别得到方程
x-y=2,x+1=2（y-1）和x+y=8,5x+3y=34.这些方程各含有几个未知数?含未知数项的次数是多少?
【教学说明】学生观察思考得出结果,对二元一次方程的概念的形成需要两个条件有了初步认识.
【归纳结论】含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
讨论：在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中, x所代表的对象相同吗?y呢?
【教学说明】采用讨论探究的形式得出方程组的概念学生很容易理解.
【归纳结论】方程x+y=8和5x+3y=34中,x，y所代表的对象分别相同.因而x，y必须同时满足x+y=8和5x+3y=34.把它们联立起来,得
像这样,共含有两个未知中数的两元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程（组）的解.
做一做：
（1）x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5;y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x，y值适合方程x+y＝8吗？
（2）x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？
（3）你能找到一组x，y的值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
【教学说明】在学习的一元一次方程的基础上进行认知结构去同化新知识，有助于学生理解和掌握.
【归纳结论】适合 一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.
如x=6,y=2是方程x+y＝8的一个解，记作 同样，也是方程x+y=8的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解.叫做这个二元一次方程组的解.
例如： 就是二元一次方程的解.
注：（1）二元一次方程的解是成对出现的；
（2）二元一次方程的解有无数多个，这与一元一次方程有显著区别.而二元一次方程组的解一般只有一个.
三、运用新知，深化理解
1.已知二元一次方程组则下列四组解中,是方程组的解的是（ ）.
A. B. C. D.
2.方程x+1=0,x+y+z=3,x-2y=6,1x-6y=12,4xy=5,x2-3y=6,1x+y=0,是二元一次方程的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.根据题意列方程组:
有父子两人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍,现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍,10年以后父亲的年龄是儿子年龄的几倍?
【教学说明】学生根据所学知识自主完成，加深了对各个知识点的理解和检查学生掌握情况,老师根据实际情况及时指点.
【答案】1.C 2.A
3.解：设今年父亲x岁,儿子y岁,由题意得
四、师生互动，课堂小结
1.老师引导学生回忆二元一次方程（组）的概念及其解等知识.
2.谈谈本节课的收获,与同伴交流.
【教学说明】发挥学生的主体意识,培养学生归纳小结的能力.


1.布置作业：习题5.1中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

学生对于二元一次方程（组）的概念及其解的概念掌握比较快比较好，但在略微复杂一点的二元一次方程组的应用题上还有部分学生存在一定的困难，需要不断完善和提高.
2 求解二元一次方程组
第1课时 代入法

1.使学生学会用代入法解二元一次方程组.
2.理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法.
3.逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想.
【教学重点】
用代入法解二元一次方程组.
【教学难点】
代入消元法的基本思想.

一、创设情境，导入新课
对于上一节课提出的问题:老牛和小马到底各驮了几个包裹呢?方程组 你会解吗?.
老师引导:由①得y=x-2③，由于方程组中相同的字母代表同一对象,所以方程②中的y也为x-2,可以用x-2代替方程②中的y,这样得到:x+1=2（x-2-1）.④解一元二次方程④得到x=7.再把x=7代入③得y=5.这样二元一次方程组 的解为
注:把求出的未知数的值代入原方程组,可以知道求得的解对不对.
【教学说明】针对上一节熟悉的问题如何解答,增强了学生探求知识的欲望,使学生对所学知识产生亲切感.
二、思考探究，获取新知
用代入法解二元一次方程组.
下面我们根据上面的解题思路解方程组.
例1 解方程组：
（1）在这个方程组中,哪一个方程最简单?
（2）怎样将两个未知数的方程变为只含有一个未知数的一元一次方程呢?
【教学说明】重视知识发生的过程,让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据,体会未知向已知,陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想.
例2 解方程组：
【教学说明】老师可以引导学生采用例1的方法,尝试看解答,确实有困难的同学之间相互讨论,教师适当点拨.
讨论:
上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些?
【教学说明】经过几个解方程组的学习,让学生总结归纳掌握代入法的基本方法和步骤.着重让学生体会解二元一次方程组的技巧,主要表现在如何选择一个方程,如何用含一个未知数的式子去表示另一个未知数,转“二元”为“一元”.
【归纳结论】①解方程的基本思路是“消元”—把“二元”变为“一元”.②主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
三、运用新知，深化理解
1.在二次一元方程2x-y=5中，用含x的式子表示y为 .
2.用代入法解方程组先把方程 变为 ，再代入 ，求得 的值，然后再求 的值.
3.如果方程组 的解为 则a= ,b= .
4.用代入法解方程组:
（1） （2）
【教学说明】教师让学生独立做,确实有困难的学生教师及时指导,加深他们对知识的理解,特别是用代入法解二元一次方程组的方法的掌握.
【答案】1.y=2x-5; 2. ①, y=5-2x; ②, x,y; 3.4/3,7/3;
4.（1）解:由①得a=6-b ③，把③代入②得3（6-b）+2b=6,解得b=12,把b=12代入③得a=-6,所以这个方程的解为
（2）解：由①得6y=13-5x③，把③代入②得：7x+3（13-5x）=-1，解得x=5.把x=5代入③得y=-2，所以这个方程组的解为
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你认为代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些?还有哪些困难需要解决的呢?
【教学说明】及时梳理知识,形成模式化,同时起到了小结归纳的作用,使学生认识到同代入法解二元一次方程组的一般步骤和基本方法.


1.布置作业：习题5.2的第1题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

对于系数较简单的方程学生掌握得很好,但复杂一点的很容易出错.代数的学习往往比较枯燥,要想调动学生的积极性必须在形式上下工夫,在练习过程中可以考虑采取多种多样的手段,激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,培养他们的学习兴趣.
第2课时 加减法

1.掌握用加减法解二元一次方程组.
2.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
3.体验数学学习的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心.
【教学重点】
用“加减法”解二元一次方程组.
【教学难点】
学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组.

一、创设情境，导入新课
同学们,你能用前面学过的代入法解下面的二元一次方程组吗?

（1）用x表示y怎样解?
（2）用y表示 x怎样解?
【教学说明】使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组，加强解题方法的掌握”.
思考：
除了上面的两种方法，你能用其它比较简单的方法来做吗？
观察：
（1）上面的方程组，未知数x的系数有什么特点？
（2）除了代入消元，你还有什么办法消去x呢？
【教学说明】 让学生体会可以根据方程组不同的特点，用“代入法”解方程组存在的不足，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,初步认识“加减法”.
引导:把方程组中①+②得到5x=10,x=2,将x=2代入①得6+5y=21,y=3,所以方程组 的解是
二、思考探究，获取新知
用加减法解二元一次方程组.
下面,我们根据上面的解题方法解方程组.
例1解方程组
（1）这个方程组中,未知数x的系数有什么特点?
（2）你准备采用什么办法消去x?
【教学说明】让学生发现方程组中未知数系数的关系,找到解方程组的方法,使学生明白消去哪一个未知数可以使计算简单化.
例2解方程
这个方程组中,未知数的系数既不相同也不互为相反数,你能采用什么方法使两个方程中x（或y）的系数相等（或相反）呢?
【教学说明】帮助学生观察分析对于用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组的解法.这是本课的难点.
讨论:上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些?
【教学说明】引导学生思考、讨论、交流、归纳掌握加减法的基本方法和步骤.着重让学生体会解方程的技巧，特别是要考虑如何使计算方便快捷.
【归纳总结】上面解方程的基本思路仍然是消元.主要步骤是通过两式相加（减）消去其中一个未知数,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
三、运用新知，深化理解
1.已知方程组 可用①+②消去未知数 ,得到一元一次方程 .
2.已知方程组 将②×3-①×2得（ ）
A.-3y=2
B.4y+1=0
C.y=0
D.7y=-8
3.已知关于x,y的方程组 的解满足方程3x+2y=19,求m的值.
4.用加减法解方程组:
（1）
（2）
【教学说明】教师引导学生自主做,加深用加减法解二元一次方程组方法的理解和检验学生掌握情况,对学生强化指导,及时纠正错误.
【答案】
1.y,3x=23 2.C;
3.解:①+②得2x=14m,x=7m③,①-②得4y=-4m,y=-m④，把③④代入方程3x+2y=19,得3×7m+2×（-m）=19,∴m=1.
4.解:（1）①×5得:15x-35y=5③,②×3得:15x-12y=51④,④-③得:23y=46,y=2,把y=2代入①得x=5,所以方程组的解为
（2）整理后方程组得
①+②得：x=19,x=6,把x=6代入①得y=-7.所以
四、师生互动，课堂小结
用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么?这种方法的适用条件是什么?步骤又是怎样的?学习过程中还有哪些困惑?请与同学们交流.
【教学说明】引导学生思考、交流、梳理所学知识,培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力以及高度概括能力.使学生再度加深用加减法解二元一次方程组的基本步骤和解题方法.


1.布置作业：习题5.3中的第1，2题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

通过两种方法解二元一次方程组,很大程度上决定于方程组的特点来取什么样的方法来解使运算简便是一个非常重要的环节,它直接决定于学生的解题速度的快慢和质量的高低.在今后的教学中,让学生不断领会解题的方法和技巧,以达到熟练灵活的运用.
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼

1.能够找出古代实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组
2.经历同方程组解决实际问题的过程,体现方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.
3.培养学生分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化.
【教学重点】
以方程组为工具分析,解决含有多个未知数的实际问题.
【教学难点】
确定解题策略,建立等量关系.

一、创设情境，导入新课
《孔子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣.其中下卷第31题:“雉兔同笼”流传尤为广泛,漂洋过海流传到日本等国.
“雉兔同笼”题为:“今有雉（鸡）兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?”
（1）“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢?
（2）你能根据（1）中的数量关系列出方程组吗?
（3）你能解决这个有趣的问题吗?与同学们交流一下.
【教学说明】以古代的数学名题入手,可以增强学生的民族自豪感,激发学生学好数学的感情.又为设未知数列方程组解决实际问题的引出做好铺垫.
二、思考探究，获取新知
应用二元一次方程组解决古代问题.
同学们,根据上面的方法,你能解决下面的另外一个古代问题吗?
例:以绳测井,若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
【教学说明】教师可以引导学生分析题目的意思,帮助他们理清数量之间的关系,为设未知数列方程组解决问题做好充分的准备.
为了给学生一个完整的解答应用题的过程,教师可以做示范:
解:设绳长x尺,井深y 尺,根据题意,得
①-②得 ,
=4,
x=48
将x=48代入①得y=11.所以绳长48尺,井深11尺.
三、运用新知，深化理解
1.方程组 的解为 .
2.一个笼中装有鸡兔若干只,从上面看共42个头,从下面看共有132只脚,则鸡有 ，兔有 .
3.甲、乙承包一项任务,共生产机器零件420个,甲先做2天,乙加入合作,再做2天完成;如果乙先做2天,甲加入合作,那么再做3天完成,设甲每天做x个零件,乙每天做y个零件的方程组为（ ）
A. B. C. D.
4.《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中有一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“若从你们中飞上来一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?
【教学说明】学生独立完成,让学生在解题的过程中不断感受到数学文化，更需要的是巩固用方程组解答实际问题的过程,从而找到解题方法.

四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗?你有什么心得体会？请与大家一起分享.
【教学说明】从问题的形式出发,引导学生思考、交流、梳理所学知识,建立起符合自身认知特点的知识结构,训练口头表述能力,养成及时归纳总结的良好的学习习惯.


1.布置作业：习题5.4第2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

对于比较明显的数量关系的应用题绝大部分学生掌握情况较好，而稍有转弯的应用题还有部分学生在数量关系的建立上还存在一定的问题，在以后的教学中还需要在这方面下工夫.
4 应用二元一次方程组——增收节支

1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.
3.进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
4.培养学生勤于思考,勇于探索的精神.
【教学重点】
用列表的方式分析题目中的各个量的关系.
【教学难点】
借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.

一、创设情境，导入新课
在现实生活中,我们常常会听到这样一个词语,增收节支.当我们遇到实际问题的时候,该如何解决呢？
例如:某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
如果设去年的总产值为x万元,总支出为y万元.
为了帮助同学们理清各个数量之间的关系,你能否采用表格的形式用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢?
【教学说明】以一道生活热点问题引入具有现实意义和教育意义,激发学生学习兴趣,同时培养学生勤俭节约的优良传统.理解题意是关键通过解题,旨在培养学生的解题能力和收集信息能力.
二、思考探究，获取新知
采用列表格的形式解决实际问题.
同学们,根据上面的方法你能解决下面的问题吗?
例如:医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?
【教学说明】本例所涉及的数据较多,数量关系较以前复杂,具有一定的挑战性.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法,以提升他们解决问题的能力.
为了给学生一个参考,教师展示完整的过程.
【分析】设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,则有:

解:设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,根据题意得:
解这个方程组得
所以每餐需甲原料28g,乙原料30g.
三、运用新知，深化理解
1.甲、乙两仓库共有粮450吨,甲仓库运出60%,乙仓库运出40%,结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨,若设甲仓库原有粮食x吨,乙仓库原有粮食y吨,则可列方程组为 .
2.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ）
A.400,225
B.300,335
C.400,335
D.225,400
3.某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:

问:他当天卖完西红柿和豆角能赚多少钱?
【教学说明】让学生自主完成,加深如何利用表格的形式解决稍微复杂的数量关系的应用题,检测学生应用能力,对有困难的学生及时点拨纠正,得以强化提高.
【答案】
1.
2.A.
3.解:设批发了xkg西红柿,ykg豆角,则
解得
（1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=6+27=33（元）
答:他当天卖完西红柿和豆角能赚33元.
四、师生互动，课堂小结
1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
2.这节课你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流.
【教学说明】引导学生思考、归纳、总结得出,便于及时纠正,达到共同提高.


1.布置作业：习题5.5第2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

对于较复杂的应用题,我们可以采用多种形式辅助解答.学生考虑的角度和思考方法比较单一,不利于问题的解答,平时的教学要让学生逐步得到体验,不断提高他们解决实际问题的能力.
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数

1.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程组.
2.经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
3.培养学生分析解决问题的能力,体现数学应用的价值.
【教学重点】
经历和体验用方程组解决实际问题的过程.
【教学难点】
用方程组刻画和解决实际问题的过程.

一、创设情境，导入新课
小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶,下面是小明每隔1h看到的里程情况,你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗?
12:00 是一个两位数,它的两个数字之和为7.
13:00 十位与个位数数字与12:00时所看到的正好互换了.
14:00 比12:00时看到的两位数中间多了个0.
12:00-13:00与13:00-14:00 两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
【教学说明】以学生身边的实际问题引入开展学习，突出数学与现实的联系，培养学生应用数学的意识和学习数学的热情.
二、思考探究，获取新知
应用二元一次方程组解决数字问题.
同学们，根据上面的方法,你能解决下面的问题吗?
例如:两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.
【教学说明】本例是涉及有关数字的问题数量关系并不复杂,但需要注意的是各个数字在不同的数位上所表示的实际意义不同.
为了帮助学生理清思路,分析各数之间的关系,教师可以引导学生分析:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y,在较大数的右边接着写较小的数,所写的数可表示为 ;在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为 .
为了让学生有一个清晰的解题过程,展示如下:
解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y ,根据题意得:
化简,得 即
解这个方程组得 所以这两个两位数分别是45和23.
讨论:经历前面一系列的解决二元一次方程组的应用题,你认为列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同学们交流.
【教学说明】通过不同的形式和多样的方法解决现实生活中的许多问题不断总结归纳.提炼解题的基本方法,无疑让自己的学习插上了腾飞的翅膀.
结论:列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、找、设、列、解、验、答.
三、运用新知，深化理解
1.若两数的和为25,差为23,则这两个数为 .
2.已知一个两位数,它的十位上的数字x比个位数字y大1,若颠倒个位与十位数字的位置,得到的新数比原数小9,求这两个数,则下列所列的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.小明去郊游,早上9时下车,先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路返回到下车处,正好是下午2时,若他走平路每小时走4km,爬山时每小时走3km,下山时每小时走6km,则小明从上午到下午一共走的路程是（ ）
A.5km
B.10km
C.20km
D.答案不唯一
4.一个三位数,十位上的数比个位上的数大2.百位上的数是十位上数的2倍,如果把百位上的数与个位上的数对换,那么可以得到比原来小495的三位数,求原三位数.
【教学说明】学生独立完成,加深对所学知识的理解和检验学生对本节课掌握程度.必要时教师适当点拨或同学交流讨论得出结果.
【答案】1.24,1；2.D；3.C；
4.解：设原三位数的百位数字为x,个位数字为y,则根据题意得:
解得 ,
∴百位数：6,十位数：3,个位数：1. 答:原来三位数为631.
四、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习,你有哪些收获?还有哪些不足?与同学们交流.
2.试用框图概括用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程.
【教学说明】让学生结合自己的解题过程概括整理,帮助理解,完整地用框图反映实际问题与二元一次方程组的关系,培养学生模型化的思想和应用数学对现实生活的意识.


1.布置作业：习题5.6第2、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

利用二元一次方程组解决实际问题呈现的背景形式千变万化，如何才能让学生熟练灵活的运用所学知识,去解决不是朝文之功的事情,需要在实践中不断总结提升.
6 二元一次方程与一次函数

1.理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系.
2.会用画图象的方法解二元一次方程组.
3.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决,学会用函数的观点去认识问题的方法.
4.通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索,培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神;通过从函数的角度看问题,让学生体会数学的价值.
【教学重点】
探索一次函数与二元一次方程（组）的关系.
【教学难点】
综合运用方程（组）和函数的知识解决实际问题.

一、创设情境，导入新课
边做边思考:
（1）方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.
（2）在直角坐标系内分别找出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗?
（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?
【教学说明】一方面,帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系;另一方面让学生感受一次函数图象上的点与二元一次方程的解的对应关系,为探究二元一次方程组的解与直线的交点坐标的关系做好铺垫.
【归纳结论】一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.
二、思考探究，获取新知
二元一次方程（组）与一次函数的关系.
问题1:在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗?交点的坐标与方程组的解有什么关系?
【教学说明】让学生通过画图去思考探索从形的角度去认识一次函数与解二元一次方程组的关系.
【归纳结论】一般地,从图形的角度看,确定两条直线交点的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
问题2:在同一直角坐标系内,一次函数y=x+1和y=x-2的图象有怎样的位置关系?方程组解的情况如何?你发现了什么?
【教学说明】利用图象进一步证明一次函数与二元一次方程（组）之间的密切关系,让学生明白平行的两条直线没有交点,并且以它们为方程组是无解的.
三、运用新知，深化理解
1.如图,已知数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x、y的二元一次方程组 的解是 .

2.如图,直线l1和l2的交点坐标为（ ）
A.（4,-2） B.（2,-4） C.（-4,2） D.（3,-1）

3.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P（1,b）.

（1）求b的值.
（2）不解关于x,y的方程组 请你直接写出它的解.
（3）直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.
4.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月租费20元外再从每分0.05元的价格按上网时间计费,何时两种计费方式所收费用相等?
【教学说明】学生自主完成,加深对所学知识的理解,及时反映学生掌握情况,根据情况有针对性地点拨并加强训练.
【答案】
1. ；2.A;
3.解：（1）由题意得当x=1时,y=b,把x=1代入l1:y=x+1,得y=1+1=2,∴b=2;
（2）∵l1与l2相交于点P（1, b）,又∵b=2,∴l1与l2相交于点（1,2）,
∴方程组的解为 ;
（3）直线l3:y=nx+m经过点P.理由如下:把（1,2）代入直线l2:y=mx+n中，得2=1×m+n,2=m+n.再把（1，2）代入直线l3:y=nx+m中，得2=1×n+m,2=m+n,∵直线l2经过点P,又∵m+n=2,∴直线l3经过点P.
4.略.
四、师生互动，课堂小结
你对本节课的内容有哪些认识?学习的过程中遇到哪些困难.请大家互相交流.
【教学说明】通过归纳总结,加深对本节课主要内容的理解,领悟学习过程中所用的思想与方法,培养学生反思的好习惯.


1.布置作业：习题5.7中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

利用一次函数与二元一次方程（组）之间的对应关系,让学生体会它们之间是相互联系的.通过综合运用它们解决实际问题,从中学会根据具体情况灵活地选择数学模型将它们有机地结合起来.
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式

1.掌握利用二元一次方程组用待定系数法确定一次函数的表达式.
2.理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点.
3.进一步理解方程与函数的联系,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
【教学重点】
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【教学难点】
利用二元一次方程组解决一次函数的实际问题.

一、创设情境，导入新课
前面,我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解.相反的,能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢?
【教学说明】用学生熟悉的知识为引子导入本节课,同时采用逆向思维启发学生思考,激发他们探求知识的强烈欲望.
二、思考探究，获取新知
用二元一次方程组确定一次函数表达式.
问题1:A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s（km）都是骑车时间t（h）的一次函数,1h后乙距离A地80 km;2h 后甲距离A地30km.经过多长时间两人将相遇?
你是怎样做的?与同伴进行交流.
【教学说明】通过实际问题为背景，引例分组探索,进一步加强函数与方程的关系,让学生在多种方法解决问题的思考中和比较中体会作图象方法与代数方法各自的特点,为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系.
【归纳结论】在上面的问题中,用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确获得问题的结果.为了获得准确的结果,一般采用代数法.
问题2:某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数.已知李明带了60kg的行李,交了行李费5元;张华带了90kg的行李,交了行李费10元.
（1）写出y与x之间的函数表达式;
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李?
【教学说明】通过例题的探索,让学生掌握到用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体做法,让他们深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法.使学生有知识迁移的基础.
【归纳结论】像上面问题2这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法叫做待定系数法.
三、运用新知，深化理解
1.图中的两条直线l1和l2的交点坐标可以看做方程组 的解.

2.为了倡导节约用水,某城市规定:每户居民每月的用水标准为8m3,超过标准部分加价收费.已知某户居民某两个月的用水量和水费分别是11m3,28元和15m3, 44元.标准内水价为 ,超过标准部分的水价为 .
3.在弹性限度内,弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米.写出y与x之间的函数关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
4.我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶,如图所示,l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系.当时间t等于多少分钟时,我边防快艇B能够追赶上A.

【教学说明】学生独立完成,强化了函数与方程的关系,检验了学生利用二元一次方程组确定一次函数表达式的掌握程度.便于教师调整与强化.

四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤.
2.通过本节课的学习你掌握了哪些内容?觉得哪些地方还不清楚?请与同学互相交流.
【教学说明】让学生对本节课的内容做概括归纳与整理形成知识体系,同时也加深了印象.特别是要让学生体会二元一次方程组与一次函数图象之间的转化关系,强化学生数形结合的意识,从图形中获取有用的信息.


1.布置作业：习题5.8中的第1、2、3题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课是二元一次方程组和一次函数关系的第二节课,主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题,根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题，关于这方面练习,以教师的讲解为主,在此基础上,还要让学生动手、动脑去解决问题，在技能上做出强化.
*8三元一次方程组

1.掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法.
2.在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.
3.培养学生勇于探索,敢于创新的精神.
【教学重点】
三元一次方程组的解法.
【教学难点】
三元一次方程组的解法过程中的方法选择.

一、创设情境，导入新课
已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的2倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
在上述问题中,设甲数为x,乙数为y,丙数为z,由题意可得到方程组:

（1）这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
（2）你会解这个方程组吗?准备采用什么方法?
【教学说明】通过问题引入,引发学生思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引出三元一次方程组的概念.
【归纳结论】含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫三元一次方程.若含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.三元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个三元一次方程组的解.
二、思考探究，获取新知
用消元法解三元一次方程组
思考:
（1）对于上面的三元一次方程组怎样解呢?
（2）我们会解二元一次方程组,能不能像以前一样“消元”,把“三元”化为“二元”呢?
【教学说明】通过学生的思考、讨论、交流、探究以及与二元一次方程组解法的类比,从而得出解三元一次方程组的思路,让学生从中感受类比的思考方法.
为了让学生对三元一次方程组的解法有个初步的了解,展示如下:
解:由方程②得：x=y+1④
把④代入①③,得解由⑤⑥组成的二元一次方程组得 把y=8代入④,得x=8+1=9.
经检验,x=9,y=8,z=6适合原方程组,所以原方程组的解是
做一做:
（1）解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗?
（2）你还有其他方法吗?与同伴进行交流.
【教学说明】解三元一次方程组的过程中,消元的思想体现得非常充分,但怎么消元,先消哪个元,是需要认真考虑的,这里面的方法是有优劣之分的,引导学生先进行观察比较,在此基础上再进行消元是有必要的.可以让学生从中感受到方法选择的重要性.
讨论:上述不同的解法有什么共同之处?与二元一次方程组的解法有什么联系?解三元一次方程组的思路是什么?
【教学说明】一个方程组可能有几个不同的解法,但都体现了一个目的那就是消元,即把“三元”变“二元”,再化为“一元”.
【归纳结论】解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”,再把“二元”化为“一元”.
三、运用新知，深化理解
1.已知 ,则 x+y+z= .
2.解方程组 要使运算简便,消元应选（ ）
A先消x
B.先消y
C.先消z
D.是消常数项
3.某次知识竞赛共出了30个试题,评分标准如下:答对一题加4分,答错一题扣1分,不答记0分,已知小刚同学不答的题比答错的多3题,他的总分为81分,则他答对了（ ）
A.19题
B.20题
C.21题
D.22题
4.解方程组:（1）
（2）
【教学说明】教师引导学生自主解答,加深对三元一次方程组解法的理解与掌握,确实有困难的,教师要给予指导,有错误的要及时纠正并进行强化.
【答案】1.5/2 2.B 3.C
4.解：（1）②+③×2得：4x+3y=24④
联立①④，解得
将x，y的值代入③，得z=2
所以原方程组的解为
（2）由①得x=2y④，将④代入③得2y+y-3z=3即y-z=1⑤
联立②⑤，解得
将y、z的值代入③，得x=4
所以原方程组的解为
四、师生互动，课堂小结
1.谈谈你对三元一次方程组解法的看法
2.这节课你掌握了哪些新知识？还存在哪些疑难问题？与同学们交流.
【教学说明】帮助学生形成知识体系,前后联系,感受消元的基本思路.在学习中,只有不断总结得与失,才能获取更大的进步.


1.布置作业：习题5.9中的第1、3、4题.
2.完成练习册中本课时相应练习.

三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法类似,其基本思路就是消元.在对于解三元一次方程组时,怎么消元,先消哪个元,也是需要认真考虑的,这一点要注意在不断地学习中慢慢体会.
本章归纳总结

1.会解二元一次方程组和利用二元一次方程组解决实际问题.
2.通过归纳整理本章知识点,回顾解决问题中所涉及的整体代入、转化消元、数形结合的思想.加强各知识之间的内在联系,便于加深理解.
3.在运用本章知识解决实际问题的过程中,体会数学与现实生活的密切联系,增强应用数学的意识,感受数学的应用价值.通过思考,讨论激发学生探求知识的热情.
【教学重点】
会解二元一次方程组,能够根据具体问题中的数量关系列出方程组.
【教学难点】
列方程组解应用性的实际问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.二元一次方程的概念.
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,同时还必须是整式方程才叫做二元一次方程.
2.二元一次方程组的解法.
（1）已知x,y满足方程组 则x-y= .
（2）已知方程组 的解适合方程x+y=8.求m的值.
说明:第（1）题并不一定要先把x,y的值求出来，再计算x-y的值.可以采用①-②直接求得;第（2）题也并不一定是用m的代数式来表示x,y,再代入x+y=8求得m,可以①+②得5（x+y）=2m+2,即x+y= ,由于x+y=8,得=8，可求得m.
注:解方程组时,可以根据方程组的特点灵活求解,使计算简便，切不可生搬硬套.
3.列方程组解决实际问题.
在用方程组解决问题的过程中要注意以下几个方面:①审清题意,找等量关系是关键;②单位要统一;③符合实际意义;④检验.
三、典例精析，复习新知
例1 写出一个解为的二元一次方程组.
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的应用,此题可先构造两个以 为解的二元一次方程，然后将它们用“大括号”联立即可.
解:本题答案不唯一.
因为x=1,y=-2,
所以x+y=1+（-2）=-1,x-y=1-（-2）=3.
所以 就是所求的一个二元一次方程组.
例2 如果 是方程组 的解,求a2013+2b2014的值.
【分析】把代入方程组,可以得到关于a,b的方程组,解这个方程组,即可求得a,b的值.
解:由是方程组 的解,得 ,解这个方程组,得 .当时,a2013+2b2014=12013+2×12014=1+2=3.
例3 解方程组
【分析】本题考查用加减法解二元一次方程组,相同未知数的系数的差都是1,可反复利用加减消元法.
解:由①-②,得z-y=1,③
由③×2012-②,得z=-2.
把z=-2代入③,得-2-y=1,y=-3.
所以原方程组的解为
例4 某工厂有甲、乙两条生产线先后投产,在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了200吨成品,从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后,总产量y(吨)与从乙开始投产后所用时间x（天）之间的函数关系式,并求出第几天结束后,甲、乙两生产线的总产量相同;
（2）在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象,观察图象分别指出第15天和第25天结束时,哪条生产线的总产量高.
【分析】此题涉及求解析式及函数与方程的关系,并利用一次函数的图象解决实际问题.
解:（1）由题意可知,甲生产线生产时对应的函数关系式为y=20x+200.
乙生产线生产时对应的函数关系式为y=30x.令20x+200=30x,解得x=20.
∴当第20天结束时,两条生产线的总产量相同.
（2）由（1）可知,甲生产线所对应的函数图象一定经过两点A（0,200）,B（20,600）,乙生产线所对应的函数图象一定经过两点O（0,0）和B（20,600）,画出两个函数图象如图所示.

由图象可知,第15天结束时,甲生产线的总产量高;
第25天结束时,乙生产线的总产量高.
四、复习训练,巩固提高.
1.若关于x、y的方程组 和 的解相同,则a= ,b= .
2.甲、乙两人练习跑步,如果让乙先跑10米,甲5秒后追上乙;如果让乙先跑2秒,那么甲4秒追上乙,甲、乙每秒分别跑x、y米,由题意列方程组为 .
3.用加减法解方程组 下列解法不正确的是（ ）.
A.①×3-②×2,消去x.
B.①×2-②×3,消去y.
C.①×（-3）+②×2,消去x.
D.①×2-②×（-3）,消去y.
4.星期天8∶00~8∶30,燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气.注完气之后,一位工作人员以每车20米3的加气量依次给在加气站排队等候的若干辆车加气.储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示.

（1）8∶00~8∶30,燃气公司向储气罐注入了多少米3的天然气;
（2）当x≥8.5小时,求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式;
（3）正在排除等候的20辆车加完气后,储气罐内还有天然气 米3,这第20辆车在当天9:00之前能加完气吗?请说明理由.
【教学说明】通过四个比较典型习题的训练,加强本章重点知识的巩固,提高学生的解答能力.前三题让学生能独立完成,第4题教师可以根据情况稍做点拔.
【答案】1. -2, 5；
2. ; 3.D；
4.（1）8000;
（2）当x≥8.5时,由图象可设y与x的函数关系式为y=kx+b.由已知,得 ,解得 ,故当x≥8.5时,储气罐中的储气量y（米3）与时间x （小时）的函数关系式为y=-1 000x+18500;
（3）根据每车20米3的加气量,则20辆车加完气后,储气罐内还有天然气
10 000-20×20=9 600（米3）,故答案为9 600（米3）.
根据题意,得出9600=-1000x+18500.
x=8.9＜9.即这第20辆车在当天9∶00之前能加完气.
五、师生互动，课堂小结
你能完整地回顾本章所学的二元一次方程组的有关知识吗?你掌握了哪些?还有哪些疑惑?
【教学说明】引导学生回顾本章知识,放手让学生交流讨论,及时解答学生的疑难问题,并做必要的补充证明.

1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册中本课时相应练习.

本节课通过建立知识框架,以二元一次方程组的解法和实际运用等知识为重点,力求让学生做到胸有成竹.另外,又通过典型例题和习题训练相结合,使学生既能抓住重点又得到不同程度的强化提高.