【期中单元知识点归纳】（沪教版）2023-2024学年六年级数学上册 第一章 数的整除 试卷（知识归纳+题型突破）（沪教版）

这是一份【期中单元知识点归纳】（沪教版）2023-2024学年六年级数学上册 第一章 数的整除 试卷（知识归纳+题型突破）（沪教版），文件包含期中单元知识点归纳沪教版2023-2024学年六年级数学上册第一章数的整除知识归纳+题型突破原卷版docx、期中单元知识点归纳沪教版2023-2024学年六年级数学上册第一章数的整除知识归纳+题型突破解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

1.理解整除的意义；
2.理解因数、倍数、奇数、偶数、素数、合数、分解素因数、最大公因数、最小公倍数等概念；
3.掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法；
4.运用概念解决简单的实际问题；
1.整数和整除的意义
(1)整数
零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.
(2)整除
整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，就说能被整除；或者说能整除。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；
(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2.数的分类
(1)因数和倍数
整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数(也称为约数).
(2)奇数和偶数
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．
(3)素数、合数和1
一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数．
一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．
3.短除法
(1)分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数
(2)公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．
互素：如果两个整数的公因数只有1，那么称这两个数是互素．
(3)公倍数和最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.
❤重要：两个数的最大公因数×最小公倍数=这两个数的乘积
（六大题型）
题型一 整数和整除的意义
【例1】(1)下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）
A．4和10B．13和39C．16和4D．0.5和1
【答案】C
【分析】根据整除的定义判断即可．
【详解】解：A．因为，商不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故选项A错误；
B．因为，商不是整数，所以第一个数不能被第二个数整除，故选项B错误；
C．因为，所以第一个数能被第二个数整除，故选项C正确；
D．因为0.5是小数，所以第一个数不能被第二个数整除，故选项D错误．
故选：C．
(2)下列说法正确的是（ ）
A．最小的正整数是0B．没有最小的正整数
C．整数一定比小数大D．所有的自然数都是整数
【答案】D
【分析】根据自然数，正数，整数，负数的定义判断即可．
【详解】解：A．最小的正整数是1，故选项不符合题意；
B．最小的正整数是1，故选项不符合题意；
C．整数不一定比小数大，如，故选项不符合题意；
D．所有的自然数都是整数，故选项符合题意．
故选：D．
反思总结
1.在判断“整除”时需要注意整除的条件：“三整一零”
①除数、被除数、商都是整数；
②余数是0.
2.数的分类
巩固训练：
1.下列式子中，属于整除的是( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据整除的含义，逐项分析每个选项即可．
【详解】解：，不是整数，不属于整除运算，故选项A不符合题意；
，商不是整数，不属于整除运算，故选项B不符合题意；
，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，属于整除运算，故选项C符合题意；
，被除数和除数都不是整数，不属于整除运算，故选项D不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数的整除，熟练掌握数的整除的含义是解本题的关键．
2.下列说法正确的是（ ）
A．最小的正整数是0B．没有最小的正整数
C．整数一定比小数大D．所有的自然数都是整数
【答案】D
【分析】根据自然数，正数，整数，负数的定义判断即可．
【详解】解：A．最小的正整数是1，故选项不符合题意；
B．最小的正整数是1，故选项不符合题意；
C．整数不一定比小数大，如，故选项不符合题意；
D．所有的自然数都是整数，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数中自然数，正数，整数，负数的定义，理解定义是解答此题的关键．
3.已知m能整除73，那么m是（ ）
A．146B．9C．1或73D．219
【答案】C
【分析】根据整除的概念即可解答．
【详解】∵73=73×1，
∴73能被1和73整除，即1和73能整除73，
∴m是1或73，
故选：C．
【点睛】本题考查了整除的概念，理解整除的概念是解答的关键．
4.下列说法中错误的是（ ）．
A．没有最小的整数B．最小的自然数是0
C．最大的负整数是D．整数可分为正整数和负整数两类
【答案】D
【分析】根据整数、自然数的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵整数可分为正整数、负整数和0
∴选项D错误
又∵其他选项均正确
故选：D．
【点睛】本题考查了整数的知识；解题的关键是熟练掌握整数、自然数的性质，从而完成求解．
5.下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数B．自然数就是正整数
C．若余数为0，则一定能整除D．所有的自然数都是整数
【答案】D
【分析】根据各选项的说法，挨个判断其正确与否，然后做出判断．
【详解】解：选项A：因为整数包括正整数、负整数和0，所以原说法不对．
选项B：因为0是自然数，但0不是正整数，所以原说法不对．
选项C：因为整除是对整数而言，本题中m和n不一定是整数，所以原说法不对．
选项D：因为包括正整数、0和负整数，正整数和0即是自然数，所以原说法正确．
答：D选项是正确的．
故选：D．
题型二 因数与倍数
【例2】（1）8的因数有 ．
【答案】1、2、4、8
【分析】先写出8的因数：，，因此8的因数有1，2，4，8，解答即可．
【详解】解：8的因数有：1、2、4、8．
故答案为：1、2、4、8
【点睛】本题考查因数倍数，解题的关键是找准所有能整除8的数．
（2）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）．
1，2，4，5，12，24，30，40，52，60，100
【答案】左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60；
右圈（部分60的因数）：1，2，5，30．
【分析】整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数），因数和倍数是相互依存的，据此解答即可．
【详解】解：因为在上述数中，其中
4的倍数有：4，12，24，40，52，60，100；
60的因数有：1，2，4，5，12，30，60；
既是4的倍数又是60的因数有：4，12，60；
因为每个数只能使用一次，
故三个指定的圈内填写的数为：
左圈（部分4的倍数）：24，40，52，100；
中圈（既是4的倍数又是60的因数）：4，12，60；
右圈（部分60的因数）：1，2，5，30．
【点睛】此题考查了倍数和因数，解题的关键是熟练掌握倍数和因数的定义．
（3）A=2×5×7，A的因数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．8个
【答案】D
【分析】把A算出来等于70，看70能被哪些整数整除．
【详解】因为A=2×5×7=70
而
因此A的因数就有1，70，2，35，5，14，7，10共8个．
故选：D
反思总结
巩固训练
1.36的因数： ，50以内9的倍数： .
【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36； 9、18、27、36、45
【分析】根据因数和倍数的概念求解即可．
【详解】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 50以内9的倍数有：9、18、27、36、45，
故答案为：1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45．
【点睛】本题考查因数和倍数，一个数的因数个数是有限的，倍数的个数是无限的．
2.一个整数既是54的因数，又是9的倍数，求这个数．
【答案】
【分析】先54的因数，再求出9的倍数，即可得答案．
【详解】解：54的因数有：，9的倍数有：，
一个整数既是54的因数，又是9的倍数有：．
【点睛】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的求法．
题型三 能被2、3、5整除的数
【例3】(1)能同时被2、5整除的最大两位数是 ．
【答案】90
【分析】同时能被2、5整除的整数个位上的数字为0，最大的整数即十位为9，由此得到答案.
【详解】个位上是0的整数能同时被2、5整除，最大的两位数是90，
故答案为：90.
【点睛】此题考查有理数的除法计算，掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键.
(2)一个三位数，百位上的数字是1，十位上的数字是2，个位上的数字是x，求所有满足已知条件的三位数：
（1）这个三位数能被5整除；
（2）这个三位数是偶数；
（3）这个三位数能同时被2和5整除．
【答案】（1）120，125．（2）120，122，124，126，128．（3）120．
【分析】（1）由题意直接根据能被5整除的数其个位数是0或5，以此进行分析即可；
（2）由题意直接根据多位数是偶数其个位数也是偶数，以此进行分析即可；
（3）根据题意依据能同时被2和5整除的数，则其个位数是0，以此进行分析即可．
【详解】解：（1）这个三位数能被5整除，则其个位数是0或5，
且这个三位数，百位上的数字是1，十位上的数字是2，
所以这个三位数是120，125；
（2）这个三位数是偶数，则其个位数也应是偶数，
所以这个三位数是120，122，124，126，128；
（3）这个三位数能同时被2和5整除，则其个位数是0，
所以这个三位数是120．
【点睛】本题考查能同时被2和5整除的数的特征，注意掌握能同时被2和5整除的数其个位数是0以及多位数是偶数其个位数也是偶数．
反思总结
巩固训练
1.填空，使所得的三位数能满足题目要求
（1）3□2能被3整除，则□中可填入
（2）32□既能被3整除，又能被2整除，则□中可填入
（3）□3□能同时被2，3，5整除，则这个三位数可能是
【答案】（1）1或4或7；（2）4；（3）330或630或930
【分析】（1）根据各个数位上的数字之和是3的整数倍解答即可；
（2）既能被3整除，又能被2整除，则这个数是偶数且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可；
（3）能同时被2，3，5整除，则这个三位数的个位数是0，且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可．
【详解】解：（1）3□2能被3整除，则□中可填入1或4或7；
故答案为：1或4或7；
（2）32□既能被3整除，又能被2整除，则□中可填入4；
故答案为：4；
（3）□3□能同时被2，3，5整除，则这个三位数可能是330或630或930．
故答案为：330或630或930．
【点睛】本题考查了数的整除和2、3、5倍数的数的特征，正确理解题意、熟练掌握基本知识是关键．
2.在正整数1到2018中，有几个数能同时被2、3、5中的两个数整除，但不能同时被这三个数整除？
【答案】470
【分析】分别求出正整数1到2018中能被2和3，2和5，3和5，2，3和5整除的个数即可得到结论．
【详解】解：2和3的最小公倍数是6，
2和5的最小公倍数是10，
3和5的最小公倍数是15，
2，3，5的最小公倍数是30，
∴2018÷6=336⋯⋯2；
2018÷10=201⋯⋯8；
2018÷15=134⋯⋯8；
2018÷30=67⋯⋯8；
∴336+201+134-67×3=470（个）
∴在正整数1到2018中，有470个数能同时被2、3、5中的两个数整除，但不能同时被这三个数整除．
【点睛】此题主要考查了最小公倍数，解决此题的关键是分情况讨论．找出能被两个数整除的个数．
题型四 素数与合数
【例4】(1)下列说法中正确的是（ ）
A．所有合数都是偶数B．所有素数都是奇数
C．两个素数一定互素D．两个连续的正整数一定互素
【答案】D
【分析】根据合数、偶数、素数、奇数等的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、9是合数，是奇数，不是偶数，故此项说法错误；
B、素数不完全都是奇数，比如2是素数但2是偶数，故此项说法错误；
C、两个相同的素数不是互素的，故此项说法错误；
D、两个连续的正整数是互素的，因为它们的公因数只有1这个数，故此项说法正确；
故选D．
【点睛】本题考查了整数的应用，熟练掌握整数的分类及合数、偶数、素数、奇数等的意义是解题关键．
(2)在1~20中，既是合数，又是奇数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据合数和奇数的概念，找出在1~20中，既是合数又是奇数的数即可．
【详解】1~20中，既是合数又是奇数的数有：9，15．故选：B．
【点睛】本题主要考查合数、奇数的概念，熟记合数、奇数的概念是解题关键．
(3)P是素数，又是2的倍数，则 ．
【答案】5
【详解】解：∵P是素数，又是2的倍数，
∴P=2，
∴P+3=2+3=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查素数、偶数，熟知2既是素数也是偶数是解答的关键．
反思总结
巩固训练
1．10至30中，有 个素数．
【答案】6
【分析】找出10到30的素数，再写出个数即可．
【详解】解：10到30的素数有：11，13，17，19，23，29，
总共有6个，
故答案为：6．
【点睛】本题考查素数的概念，掌握素数的概念是解题的关键．
2.有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是 ．
【答案】6或0/0或6
【分析】根据最小的素数是2，最小的合数是4，最小的自然数是0，可以确定这个四位数的千位、百位和个位上的数，然后根据它是偶数又是3的倍数即可解答．
【详解】解：∵十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，
∴这个四位数的十位数字为0，百位数字为2，千位数字为4，
∵这个四位数同时是2和3的倍数，
∴个位上的数为偶数，同时各位数字之和是3的倍数，
∴个位数字为：6或0．
故答案是：6或0．
【点睛】本题主要考查了素数与合数的意义、自然数与3的倍数的数字特征等知识点，掌握素数、合数以及3的倍数的数字特征是解答本题的关键．
3.按要求填数：
1，2，3，4，7，8，9，11，15，31，47，87，123
奇数有： ；
偶数有： ；
素数有： ；
合数有： ；
【答案】见解析
【分析】根据奇数，偶数，素数，合数的概念求解即可．
【详解】奇数有：1，3，7，9，11，15，31，47，87，123 ；
偶数有：2，4，8；
素数有：2，3，7，11，31，47；
合数有：4，8，9，15，87，123 ．
4.一个两位数加2是2的倍数，加5是5的倍数，加7是7的倍数，此数是 ．
【答案】70/七十
【详解】解：∵原数加上2是2的倍数，
∴原数为偶数；
∵原数加上5是5的倍数，
∴原数的个位为0或5，
∴原数的个位必须是0
又∵原数加上7是7的倍数，
∴原数必须是7的倍数，
∴7的两位数倍数中个位是0的是70．
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查能被2和5整除数的数的特征，注意个位是0的数能同时被2和5整除．
题型五 分解素因数
【例5】(1)把下列各数分解素因数．
54；102．
【答案】54＝2×3×3×3；102＝2×3×17
【分析】把一个合数写成几个素数连乘积的形式叫做把这个合数分解素因数，据此解答即可．
【详解】解：54＝2×3×3×3；
102＝2×3×17．
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分解素因数的方法，熟记100以内的素数表是解答关键．
(2)，则的因数有 个．
【答案】
【分析】根据因数的定义及求法即可直接得到答案．
【详解】解：，
的因数有，共个因数，
故答案为：．
【点睛】本题考查因数的定义及求法，熟记因数定义及求法是解决问题的关键．
反思总结
1.分解素因数的步骤：一个合数，先用一质数去除，商不是质数，则继续用质数去除，如果商是质数，把这个合数写成素因数连乘的形式。
2.要点：
1.最小的素因数除.
2.STOP：商是素数.
3.取外面的数.
4.答句：左边数字=乘积确认相等.
巩固训练
1.分解素因数 ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查了分解素因数，解题关键是熟练掌握分解素因数的方法．
2.分解素因数
(1)102；
(2)114．
【分析】（1）把102表示成几个素因数乘积的形式即可．
（2）把114表示成几个素因数乘积的形式即可．
【详解】（1）102=2×3×17．
（2）114=．
【点睛】本题主要考查了分解素因数，熟练掌握分解素因数就是把一个合数用素因素相乘的形式表示出来是解题的关键．
3.有一批图书，平均分给6位同学的话多3本，平均分给8位同学的话多5本，平均分给9位同学的话少3本，那么这批图书最少有多少本？
【答案】这批图书最少有69本
【分析】设这批图书共有x本，根据题意可得出是6，8，9的倍数，由6，8，9的最小公倍数为72，即可得出x的最小值为69．
【详解】解：设这批图书共有x本，
∵，，
∴是6，8，9的倍数，
又∵6，8，9的最小公倍数为72，
∴的最小值为72，
∴x的最小值为．
故答案为：69．
【点睛】本题考查了约数与倍数，由各数量之间的关系，找出这批图书数是6，8，9的倍数，是解题的关键．
题型六 最大公因数和最小公倍数
【例6】(1)求下列各组数的最大公因数和最小公倍数
(1)36和48；(2)16，32和24
【答案】(1)12,144
(2)8,96
【分析】（1）先把36和48分别分解质因数，然后再确定最大公因数和最小公倍数即可；
（2）先把16，32和24分别分解质因数，然后再确定最大公因数和最小公倍数即可．
【详解】（1）解： ∵36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，
∴最大公因数是2×2×3=12，最小公倍数是2×2×2×2×3×3=144.．
（2）解：∵16=2×2×2×2，32=2×2×2×2×2，24=2×2×2×3，
∴最大公因数是2×2×2=8，最小公倍数是2×2×2×2×2×3=96．
【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握分解质因数是解答本题的关键．
(2)用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
(1)42和63； (2)46和92；
(3)13和52； (4)84和210．
【答案】(1)42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126
(2)46和92的最大公因数是46，最小公倍数是92
(3)13和52的最大公因数是13，最小公倍数是52
(4)84和210的最大公因数是42，最小公倍数是420
【分析】（1）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；
（2）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；
（3）用短除法求出最大公因数和最小公倍数；
（4）用短除法求出最大公因数和最小公倍数．
（1）
∵7×3＝21，7×3×2×3＝126，
∴42和63的最大公因数是21，最小公倍数是126；
（2）
∵23×2＝46，23×2×1×2＝92，
∴46和92的最大公因数是46，最小公倍数是92；
（3）
∵13×1＝13，13×1×4＝52，
∴13和52的最大公因数是13，最小公倍数是52；
（4）
∵7×6＝42，7×6×2×5＝420，
∴84和210的最大公因数是42，最小公倍数是420；
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，最大公因数和最小公倍数，利用短除法求出最大公因数和最小公倍数是解题的关键．
(3)A和B都是正整数，将它们分别分解素因数得，，如果A和B的最小公倍数是315，那么 ．
【答案】3
【分析】根据最大公约数和最小公倍数的求法可知：最大公约数是这两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是这两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答．
【详解】解:∵A和B的最小公倍数是315，
∴
∴3
故答案为:3
【点睛】此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．
反思总结
1.若两个数互素，则这两个数的最大公因数是1.
2.若两个数之间存在倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的一个数.
3.若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则可用短除法或分解素因数的方法来求它们的最大公因数.
4.如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么较大的那个数就是它们的最小公倍数
如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
巩固训练
1.28和32的最大公因数是 ．
【答案】4
【分析】先将28和32分解，再找出最大公因数．
【详解】解：∵28=2×2×7；32=2×2×2×2×2．
∴28和32的最大公因数是：2×2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查最大公因数的确定．正确分解两个数是解本题的关键．
2.已知：甲数=2×2×3，乙数=2×3×5，那么甲数与乙数的最大公因数是 ．
【答案】6
【分析】根据最大公因数的定义计算即可．
【详解】∵甲数=2×2×3，乙数=2×3×5，
∴甲数与乙数的最大公因数是2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了最大公因数即两个数中相同的最大的约数，熟练准确确定最大公因数是解题的关键．
3.求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
(1)18和42
(2)27和135
(3)12、18和90
【答案】(1)最大公约数是，最小公倍数是；
(2)最大公约数是，最小公倍数是；
(3)最大公约数是，最小公倍数是．
【分析】（1）对于两个数来说∶两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
（2）对于两个数来说∶两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
（3）对于三个数来说∶三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、每两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
【详解】（1）解∶，，
最大公约数是
最小公倍数是；
（2）解：，，
最大公约数是
最小公倍数是；
（3）解：，，，
最大公约数是
最小公倍数是．
【点睛】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法∶两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数．与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答，掌握最大公约数与最小公倍数的求法是解题的关键．
4.一堆苹果，已知比50个多，比70个少，把它们可以分成两堆，也可以分成三堆，还可以分成五堆，这堆苹果有 个．
【答案】60
【分析】找到2，3，5的最小公倍数，即可确定这堆苹果的个数．
【详解】2×3×5=30，
30×2=60个．
答：这堆苹果有60个．
【点睛】本题考查了约数与倍数，解题的关键是通过求最小公倍数的方法求出苹果的准确数量．
分类
定义
有无极值
整数
自然数
（非负整数）
正整数
表示物体个数的数
无最大，最小为1.
0
负整数
在正整数前面添-
无最小，最大为-1.
因数
倍数
概念
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数），它们相互依存.
求法
拆—两个数的乘积
乘—乘以任意正整数
个数
有限
无限
最小
1
它本身
最大
它本身
无
数的分类
类别
特征
举例
能否被2整除
偶数2n(n为正整数）
个位是0,2,4,6,8 的整数
2,4
奇数2n+1(n为正整数）
个位是1,3,5,7,9的整数
1,-1
能否被5整除
能被5整除
个位是0,5的整数
5,10
不能被5整除
个位不是0,5的整数
1,6
能否被3整除
3n(n为正整数）
各个数位上的数字之和是3的倍数整数
3,6,9
能否被9整除
9n(n为正整数
各个数位上的数字之和是9的倍数整数
9,18
数的分类
类别
20以内的正整数
只有1这个因数的正整数.
1
1
只有1和它本身2个因数的正整数.
质数
2,3,5,7,11,13,17,19.
除了1和它本身还有其它因数的整数.
合数
4,6,9,10,12,14,15,16,18,20.