新高考数学二轮复习易错题专练易错点05 三角变换及三角函数的性质（含解析）

易错点05  三角变换及三角函数的性质

易错题【01】忽略角的范围限制

利用求值一般要涉及到开方运算,此时要注意利用角的范围判断三角函数值的正负；根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一个三角函数值,再确定角的范围,确定角的范围时不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值的符号及大小缩小角的范围

易错题【02】不能全面理解三角函数性质致误

本易错点主要包含以下几个问题：(1)求三角函数值域忽略定义域的限制；(2)确定三角函数的最小正周期,忽略三角变换的等价性；(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.

易错题【03】对平移理解不准确致误

三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ.

易错题【04】忽视弦函数的有界性

在求与,有关的值域与范围是要注意.

易错题【05】用零点确定的,忽略图象的升降

确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

 01

已知sin α＝,sin β＝,且α,β为锐角,则α＋β＝________.

【警示】本题出错的主要原因是忽略α＋β缩小的范围.

【答案】

【问诊】因为α,β为锐角,所以cos α＝＝,cos β＝＝.

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝,

又因为0<α＋β<π,所以α＋β＝.

【叮嘱】根据三角函数值求角,要注意三角函数值的符号及大小对角的范围的限制

1. (2022届福建省永安市高三10月月考)已知的终边在第四象限,若,则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的终边在第四象限,,所以,

则．故选A.

2.已知为锐角,,,则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵为锐角,,,∴,,

∴,

又,∴,故选B

 02

函数得最小正周期为     .

【警示】根据,得出 的最小正周期是本题出错的主要原因.

【答案】

【问诊】忽略了与定义域不相同,对定义域内的不成立,所以不是的周期.

【叮嘱】研究三角函数的性质,若对三角函数进行变换,一点要保证变换的等价性.

1．求函数的值域.

【答案】因为==

,当时取得最小值,当时取得最大值4,又因为, 所以的值域为.

2.(2022届山东省青岛市高三上学期期中)若函数的最小正周期为,则函数在上的值域为_______．

【答案】.

【解析】函数的最小正周期为,故；

则

.

由,故可得,则,

的值域为.

 03

(2022全国乙卷理T7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则　　

A． B． C． D．

【警示】平移方向或平移长度易出错

【答案】B

【问诊】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,

再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,把函数的图像,向左平移个单位长度,得到的图像；

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得的图像．

故选．

【叮嘱】对于左右平移要注意要确定平移方向,法则是甲左减右,然后再确定平移长度,注意平移长度由x的变化来确定.

1．要得到y＝sin(－3x)的图象,需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象

A．向右平移个单位     B．向左平移个单位

C．向右平移个单位    D．向左平移个单位

【答案】D

【解析】　y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin,要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可,因而是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位,故选D.

2．(2022届海南省华侨中学高三11月月考)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象,则f(x)＝(    )

A．sin B．sin C．sin D．sin

【答案】B

【解析】将的图象上各个点的横坐标变为原来的,可得函数的图象,再把函数的图象向右平移个单位,即可得到的图象,所以 ,故选B.

 04

已知,则的取值范围是     .

【警示】由得,因为,所以.忽略了.

【答案】

【问诊】由题意可得,所以,由得,因为,所以.所以的取值范围是.

【叮嘱】若一个式子中含有2个变量的弦函数,要保证每个弦函数的范围都在上.

1.(2022届甘肃省部分名校年高三上学期月考)已知函数．若关于x的方程在上有解,则实数m的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】,

当时,,所以,故的值域为,

因为在上有解即在上有解,故即,故选C.

2．(2022届四川省绵阳高三上学期一诊)已知,则的最大值为____________

【答案】

【解析】,

,,即

又,利用二次函数的性质知,当时,.

 05

函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则     .

【警示】本题出错的主要原因是观察图象可知,A＝1,T＝π,∴ω＝2,f(x)＝sin(2x＋φ),把代入得,所以,.忽略了在递减区间内.

【答案】sin(2x＋)

【问诊】观察图象可知,A＝1,T＝π,∴ω＝2,f(x)＝sin(2x＋φ),将(－,0)代入上式得sin(－＋φ)＝0,由|φ|<,得φ＝,则f(x)＝sin(2x＋)．

【叮嘱】利用函数的零点确定确定φ值时,要注意该零点是在递增区间还是在递减区间.

1. 已知函数(,)的部分图象如图所示,将图象进行怎样的平移变换后得到的图象对应的函数为奇函数(    )

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】由图象可知,所以,

设的最小正周期为,则,

所以,则,所以,

因为函数经过点,可得,

解得,因为,所以,所以,

结合选项,当时,为奇函数,

所以将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数.故选D.

2.(2022届重庆市八中高三上学期月考)(多选题)函数的图象如图所示,则关于函数下列结论中正确的是(    )

A． B．

C．对称轴为 D．对称中心为

【答案】ABD

【解析】对于A：由,,所以,A正确；

对于B：因为,,解得,故,,B正确；对于C：令,解得,即对称轴为,故C错误；对于D：令,解得,即对称中心为,故D正确.故选ABD.

错

1．(2022届河北省衡水市冀州区高三上学期期中)已知且,若,则(    )

A．或 B．或1 C．1 D．

【答案】D

【解析】由,得,

所以,求得(舍),．

又,

将的值代入上式可得：．故选D．

2．若,且,则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为,所以,又,所以,所以,故选A.

3．设锐角的内角,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理得.

因为为锐角三角形,所以即所以,

所以,所以的取值范围是.故选A.

4．(2021届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测)在 ABC中,已知,,则cosC=(    )

A． B． C．或 D．

【答案】A

【解析】在 ABC中,∵,∴,

∴.∵,∴或(舍去),

∴,∴,.故选A.

5．(2022届北京师范大学附属中学高三上学期期中)将的图象向右平移个单位,则所得图象的函数解析式为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将的图象向右平移个单位,得到,故选D

6．(2021届湘豫名校名校高三5月联考)已知函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象,则的一个对称中心为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,

因为函数的图象沿轴向右平移个单位长度后得到函数的图象,所以函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象,

所以,所以,

显然,因此,

因为,所以令,所以,

所以,令,

令,可得一个对称中心为,故选B

7．(2022届四川省成都高三上学期阶段性检)函数,(其中,,) 其图象如图所示,为了得到的图象,可以将的图象(    )

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】B

【解析】由函数图象可知：,函数过两点,设的最小正周期为,因为,所以有,而,因此,

即,因为,

所以,因为,

所以,即,因此,

而,

而,因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象,故选B

8．(2022届江苏省南通市高三上学期期中)已知函数(,,)的部分图象如图所示,将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象,则下列说法正确的是(    )

A．

B．

C．函数为奇函数

D．函数在区间上单调递减

【答案】BCD

【解析】,则,,

,∴,,

,,,∴,A错.

,,

,B对.

奇函数,C对.

,即,在上单调递减,而,∴D对.故选BCD.

9．(2022届安徽省合肥市高三上学期11月月)(多选题)已知函数,则下列结论不正确的是(    )

A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数

C．函数图像关于对称 D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位得到

【答案】ABC

【解析】.

对于A,最小正周期即A正确；

对于B,令则,

这是函数的减区间,即B正确；

对于C,令解得,当时,,,所以,图像关于对称,故C正确

对于D,的图象向左平移个单位得到,再向下平移1个单位得到 ,所以D错误.故选ABC

10．(2022届北京市第三中学高三上学期期中)已知,都是锐角,若,,则________．

【答案】

【解析】,,所以

,,

,

则